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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-01-08 13:36:54 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-01-08 13:36:54 +0100 |
commit | e5dec2d8164c7c8d53e5db824b50a481edf71ede (patch) | |
tree | 9d4661e338b16eec0d2a3521f219fd3c0b486ca1 /buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex | |
parent | Abschnitt über den euklidischen Algorithmus hinzugefügt (diff) | |
download | SeminarMatrizen-e5dec2d8164c7c8d53e5db824b50a481edf71ede.tar.gz SeminarMatrizen-e5dec2d8164c7c8d53e5db824b50a481edf71ede.zip |
zwei Aufgaben hinzugefüegt
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-rw-r--r-- | buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex | 23 |
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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex new file mode 100644 index 0000000..6c0223e --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4002.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +Seien $z$ und $w$ komplexe Zahlen derart, dass $z=e^w$, d.~h.~$w$ ist +ein Wert des Logarithmus von $z$. +Zeigen Sie, dass die Zahlen $w+2\pi ik$ für $k\in\mathbb Z$ ebenfalls +Logarithmen von $z$ sind. +Dies zeigt, dass eine komlexe Zahl unendlich viele verschiedene +Logarithmen haben kann, die Logarithmusfunktion ist im Komplexen +nicht eindeutig. + +\begin{loesung} +Aus der Eulerschen Formel folgt +\begin{align*} +e^{w+2\pi ik} +&= +e^w\cdot e^{2\pi ik} += +e^w (\underbrace{\cos 2\pi k}_{\displaystyle=1} + i \underbrace{\sin 2\pi k}_{\displaystyle = 0}) += +e^w += +z. +\qedhere +\end{align*} +\end{loesung} |