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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index d984452..69618a9 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -16,6 +16,36 @@ gestreckt werden. Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden, dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kernbild.pdf} +\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2. +Die abnehmend geschachtelten iterierten Bilder +$\mathcal{J}^1(A) \subset \mathcal{J}^2(A)$ +sind links dargestellt, die zunehmen geschachtelten iterierten Kerne +$\mathcal{K}^1(A) \subset \mathcal{K}^2(A)$ rechts. +\label{buch:eigenwerte:img:kernbild}} +\end{figure} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/kombiniert.pdf} +\caption{Iterierte Kerne und Bilder einer $3\times 3$-Matrix mit Rang~2. +Da $\dim\mathcal{J}^2(A)=1$ und $\dim\mathcal{J}^1(A)=2$ ist, muss es +einen Vektor in $\mathcal{J}^1(A)$ geben, der von $A$ auf $0$ abgebildet +wird, der also auch im Kern $\mathcal{K}^1(A)$ liegt. +Daher ist $\mathcal{K}^1(A)$ die Schnittgerade von $\mathcal{J}^1(A)$ und +$\mathcal{K}^2(A)$. +Man kann auch gut erkennen, dass +$\mathbb{R}^3 += +\mathcal{K}^1(A)\oplus \mathcal{J}^1(A) += +\mathcal{K}^2(A) \oplus \mathcal{J}^2(A)$ +ist. +\label{buch:eigenwerte:img:kombiniert}} +\end{figure} + % % Kern und Bild von Matrixpotenzen % @@ -183,6 +213,24 @@ Somit können sich $\mathcal{K}^i(A)$ und $\mathcal{J}^i(A)$ für $i>n$ nicht mehr ändern. \end{proof} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/dimjk.pdf} +\caption{Entwicklung der Dimension von $\dim\mathcal{K}^k(A)$ (grün) +und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ (orange) in Abhängigkeit vom Exponenten $k$. +Für $k\ge l$ ändern sich die Dimensionen nicht mehr, $A$ eingeschränkt +auf $\mathcal{J}^l(A)=\mathcal{J}(A)$ ist injektiv. +\label{buch:eigenwerte:fig:dimjk}} +\end{figure} + +Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:dimjk} zeigt die Abhängigkeit der +Dimensionen $\dim\mathcal{K}^k(A)$ und $\dim\mathcal{J}^k(A)$ von $k$. +Die Dimension $\dim\mathcal{J}^k(A)$ nimmt ab bis zu $k=l$, danach ändert +sie sich nicht mehr und die Einschränkung von $A$ auf $\mathcal{J}^l(A)$ +ist injektiv. +Die Dimension $\dim\mathcal{K}^k(A)$ nimmt zu bis zu $k=l$, danach +ändert sie sich nicht mehr. + \begin{definition} \label{buch:eigenwerte:def:KundJ} Die gemäss Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:ketten} identischen Unterräume @@ -198,6 +246,7 @@ $\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit bezeichnet. \end{definition} + % % Inveriante Unterräume % @@ -369,6 +418,7 @@ Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$. Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent. \end{beispiel} + Man kann die Konstruktion der Unterräume $\mathcal{K}^i(A)$ weiter dazu verwenden, eine Basis zu finden, in der eine nilpotente Matrix eine besonders einfach Form erhält. @@ -457,6 +507,178 @@ Nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} kann man in $\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält. + + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf} +\caption{Entwicklung der Dimensionen von Kern und Bild von $A^k$ in +Abhängigkeit von $k$ +\label{buch:eigenwte:fig:jknilp}} +\end{figure} + +\begin{beispiel} +In der Abbildung~\ref{buch:eigenwte:fig:jknilp} sind die Dimensionen +von Kern und Bild der Matrix +\[ +\setcounter{MaxMatrixCols}{12} +A=\begin{pmatrix} +0& & & & & & & & & & & \\ + &0& & & & & & & & & & \\ + & &0& & & & & & & & & \\ + & & &0& & & & & & & & \\ + & & & &0&1& & & & & & \\ + & & & & &0& & & & & & \\ + & & & & & &0&1& & & & \\ + & & & & & & &0&1& & & \\ + & & & & & & & &0&1& & \\ + & & & & & & & & &0&1& \\ + & & & & & & & & & &0& +\end{pmatrix} +\] +dargestellt. +Die Matrix $A^k$ ist in den kleinen Quadraten am unteren Rand der Matrix +symbolisch dargestellt. +Grüne Spalten bestehen aus lauter Nullen, die zugehörigen +Standardbasisvektoren werden von diesem $A^k$ auf $0$ abgebildet. +Die orangen Felder enthalten Einsen, die entsprechenden Standardbasisvektoren +bilden daher eine Basis des Bildes von $A^k$. +\end{beispiel} + +% +% Basis für die Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix +% +\subsection{Basis für die Normalform einer nilpotenten Matrix bestimmen +\label{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix}} +Die Zerlegung in die invarianten Unterräume $\mathcal{J}^k(f)$ und +$\mathcal{K}^k(f)$ ermöglichen, eine Basis zu finden, in der die +Matrix von $f$ die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} +hat. +In diesem Abschnitt soll die Konstruktion einer solchen Basis +etwas ausführlicher beschrieben werden. