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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex index 2fab61a..dd82067 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Verwenden Sie die Matrixdarstellung komplexer Zahlen, um $i^i$ zu berechnen. \begin{hinweis} -Verwenden Sie die eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen. +Verwenden Sie die Eulersche Formel um $\log J$ zu bestimmen. \end{hinweis} \begin{loesung} @@ -14,11 +14,11 @@ Zunächst erinnern wir an die Eulersche Formel = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k J^k}{k!} = -\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot E +\sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i}(-1)^i}{(2i)!}\cdot I + \sum_{i=0}^\infty \frac{t^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}\cdot J = -\cos t\cdot E +\cos t\cdot I + \sin t\cdot J. \] @@ -49,7 +49,7 @@ J = \begin{pmatrix} Als nächstes müssen wir $J\log J$ berechnen. Aus \eqref{4001:logvalue} folgt \[ -J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot E. +J\log J = J\cdot \frac{\pi}2J = - \frac{\pi}2 \cdot I. \] Darauf ist die Exponentialreihe auszuwerten, also \[ @@ -57,7 +57,7 @@ J^J = \exp (J\log J) = -\exp(-\frac{\pi}2 E) +\exp(-\frac{\pi}2 I) = \exp \begin{pmatrix} @@ -70,7 +70,7 @@ e^{-\frac{\pi}2}&0\\ 0&e^{-\frac{\pi}2} \end{pmatrix} = -e^{-\frac{\pi}2} E. +e^{-\frac{\pi}2} I. \] Als komplexe Zahlen ausgedrückt folgt also $i^i = e^{-\frac{\pi}2}$. \end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex index 3cd9959..b749356 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex @@ -78,11 +78,11 @@ Ab_1 = 3b_1 \] ab. -Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-eE)$ +Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ bestimmen. -Die vierte Potenz von $A-2E$ ist +Die vierte Potenz von $A-2I$ ist \begin{equation} -(A-2E)^4 +(A-2I)^4 = \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0\\ @@ -108,13 +108,13 @@ b_4 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\2\end{pmatrix} \] -für den Kern $\mathcal{K}(A-2E)$ ablesen. -Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2E) -= \mathcal{J}(A-3E)$ sein. -Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2E$ +für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen. +Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I) += \mathcal{J}(A-3I)$ sein. +Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$ berechnen, sie ist \[ -(A-2E)^4 +(A-2I)^4 = \begin{pmatrix} 79& -26& 152& -152\\ @@ -124,7 +124,7 @@ berechnen, sie ist \end{pmatrix}. \] Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$ -und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2E)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. +und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen @@ -154,16 +154,16 @@ A_1 \end{pmatrix} \] in der rechten unteren Ecke hat den dreifachen Eigenwert $2$, -und die Potenzen von $A_1-2E$ sind +und die Potenzen von $A_1-2I$ sind \[ -A_1-2E +A_1-2I \begin{pmatrix} -15 & 5& 29\\ -27 & 9& 51\\ -3 & 1& 6 \end{pmatrix} ,\qquad -(A_1-2E)^2 +(A_1-2I)^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -6\\ @@ -171,10 +171,10 @@ A_1-2E 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} ,\qquad -(A_1-2E)^3=0. +(A_1-2I)^3=0. \] Für die Jordan-Normalform brauchen wir einen von $0$ verschiedenen -Vektor im Kern von $(A_1-2E)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den +Vektor im Kern von $(A_1-2I)^2$, zum Beispiel den Vektor mit den Komponenten $1,3,1$. Man beachte aber, dass diese Komponenten jetzt in der neuen Basis $b_2,\dots,b_4$ zu verstehen sind, d.