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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex new file mode 100644 index 0000000..6c0223e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +Seien $z$ und $w$ komplexe Zahlen derart, dass $z=e^w$, d.~h.~$w$ ist +ein Wert des Logarithmus von $z$. +Zeigen Sie, dass die Zahlen $w+2\pi ik$ für $k\in\mathbb Z$ ebenfalls +Logarithmen von $z$ sind. +Dies zeigt, dass eine komlexe Zahl unendlich viele verschiedene +Logarithmen haben kann, die Logarithmusfunktion ist im Komplexen +nicht eindeutig. + +\begin{loesung} +Aus der Eulerschen Formel folgt +\begin{align*} +e^{w+2\pi ik} +&= +e^w\cdot e^{2\pi ik} += +e^w (\underbrace{\cos 2\pi k}_{\displaystyle=1} + i \underbrace{\sin 2\pi k}_{\displaystyle = 0}) += +e^w += +z. +\qedhere +\end{align*} +\end{loesung} |