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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 649fcd7..d1a2954 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -362,7 +362,7 @@ Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren} visualisierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$ die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann. Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel. -Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$. +Die Approximation ist der exakte Wert, wenn $a-u^2=0$. In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden. Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein. Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen, @@ -534,7 +534,7 @@ und hermitesche Matrizen erhalten. Ist $A$ symmetrische oder hermitesche Matrix und $f$ eine Funktion auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$. Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen -Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ +Folge $p_n(A)$ mit Polynomen $p_n(x)$ ist, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig gegen $f$ konvergieren. \end{satz} @@ -586,7 +586,7 @@ gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden. \subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen} Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt -also für komplexe Funktionen nicht gelten, wir haben eine Funktion +für komplexe Funktionen nicht gelten, denn wir haben eine Funktion gefunden, die sich nicht approximieren lässt. Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg @@ -601,7 +601,7 @@ und Imaginärteil. Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als $\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$ bestimmen. -Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit +Die Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist gleichbedeutend mit der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$. Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden. Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag @@ -676,13 +676,13 @@ A\overline{A} \] zeigt. Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt -$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet. +$A$ die hermitesche Konjugierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet. Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$ in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig. Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch als $\overline{z}z$ schreiben. -Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass +Damit die Substitution eindeutig wird, muss man also fordern, dass $AA^* = A^*A$ ist. \begin{definition} @@ -770,11 +770,11 @@ Der Beweis, dass $A+B$ normal ist, erfolgt durch Nachrechnen: \begin{align*} (A+B)(A+B)^* &= -AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^* +AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^*, \\ (A+B)^*(A+B) &= -A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B +A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B. \end{align*} Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil $A$ und $B$ normal sind. @@ -796,7 +796,7 @@ was zeigt, dass auch $AB$ normal ist. \subsubsection{Spektralsatz für normale Matrizen} Mit dem Begriff der normalen Matrix lässt sich der Spektralsatz nun -abschliessen formulieren. +abschliessend formulieren. Die vorangegangene Diskussion hat gezeigt, dass man einen solchen Satz für nicht normale Matrizen nicht erwarten kann. |