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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 94a64e1..1023d20 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -5,6 +5,7 @@ % \section{Spektraltheorie \label{buch:section:spektraltheorie}} +\rhead{Spektraltheorie} Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine \index{Spektraltheorie} Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf @@ -28,8 +29,8 @@ unklar. Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$ gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass -die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf -der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein +die grösste Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf +der Menge $K$ klein sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein sein soll. Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst, @@ -80,8 +81,8 @@ Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird, ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur zeigt, dass die Approximation unter einigermassen natürlichen Voraussetzungen beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch -weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine -komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann, +weitere Einsicht in die Voraussetzungen an eine +komplexe Matrix geben kann, damit man damit rechnen kann, dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt. % @@ -136,14 +137,14 @@ p(z_i) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{i\!j} = -f_(z_i) +f(z_i) \] annimmt. Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}. -Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer -ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen -annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt. +Zwar lässt sich auf diese Weise für eine endliche Menge von komplexen Zahlen +immer ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen +annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher schlecht. \subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen} @@ -175,8 +176,7 @@ gegen die Funktion $f(t)$. Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts ausgesagt. Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll, -wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im -wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt. +wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind. Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom erhalten, indem man die affine Transformation @@ -205,7 +205,7 @@ In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage, dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch trigonometrische Polynome approximieren lässt. -Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen +Die Aussage des Satzes von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern. Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr @@ -286,7 +286,7 @@ Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen. Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits -ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$ +ergibt, dass jede beliebige Funktion sich durch Polynome in $x$ approximieren lässt. Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass. @@ -357,9 +357,9 @@ der selben Grösse. \end{figure} \begin{proof}[Beweis] -Wer konstruieren zunächst das in +Wir konstruieren zunächst das in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren} -visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$ +visualisierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$ die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann. Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel. Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$. @@ -392,8 +392,9 @@ von Funktionen approximieren. Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$. Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist. -Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und -approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$. +Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$, +bilden eine monoton wachsende Folge von Funktionen und +approximieren $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$ gleichmässig. \item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert @@ -454,8 +455,8 @@ derart, dass $g_y(y)=f(y)$ und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für $x\in K$. Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in einer Umgebung $U_y$ von $y$. -Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$ -immer noch ganz $K$ überdecken. +Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart wählen, +dass die $U_{y_i}$ immer noch ganz $K$ überdecken. Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$, weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt. Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$ @@ -701,17 +702,11 @@ Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit AA^* = \pm A^2 = A^*A. \) \item -Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal, +Symmetrische und antisymmetrische reelle Matrizen sind normal. \index{symmetrisch}% \index{antisymmetrisch}% -denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit -\begin{align*} -AA^* &= A\overline{A}^t = -\\ -A^*A &= -\end{align*} \item -Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt. +Unitäre Matrizen $U$ sind normal, da $UU^*=I=U^*U$ gilt. \index{unitär}% \item Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$. @@ -771,20 +766,20 @@ und $AB$ normal. \begin{proof}[Beweis] Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch $A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$. -Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen: +Der Beweis, dass $A+B$ normal ist, erfolgt durch Nachrechnen: \begin{align*} (A+B)(A+B)^* &= -AA^* + AB^* + BA^*+BB^* +AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^* \\ (A+B)^*(A+B) &= -A^*A + A^*B + B^*A + B^*B +A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B \end{align*} Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil $A$ und $B$ normal sind. -Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von -$A$ und $B^*$. +Die gleichfarbigen gemischten Terme stimmen überein wegen der +Vertauschbarkeit von $A$ und $B^*$. Für das Produkt rechnet man \begin{align*} @@ -825,16 +820,16 @@ Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent: \begin{enumerate} \item -Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar +Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar. \item -Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$ +Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$. \item -Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$ +Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$. \item Die Frobenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$ \index{Frobenius-Norm}% von $A$ berechnet werden: -$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$ +$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$. \item Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil $\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen. @@ -843,7 +838,7 @@ $\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen. \item $A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$. \item -Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$ +Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$. \index{unitär}% \item Es gibt eine Polarzerlegung $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und |