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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex index 1f51fca..57a72a2 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/galois.tex @@ -75,7 +75,7 @@ Beim Rechnen mit Resten modulo $n$ können Vielfache von $n$ ignoriert werden. Zum Beispiel gilt \[ \begin{aligned} -49&\equiv -1\mod 7& 49&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} +48&\equiv -1\mod 7& 48&=-1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$} \\ 3\cdot 5=15&\equiv 1\mod 7 & 3\cdot 5&=1&&\text{in $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.} \end{aligned} @@ -278,7 +278,7 @@ zeigt. Man berechnet in $\mathbb{F}_{13}$ die Potenz $11^{666}$. Nach dem kleinen Satz von Fermat ist $11^{13} = 11$ oder $11^{12}=1$, man kann also den Exponenten modulo $12$ reduzieren. -Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^5$. +Weil $666=55\cdot 12 + 6$ erhält man $11^{666}= 11^6$. Da die Potenzen von $11$ etwas mühsam zu berechnen sind, kann man sie wegen $11=-2$ in $\mathbb{F}_{13}$ auch als Potenzen von $-2$ bekommen. @@ -385,7 +385,7 @@ Wenn andererseits eines der Vielfachen von $1$ in $\Bbbk$ verschwindet, dann wissen wir aus Abschnitt~\ref{buch:subsection:arithmetik-modulo-p}, dass der Körper $\mathbb{F}_p$ in $\Bbbk$ enthalten sein muss. -Dies ist der kleinste Teilkörper, der $\Bbbk$ enthalten ist. +Dies ist der kleinste Teilkörper, der in $\Bbbk$ enthalten ist. \begin{definition} Der kleinste Teilkörper eines Körpers $\Bbbk$ heisst der @@ -417,7 +417,7 @@ Auf Zeilen, die zu Exponenten der Form $2^k$ gehören, sind alle Koeffizienten ausser dem ersten und letzten durch $2$ teilbar. \label{buch:endliche-koerper:fig:binomial2}} \end{figure} -Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomail2} zeigt den +Die Abbildung~\ref{buch:endliche-koerper:fig:binomial2} zeigt den Rest bei Teilung durch $2$ der Binomialkoeffizienten. Man kann daraus ablesen, dass $\binom{n}{m}\equiv 0\mod 2$ für $n=2^k$ und $0<m<n$. @@ -455,7 +455,7 @@ In $\mathbb{F}_p$ gilt für $0<k<p$. \end{satz} -\subsubsection{Frobenius-Homomorphismus} +\subsubsection{Frobenius-Automorphismus} Die Abbildung $x\mapsto x^n$ ist weit davon entfernt, sich mit den algebraischen Strukturen zu vertragen. Zum Beispiel kann man nicht erwarten, dass $(a+b)^n = a^n + b^n$, |