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diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima index bc8e967..f227f3a 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/rechnungen/invbeispiel.maxima @@ -39,19 +39,22 @@ t: inv_mod(T[1,1], 7); T[1]: mod(t * T[1], 7); T[2]: mod(T[2] - T[2,1]*T[1], 7); T[3]: mod(T[3] - T[3,1]*T[1], 7); +T; t: inv_mod(T[2,2], 7); T[2]: mod(t * T[2], 7); T[3]: mod(T[3] - T[3,2] * T[2], 7); +T; t: inv_mod(T[3,3], 7); T[3]: mod(t * T[3], 7); +T; T[2]: mod(T[2] - T[2,3] * T[3], 7); T[1]: mod(T[1] - T[1,3] * T[3], 7); +T; T[1]: mod(T[1] - T[1,2] * T[2], 7); - T; C: matrix( diff --git a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex index c9fb6d1..2ea43e2 100644 --- a/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex +++ b/buch/chapters/30-endlichekoerper/wurzeln.tex @@ -388,8 +388,63 @@ A=\begin{pmatrix} \] Die Inverse kann man bestimmen, indem man den Gauss-Algorithmus in $\mathbb{F}_{17}$ durchführt. -Man bekommt +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 2& 4& 5& 0& 1& 0\\ + 2& 5& 1& 0& 0& 1\\ +\hline +\end{tabular} +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 0& 2& 0& 5& 1& 0\\ + 0& 3& 3& 5& 0& 1\\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 3& 1& 2& 1\\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 6& 1& 0& 0\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 1& 5& 3& 5\\ +\hline +\end{tabular} +\\ +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 1& 0& 6& 3& 5\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 1& 5& 3& 5\\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline + 1& 0& 0& 0& 6& 5\\ + 0& 1& 0& 6& 4& 0\\ + 0& 0& 1& 5& 3& 5\\ +\hline +\end{tabular} +\end{align*} +Für die Durchführung braucht man die Inversen in $\mathbb{F}_7$ +der Pivot-Elemente, sie sind $2^{-1}=4$ und $3^{-1}=5$. +Im rechten Teil des Tableau steht jetzt die inverse Matrix \[ +A^{-1} += B=\begin{pmatrix} 0& 6& 5\\ 6& 4& 0\\ @@ -426,6 +481,9 @@ das Element $b(\alpha)=6\alpha+5\alpha^2$ ist also das Inverse Element von $a(\alpha)=1+2\alpha+2\alpha^2$ in $\mathbb{F}_7(\alpha)$. \end{beispiel} +Die Matrixrealisation von $\Bbbk(\alpha)$ führt also auf eine effiziente +Berechnungsmöglichkeit für das Inverse eines Elements von $\Bbbk(\alpha)$. + \subsubsection{Rechnen in $\Bbbk(\alpha)$} \subsubsection{Algebraische Konstruktion} |