~h.~der Vektor, den wir suchen, ist @@ -185,7 +185,7 @@ b_1+ 3b_2+b_3 = \begin{pmatrix}1\\3\\1\\2\end{pmatrix}. \] -Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2E$: +Jetzt berechnen wir die Bilder von $c_3$ unter $A-2I$: \[ c_2 = diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex new file mode 100644 index 0000000..5940b46 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4004.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +Berechnen Sie $\sin At$ für die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +\omega& 1 \\ + 0 &\omega +\end{pmatrix}. +\] +Kontrollieren Sie Ihr Resultat, indem Sie den Fall $\omega = 0$ gesondert +ausrechnen. +\begin{hinweis} +Schreiben Sie $A=\omega I + N$ mit einer nilpotenten Matrix. +\end{hinweis} + +\begin{loesung} +Man muss $At$ in die Potenzreihe +\[ +\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \dots +\] +für die Sinus-Funktion einsetzen. +Mit der Schreibweise $A=\omega I + N$, wobei $N^2=0$ können die Potenzen etwas +leichter berechnet werden: +\begin{align*} +A^0 &= I +\\ +A^1 &= \omega I + N +\\ +A^2 &= \omega^2 I + 2\omega N +\\ +A^3 &= \omega^3 I + 3\omega^2 N +\\ +A^4 &= \omega^4 I + 4\omega^3 N +\\ +&\phantom{a}\vdots +\\ +A^k &= \omega^k I + k\omega^{k-1} N +\end{align*} +Damit kann man jetzt $\sin At$ berechnen: +\begin{align} +\sin At +&= +At - \frac{A^3t^3}{3!} + \frac{A^5t^5}{5!} - \frac{A^7t^7}{7!} +\dots +\notag +\\ +&= +\biggl( +\omega t - \frac{\omega^3t^3}{3!} + \frac{\omega^5t^5}{5!} - \frac{\omega^7t^7}{7!} ++\dots +\biggr)I ++ +\biggl( +t -\frac{3\omega^2t^3}{3!} + \frac{5\omega^4t^5}{5!} - \frac{7\omega^6t^7}{7!}+\dots +\biggr)N +\notag +\\ +&= +I\sin\omega t ++tN\biggl(1-\frac{\omega^2t^2}{2!} +\frac{\omega^4t^4}{4!} +- \frac{\omega^6t^6}{6!} ++\dots\biggr) +\notag +\\ +&=I\sin\omega t + tN\cos\omega t. +\label{4004:resultat} +\end{align} +Im Fall $\omega=0$ ist $A=N$ und $A^2=0$, so dass +\[ +\sin At = tN, +\] +dies stimmt mit \eqref{4004:resultat} für $\omega=0$ überein, da +$\cos\omega t = \cos 0=1$ in diesem Fall. +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex new file mode 100644 index 0000000..ec76c34 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex @@ -0,0 +1,151 @@ +Rechnen Sie nach, dass die Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix} +2&1&0\\ +0&2&1\\ +1&0&2 +\end{pmatrix} +\] +normal ist. +\begin{teilaufgaben} +\item +Berechnen Sie die Eigenwerte, indem Sie das charakteristische Polynom +von $A$ und seine Nullstellen bestimmen. +\item +Das Polynom +\[ +p(z,\overline{z}) += +\frac{(3-\sqrt{3})z\overline{z}-9(1-\sqrt{3})}{6} +\] +hat die Eigenschaft, dass +\begin{align*} +p(\lambda,\lambda) &= |\lambda| +\end{align*} +für alle drei Eigenwerte von $A$. +Verwenden Sie dieses Polynom, um $B=|A|$ zu berechen. +\item +Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie mit einem Computeralgebra-Programm +die Eigenwerte von $B$ bestimmen. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +Die Matrix $A$ ist von der Form $2I+O$ mit $O\in\operatorname{SO}(3)$, +für solche Matrizen wurde gezeigt, dass sie normal sind. +Man kann aber auch direkt nachrechnen: +\begin{align*} +AA^t +&= +\begin{pmatrix} +2&1&0\\ +0&2&1\\ +1&0&2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +2&0&1\\ +1&2&0\\ +0&1&2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +5&2&2\\ +2&5&2\\ +2&2&5 +\end{pmatrix} +\\ +A^tA +&= +\begin{pmatrix} +2&0&1\\ +1&2&0\\ +0&1&2 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +2&1&0\\ +0&2&1\\ +1&0&2 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +5&2&2\\ +2&5&2\\ +2&2&5 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Es gilt also $AA^t=A^tA$, die Matrix ist also normal. +\begin{teilaufgaben} +\item Das charakteristische Polynom ist +\begin{align} +\chi_A(\lambda) +&=\left| +\begin{matrix} +2-\lambda & 1 & 0 \\ + 0 & 2-\lambda & 1 \\ + 1 & 0 & 2-\lambda +\end{matrix} +\right| += +(2-\lambda)^3+1 +\label{4005:charpoly} +\\ +&=-\lambda^3 -6\lambda^2 + 12\lambda +9. +\notag +\end{align} +Mit einem Taschenrechner kann man die Nullstellen finden, +aber man kann das auch die Form \eqref{4005:charpoly} +des charakteristischen Polynoms direkt faktorisieren: +\begin{align*} +\chi_A(\lambda) +&= +(2-\lambda)^3+1 +\\ +&= +((2-\lambda)+1) +((2-\lambda)^2 -(2-\lambda)+1) +\\ +&= +(3-\lambda) +(\lambda^2-3\lambda +4-2+\lambda +1) +\\ +&= +(3-\lambda) +(\lambda^2-2\lambda +3) +\end{align*} +Daraus kann man bereits einen Eigenwert $\lambda=3$ ablesen, +die weiteren Eigenwerte sind die Nullstellen des zweiten Faktors, die +man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden kann: +\begin{align*} +\lambda_{\pm} +&= +\frac{3\pm\sqrt{9-12}}{2} += +\frac{3}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2} += +\frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} +\end{align*} +\item +Wir müssen $z=A$ und $\overline{z}=A^t$ im Polynom $p(z,\overline{z})$ +substituieren und erhalten +\begin{align*} +B +&= +\frac{3-\sqrt{3}}6 \begin{pmatrix}5&2&2\\2&5&2\\2&2&5\end{pmatrix} ++\frac{\sqrt{3}-1}{2}I +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 2.1547005& 0.42264973& 0.42264973 \\ + 0.4226497& 2.15470053& 0.42264973 \\ + 0.4226497& 0.42264973& 2.15470053 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\item +Tatsächlich gibt die Berechnung der Eigenwerte +den einfachen Eigenwert $\mu_0=3=|\lambda_0|$ +und +den doppelten Eigenwert $\mu_{\pm} = \sqrt{3}=1.7320508=|\lambda_{\pm}|$. +\qedhere +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima new file mode 100644 index 0000000..9c97a2b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima @@ -0,0 +1,121 @@ +/* + * 4006.maxima + * + * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + */ + +A: matrix([ a+b*%i, 1, 0, 0 ], + [ 0, a+b*%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, a-b*%i, 1 ], + [ 0, 0, 0, a-b*%i ]); + +expand(charpoly(A, x)); + +S: (1/sqrt(2)) * matrix([ 1, -%i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, -%i ], + [ 1, %i, 0, 0 ], + [ 0, 0, 1, %i ]); + +B: expand(invert(S).A.S); + + +C: subst(2, a, B); +C: subst(3, b, C); +A: subst(2, a, A); +A: subst(3, b, A); + +U: matrix([ 1, 0, 1, 0 ], + [ 0, 1, 1, 2 ], + [ 0, 0, 1, 0 ], + [ 0, 0, 0, 1 ]); +V: matrix([ 1, 0, 0, 0 ], + [ 0, 1, 0, 0 ], + [ 0, 1, 1, 0 ], + [ 1, 0, 0, 1 ]); +T: U.V; +invert(T); + +D: T.C.invert(T); + +p: expand(charpoly(D, x)); + +factor(p); + +lambda: 2+3*%i; + +Dlambda: ratsimp(expand(D - lambda * identfor(D))); +rank(Dlambda); +/* D2: expand(Dlambda.Dlambda); */ +/* rank(D2); */ + +load(functs); + +/* +E: