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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index 96cb18b..c69329b 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -72,8 +72,16 @@ $m(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_m)$ mit der Eigenschaft $m(A)=0$. Dies ist auch das Polynom von kleinstmöglichem Grad, denn für jeden Eigenwert muss ein entsprechender Linearfaktor in so einem Polynom vorkommen. + +\begin{definition} +\label{buch:normalformen:def:minimalpolynom} +Das {\em Minimalpolynom} $m_A(X)\in\Bbbk[X]$ einer Matrix +\index{Minimalpolynom} +$A\in M_{n}(\Bbbk)$ ist das Polynom kleinstmöglichen Grades, für +das $m_A(X)=0$ gilt. +\end{definition} + Das Polynom $m(x)$ ist daher das Minimalpolynom der Matrix $A$. -\index{Minimalpolynome}% Da jeder Faktor in $m(x)$ auch ein Faktor von $\chi_A(x)$ ist, folgt wieder $\chi_A(A)=0$. Ausserdem ist über dem Körper $\Bbbk'$ das Polynom $m(x)$ ein Teiler @@ -337,8 +345,8 @@ wird. Die nicht reellen Eigenwerte von $A$ treten in konjugiert komplexen Paaren $\lambda_i$ und $\overline{\lambda}_i$ auf. -Wir betrachten im Folgenden nur ein einziges Paar $\lambda=a+ib$ und -$\overline{\lambda}=a-ib$ von konjugiert komplexen Eigenwerten mit +Wir betrachten im Folgenden nur ein einziges Paar $\lambda=\alpha+i\beta$ und +$\overline{\lambda}=\alpha-i\beta$ von konjugiert komplexen Eigenwerten mit nur je einem einzigen $n\times n$-Jordan-Block $J$ und $\overline{J}$. Ist $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ die Basis für den Jordan-Block $J$, dann kann man die Vektoren @@ -377,8 +385,8 @@ J&0\\ & & & &\lambda&&&&&\\ &&&& &\overline{\lambda}&1&& & \\ &&&& &&\overline{\lambda}&1& & \\ -&&&& &&&\overline{\lambda} &\dots& \\ -&&&& &&& &\dots&1\\ +&&&& &&&\overline{\lambda} &\ddots& \\ +&&&& &&& &\ddots&1\\ &&&& &&& &&\overline{\lambda}\\ \end{pmatrix}. \] @@ -386,24 +394,24 @@ J&0\\ Die Jordan-Normalform bedeutet, dass \[ \begin{aligned} -Ab_1&=\lambda b_1 & - A\overline{b}_1 &= \overline{\lambda} \overline{b}_1 \\ -Ab_2&=\lambda b_2 + b_1 & - A\overline{b}_2 &= \overline{\lambda} \overline{b}_2 +\overline{b_1}\\ -Ab_3&=\lambda b_3 + b_2 & - A\overline{b}_3 &= \overline{\lambda} \overline{b}_3 +\overline{b_2}\\ - &\;\vdots & +Ab_1&=\lambda b_1 &&\Rightarrow& + A\overline{b}_1 &= \overline{\lambda} \overline{b}_1, \\ +Ab_2&=\lambda b_2 + b_1 &&\Rightarrow& + A\overline{b}_2 &= \overline{\lambda} \overline{b}_2 +\overline{b_1},\\ +Ab_3&=\lambda b_3 + b_2 &&\Rightarrow& + A\overline{b}_3 &= \overline{\lambda} \overline{b}_3 +\overline{b_2},\\ + &\;\vdots && & &\;\vdots \\ -Ab_n&=\lambda b_n + b_{n-1} & - A\overline{b}_n &= \overline{\lambda} \overline{b}_n +\overline{b_{n-1}} +Ab_n&=\lambda b_n + b_{n-1} &&\Rightarrow& + A\overline{b}_n &= \overline{\lambda} \overline{b}_n +\overline{b_{n-1}}. \end{aligned} \] Für die Linearkombinationen \begin{equation} \begin{aligned} -c_i &= \frac{b_i+\overline{b}_i}{\sqrt{2}}, +c_k &= \frac{b_k+\overline{b}_k}{\sqrt{2}}, & -d_i &= \frac{b_i-\overline{b}_i}{i\sqrt{2}} +d_k &= \frac{b_k-\overline{b}_k}{i\sqrt{2}} \end{aligned} \label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung} \end{equation} |