diff options
Diffstat (limited to 'buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex')
| -rw-r--r-- | buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex | 83 |
1 files changed, 48 insertions, 35 deletions
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index b41da1d..2ecba95 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -93,7 +93,7 @@ folgt \begin{equation} \Bbbk^n = -\operatorname{im}E +\operatorname{im}I = \operatorname{im}A^0 = @@ -113,12 +113,12 @@ folgt \label{buch:eigenwerte:eqn:Jkchain} \end{equation} Für die Kerne gilt etwas Ähnliches, sie werden immer grösser. -Ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ erfüllt $A^kx=0$. -Dann erfüllt er aber erst recht auch +Wenn ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ die Bedingung $A^kx=0$ erfüllt, +dann erfüllt er erst recht auch \[ A^{k+1}x=A\underbrace{A^kx}_{\displaystyle=0}=0, \] -also ist $x\in\mathcal{K}^k(A)$. +also ist $x\in\mathcal{K}^{k+1}(A)$. Es folgt \begin{equation} \{0\} @@ -166,6 +166,8 @@ so, dass \end{array} \] ist. +Mit anderen Worten: ab der $k$-ten Potenz ändern sich +$\mathcal{K}^k(A)$ und $\mathcal{J}^k(A)$ nicht mehr. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -280,12 +282,12 @@ gilt. \index{Unterraum, invarianter}% \end{definition} -Der Kern $\ker A$ einer linearen Abbildung ist trivialerweise ein +Der Kern $\ker A$ einer linearen Abbildung ist trivialerweise ein invarianter Unterraum, da alle Vektoren in $\ker A$ auf $0\in\ker A$ abgebildet werden. Ebenso ist natürlich $\operatorname{im}A$ ein invarianter Unterraum, -denn jeder Vektor wird in $\operatorname{im}A$ abgebildet, insbesondere -auch jeder Vektor in $\operatorname{im}A$. +denn jeder Vektor aus $V$ wird in das Bild $\operatorname{im}A$ hinein +abgebildet, insbesondere auch jeder Vektor aus $\operatorname{im}A\subset V$. \begin{satz} \label{buch:eigenwerte:satz:KJinvariant} @@ -332,7 +334,7 @@ also ist $f$ auf $\mathcal{J}^k(A)$ auch injektiv. Die beiden Unterräume $\mathcal{J}(A)$ und $\mathcal{K}(A)$ sind Bild und Kern der iterierten Abbildung mit Matrix $A^k$. -Das bedeutet, dass $\dim\mathcal{J}(A)+\mathcal{K}(A)=n$. +Das bedeutet, dass $\dim\mathcal{J}(A)+\dim\mathcal{K}(A)=n$. Da $\mathcal{K}(A)=\ker A^k$ und andererseits $A$ injektiv ist auf $\mathcal{J}(A)$, muss $\mathcal{J}(A)\cap\mathcal{K}(A)=0$. Es folgt, dass $V=\mathcal{J}(A) + \mathcal{K}(A)$. @@ -370,7 +372,7 @@ Eigenschaften. Die Zerlegung von $V$ in die beiden invarianten Unterräume $\mathcal{J}(A)$ und $\mathcal{K}(A)$ reduziert die lineare Abbildung auf zwei Abbildungen mit speziellen Eigenschaften. -Es wurde bereits in Satz~\label{buch:eigenwerte:satz:fJinj} gezeigt, +Es wurde bereits in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:fJinj} gezeigt, dass die Einschränkung auf $\mathcal{J}(A)$ injektiv ist. Die Einschränkung auf $\mathcal{K}(A)$ bildet nach Definition~\ref{buch:eigenwerte:def:KundJ} alle @@ -405,7 +407,7 @@ Wir zeigen jetzt, dass sich bei der Multiplikation die nicht verschwinden Elemente bei der Multiplikation noch rechts oben verschieben. Dazu multiplizieren wir zwei Matrizen $B$ und $C$ mit -$b_{i\!j}=0$ für $i+k>j$ und $c_{i\!j}=0$ für $i+l>j$. +$b_{i\!j}=0$ für $i+k<j$ und $c_{i\!j}=0$ für $i+l<j$. In der folgenden graphischen Darstellung der Matrizen sind die Bereiche, wo die Matrixelemente verschwinden, weiss. \begin{center} @@ -417,18 +419,18 @@ Die blau eingefärbten Elemente in dieser Zeile und Spalte sind $0$. Aus der Darstellung ist abzulesen, dass das Produkt verschwindet, wenn die roten, von $0$ verschiedenen Elemente von den blauen Elementen annihiliert werden. -Dies passiert immer, wenn $i+k>j-l$ ist, oder $i+(k+l)> j$. +Dies passiert immer, wenn $i+k<j-l$ ist, oder $i+(k+l)< j$. Wir wenden diese Beobachtung jetzt auf die Potenzen $A^s$ an. Für die Matrixelemente von $A^s$ schreiben wir $a^s_{i\!j}$. Wir behaupten, dass die Matrixelemente von $A^s$ die Bedingung -$a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$ erfüllen. +$a_{i\!j}^s=0$ für $i+s<j$ erfüllen. Dies ist für $s=1$ nach Voraussetzung richtig, dies ist die Induktionsverankerung. Nehmen wir jetzt an, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$, dann folgt aus obiger Rechnung, dass $a_{i\!j}^{s+1}=0$ für $i+s+1>j$, so dass die Bedingung auch für $A^s$ gilt (Induktionsschritt). -Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$. +Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s<j$. Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent. \end{beispiel} @@ -476,6 +478,7 @@ In dieser Basis hat die Matrix die Form~\ref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent}. \end{proof} \begin{definition} +\label{buch:eigenwerte:def:Nn} Wir bezeichnen mit $N_n$ eine Matrix der Form \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent}. \end{definition} @@ -544,20 +547,31 @@ Abhängigkeit von $k$ In der Abbildung~\ref{buch:eigenwte:fig:jknilp} sind die Dimensionen von Kern und Bild der Matrix \[ +\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{$#1\mathstrut$}} +\def\rand#1{\multicolumn{1}{c|}{$#1\mathstrut$}} \setcounter{MaxMatrixCols}{12} -A=\begin{pmatrix} -0& & & & & & & & & & & \\ - &0& & & & & & & & & & \\ - & &0& & & & & & & & & \\ - & & &0& & & & & & & & \\ - & & & &0&1& & & & & & \\ - & & & & &0& & & & & & \\ - & & & & & &0&1& & & & \\ - & & & & & & &0&1& & & \\ - & & & & & & & &0&1& & \\ - & & & & & & & & &0&1& \\ - & & & & & & & & & &0& -\end{pmatrix} +A=\left( +\begin{array}{ccccccccccc} +\cline{1-1} +\temp{0}&\multicolumn{1}{|c}{}& & & & & & & & & \\ +\cline{1-2} + &\temp{0}&\multicolumn{1}{|c}{}& & & & & & & & \\ +\cline{2-3} + & &\temp{0}&\multicolumn{1}{|c}{}& & & & & & & \\ +\cline{3-4} + & & &\temp{0}&\multicolumn{1}{|c}{}& & & & & & \\ +\cline{4-6} + & & & &\temp{0}&1&\multicolumn{1}{|c}{}& & & & \\ + & & & &\temp{ }&0&\multicolumn{1}{|c}{}& & & & \\ +\cline{5-11} + & & & & & &\temp{0}&1& & &\rand{ }\\ + & & & & & &\temp{ }&0&1& &\rand{ }\\ + & & & & & &\temp{ }& &0&1&\rand{ } \\ + & & & & & &\temp{ }& & &0&\rand{1}\\ + & & & & & &\temp{ }& & & &\rand{0}\\ +\cline{7-11} +\end{array} +\right) \] dargestellt. Die Matrix $A^k$ ist in den kleinen Quadraten am unteren Rand der Matrix @@ -574,7 +588,7 @@ bilden daher eine Basis des Bildes von $A^k$. \subsection{Basis für die Normalform einer nilpotenten Matrix bestimmen \label{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix}} Die Zerlegung in die invarianten Unterräume $\mathcal{J}^k(f)$ und -$\mathcal{K}^k(f)$ ermöglichen, eine Basis zu finden, in der die +$\mathcal{K}^k(f)$ ermöglicht, eine Basis zu finden, in der die Matrix von $f$ die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} hat. In diesem Abschnitt soll die Konstruktion einer solchen Basis @@ -596,7 +610,7 @@ Die vertikalen Rechtecke im linken Teil der Abbildung symbolisieren die Unterräume $\mathcal{K}^k(A)$. Es ist bekannt, dass $\mathcal{K}^k(A) \subset \mathcal{K}^{k+1}(A)$ ist, die Einbettung wird in der Abbildung durch graue Rechtecke dargestellt. -Es sei wieder $l$ der Exponent, für den $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$ wird. +Es sei $l$ der Exponent, für den $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$ wird. Da $\mathcal{K}^{l-1}(A)\ne \mathcal{K}^l(A)$ ist, muss es einen komplementären Unterraum geben, in dem eine Basis gewählt wird. Jeder der Vektoren $b_1,\dots,b_s$ dieser Basis gibt Anlass zu einem @@ -611,7 +625,7 @@ die Vektoren $Ab_1,\dots,Ab_s$. Es ist aber möglich, dass diese Vektoren nicht den ganzen Raum $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ erzeugen. In diesem Fall lassen sich die Vektoren mit Hilfe weiterer Vektoren -$b_{s+1},\dots,b_{s+r}$ zu einer Basisi von $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ +$b_{s+1},\dots,b_{s+r}$ zu einer Basis von $\mathcal{K}^{l-1}(A)$ ergänzen. Wie vorhin gibt jeder der Vektoren $b_{s+i}$ Anlass zu einem Block der Form $N_{l-1}$, der auf dem Unterraum @@ -640,7 +654,8 @@ A \] in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden. Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist. -Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen +Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum $\mathbb{L}$ der Gleichung $Ax=0$, +da alle Zeilen Vielfache der ersten Zeile sind, reicht es zu verlangen, dass die Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung \[ @@ -674,7 +689,7 @@ B=\begin{pmatrix*}[r] 2& 0& -21\\ 1& 0& -6 \end{pmatrix*} -\qquad\text{mit Inverser} +\qquad\text{mit der Inversen} \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix*}[r] 0&-\frac23& \frac73\\ @@ -682,7 +697,7 @@ B^{-1}=\begin{pmatrix*}[r] 1& \frac13&-\frac23 \end{pmatrix*} \] -transformiert die Matrix $A$ auf den Block $N_3$: +transformiert die Matrix $A$ auf die Blockform \[ B^{-1}AB = @@ -699,9 +714,7 @@ B^{-1}\begin{pmatrix*}[r] &0&1\\ &0&0 \end{array} -\right) -= -N_3. +\right). \qedhere \] \end{beispiel} |