Dlambda; +E[1]: (rational(1/E[1,1]))*E[1]$ +E[2]: E[2] - E[2,1] * E[1]$ +E[3]: E[3] - E[3,1] * E[1]$ +E[4]: E[4] - E[4,1] * E[1]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: (rational(1/E[2,2])) * E[2]$ +E[3]: E[3] - E[3,2] * E[2]$ +E[4]: E[4] - E[4,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[3]: (rational(1/E[3,3])) * E[3]$ +E[4]: E[4] - E[4,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[2]: E[2] - E[2,3] * E[3]$ +E[1]: E[1] - E[1,3] * E[3]$ +E: ratsimp(E)$ + +E[1]: E[1] - E[1,2] * E[2]$ +E: ratsimp(E)$ + +E; +*/ + +b1: matrix([1+%i],[2+2*%i],[%i],[1]); +ratsimp(D.b1 - lambda*b1); + +G: Dlambda; +G: addcol(G, b1); +G[1]: (rational(1/G[1,1]))*G[1]$ +G[2]: G[2] - G[2,1] * G[1]$ +G[3]: G[3] - G[3,1] * G[1]$ +G[4]: G[4] - G[4,1] * G[1]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: (rational(1/G[2,2])) * G[2]$ +G[3]: G[3] - G[3,2] * G[2]$ +G[4]: G[4] - G[4,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[3]: (rational(1/G[3,3])) * G[3]$ +G[4]: G[4] - G[4,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[2]: G[2] - G[2,3] * G[3]$ +G[1]: G[1] - G[1,3] * G[3]$ +G: ratsimp(G)$ + +G[1]: G[1] - G[1,2] * G[2]$ +G: ratsimp(G)$ + +G; + +b2: matrix([ G[1,5] ], [ G[2,5] ], [ G[3,5] ], [ G[4,5] ]); + +expand(D.b2 - lambda * b2 - b1); + +c1: 2 * realpart(b1); +d1: 2 * imagpart(b1); +c2: 2 * realpart(b2); +d2: 2 * imagpart(b2); + +D.c1 - 2 * c1 + 3 * d1; +D.d1 - 3 * c1 - 2 * d1; +D.c2 - 2 * c2 + 3 * d2 - c1; +D.d2 - 3 * c2 - 2 * d2 - d1; diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex new file mode 100644 index 0000000..7ccc065 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -0,0 +1,97 @@ +Man findet eine Basis, in der die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix*}[r] + -5& 2& 6& 0\\ +-11& 12& -3& -15\\ + -7& 0& 9& 4\\ + 0& 5& -7& -8 +\end{pmatrix*} +\] +die relle Normalform bekommt. + +\begin{loesung} +Das charakteristische Polynom der Matrix ist +\[ +\chi_{A}(\lambda) += +\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169 += +(\lambda^2-4\lambda+13)^2. +\] +Es hat die doppelten Nullstellen +\[ +\lambda_\pm += +2\pm \sqrt{4-13} += +2\pm \sqrt{-9} += +2\pm 3i. +\] +Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von +$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus, +man findet +\[ +b_1 += +\begin{pmatrix} +1+i\\ +2+2i\\ +i\\ +1 +\end{pmatrix}. +\] +Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der +$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet. +Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man +\[ +b_2 += +\begin{pmatrix} +2-i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix} +\qquad\text{und damit weiter}\qquad +\overline{b}_1 += +\begin{pmatrix} +1-i\\ +2-2i\\ +-i\\ +1 +\end{pmatrix},\quad +\overline{b}_2 += +\begin{pmatrix} +2+i\\3\\2\\0 +\end{pmatrix}. +\] +Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren +\begin{align*} +c_1 +&= +b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},& +d_1 +&= +\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},& +c_2 +&= +b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},& +d_2 +&= +\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix} +\end{align*} +verwenden. +In dieser Basis hat $A$ die Matrix +\[ +A' += +\begin{pmatrix*}[r] + 2& 3& 1& 0\\ +-3& 2& 0& 1\\ + 0& 0& 2& 3\\ + 0& 0&-3& 2 +\end{pmatrix*}, +\] +wie man einfach nachrechnen kann. +\end{loesung} + |