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/normalform.pdf} +\caption{Konstruktion der Basis für die Jordansche Normalform einer +nilpotenten Matrix. +Die Vektoren werden in der Reihenfolge von rechts nach links in die +Matrix gefüllt. +\label{buch:eigenwerte:fig:normalform}} +\end{figure} + +Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:normalform} illustriert den Prozess +an einer nilpotenten Matrix $A$ mit $A^3=0$ +Die vertikalen Rechtecke im linken Teil der Abbildung symbolisieren +die Unterräume $\mathcal{K}^k(A)$. +Es ist bekannt, dass $\mathcal{K}^k(A) \subset \mathcal{K}^{k+1}(A)$ ist, +die Einbettung wird in der Abbildung durch graue Rechtecke dargestellt. +Es sei wieder $l$ der Exponent, für den $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$ wird. +Da $\mathcal{K}^{l-1}(A)\ne \mathcal{K}^l(A)$ ist, muss es einen +komplementären Unterraum geben, in dem eine Basis gewählt wird. +Jeder der Vektoren $b_1,\dots,b_s$ dieser Basis gibt Anlass zu einem +Block der Form $N_l$, der auf dem Unterraum +$\langle b_i,Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i\rangle$ operiert. +In der Abbildung ist $b_i$ durch einen roten Punkt symbolisiert und +die Bilder $Ab_i,\dots,A^{l-1}b_i$ werden durch blaue Pfeile untereinander +verbunden. + +Der Raum $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ enthält dann $\mathcal{K}^{l-2}(A)$ und +die Vektoren $Ab_1,\dots,Ab_s$. +Es ist aber möglich, dass diese Vektoren nicht den ganzen Raum +$\mathcal{K}^{l-1}(A)$ erzeugen. +In diesem Fall lassen sich die Vektoren mit Hilfe weiterer Vektoren +$b_{s+1},\dots,b_{s+r}$ zu einer Basisi von $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ +ergänzen. +Wie vorhin gibt jeder der Vektoren $b_{s+i}$ Anlass zu einem Block +der Form $N_{l-1}$, der auf dem Unterraum +$\langle b_{s+i},Ab_{s+i}\dots,A^{l-2}b_{s+i}\rangle$ +operiert. + +Durch Wiederholung dieses Prozesses können schrittweise Basisvektoren +$b_i$ erzeugt werden. +Die Matrix der Abbildung $f$ in der Basis $\{b_i,Ab_i,\dots,A^kb_i\}$ +ist ein Block der Form $N_k$. +Für $0\le k\le l-1$ sind die Vektoren $A^kb_i$, +solange sie von $0$ verschieden sind, +alle nach Konstruktion linear unabhängig, sie bilden eine Basis +von $\mathcal{K}^l(A)=\mathbb{R}^n$. + +\begin{beispiel} +Die Basis für die Zerlegung der Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix*}[r] + 3& 1&-2\\ +-21&-7&14\\ + -6&-2& 4 +\end{pmatrix*} +\] +in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden. +Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist. +Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen +Vielfache der ersten Zeile sind, recht es zu verlangen, dass die +Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung +\[ +3x_1+x_2-2x_3=0 +\] +erfüllen. +Jetzt muss ein Vektor $b_1$ ausserhalb von $\mathbb{L}$ gefunden werden, +der erste Standardbasisvektor $e_1$ kann dazu verwendet werden. +Es ist auch klar, dass $Ae_1\ne 0$ ist. +Wir verwenden daher die beiden Vektoren +\[ +b_3=e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +,\qquad +b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*}, +\] +in dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$. +Jetzt muss noch ein Basisvektor $b_1$ gefunden werden, +der in $\ker A=\mathbb{L}$ liegt und so, dass $b_1$ und $b_2$ +linear unabhängig sind. +Die zweite Bedingung kann leicht dadurch sichergestellt werden, +dass man die erste Komponente von $b_1$ als $0$ wählt. +Eine mögliche Lösung ist dann +\[ +b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} +\] +Die Matrix +\[ +B=\begin{pmatrix*}[r] + 0& 1& 3\\ + 2& 0& -21\\ + 1& 0& -6 +\end{pmatrix*} +\qquad\text{mit Inverser} +\qquad +B^{-1}=\begin{pmatrix*}[r] +0&-\frac23& \frac73\\ +0&-\frac19& \frac29\\ +1& \frac13&-\frac23 +\end{pmatrix*} +\] +transformiert die Matrix $A$ auf den Block $N_3$: +\[ +B^{-1}AB += +B^{-1}\begin{pmatrix*}[r] +0&0& 3\\ +0&0&-21\\ +0&0& -6 +\end{pmatrix*} += +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +N_3. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + % % Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors 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