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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex index 745dd5f..2a27eea 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex @@ -131,7 +131,7 @@ untersuchen. \subsection{Verallgemeinerte Eigenräume \label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist -ist $A-\lambda I$ injektiv und $\ker(A-\lambda I)\ne 0$. +$A-\lambda I$ nicht injektiv und $\ker(A-\lambda I)\ne 0$. Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda I)$ und $\mathcal{J}(A-\lambda I)$ bilden. @@ -269,7 +269,7 @@ A' & &0& 1 \end{array}\right), \] -die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-I)$ +die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{J}(A-I)$ und $\mathcal{K}(A-I)$. Die aus $A-I$ gewonnenen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante Unterräume für $A$. @@ -312,7 +312,7 @@ in invariante Unterräume, wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. Die Matrix $A-\lambda_1 I$ eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ ist nilpotent. -Man kann daher sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ hat +Man kann daher sagen, auf dem Unterraum $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ hat $A$ die Form $\lambda_1 I + N$, wobei $N$ nilpotent ist. Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1I$ diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index fa924c8..c204653 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -343,7 +343,7 @@ In $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ kann man unabhängig voneinander jeweils eine Basis wählen. Die Basen von $\mathcal{K}(A)$ und $\mathcal{J}(A)$ zusammen ergeben eine Basis von $V$. -Die Matrix $A'$ in dieser Basis wird die Blockform +In dieser Basis wird die Matrix $A'$ die Blockform \[ A' = @@ -391,7 +391,7 @@ Obere (oder untere) Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen sind nilpotent. \index{Dreiecksmatrix}% Wir rechnen dies wie folgt nach. -Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{i\!j}$ +Die Matrix \[ A=\begin{pmatrix} 0 &a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1,n-1}&a_{1n} \\ @@ -402,6 +402,7 @@ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0 \end{pmatrix} \] +mit Einträgen $a_{i\!j}$ erfüllt $a_{i\!j}=0$ für $i\ge j$. Wir zeigen jetzt, dass sich bei der Multiplikation die nicht verschwinden Elemente bei der Multiplikation noch rechts oben diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index c69329b..132947f 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -336,9 +336,9 @@ Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt. \subsection{Reelle Normalform \label{buch:subsection:reelle-normalform}} -Wenn eine reelle Matrix $A$ komplexe Eigenwerte hat, ist die Jordansche +Wenn eine reelle Matrix $A$ nicht reelle Eigenwerte hat, ist die Jordansche Normalform zwar möglich, aber die zugehörigen Basisvektoren werden ebenfalls -komplexe Komponenten haben. +nicht reelle Komponenten haben. Für eine rein reelle Rechnung ist dies nachteilig, da der Speicheraufwand dadurch verdoppelt und der Rechenaufwand für Multiplikationen vervierfacht wird. diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index 1ac50a2..470c7f0 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -216,7 +216,7 @@ A^3= -4& 108& -48\\ -12& -36& 28\\ -24&-126& 83 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}, \label{buch:eigenwerte:eqn:A2A3} \end{equation} und daraus kann man jetzt $p(A)$ berechnen: @@ -250,7 +250,7 @@ p(A) = \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix} -\ne 0 +\ne 0. \label{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom} \end{equation} Daher kann $p(X)$ nicht das Minimalpolynom $A$ @@ -345,7 +345,7 @@ A^{i-k}A^k = A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0I) \] -auf einer Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren. +auf eine Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren. Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduziert werden in ein Polynom vom Grad $<k$ mit dem gleichen Wert auf $A$. @@ -374,7 +374,7 @@ Wie misst man, ob ein Polynom eine Funktion gut approximiert? Was bedeutet es genau, dass zwei Matrizen ``nahe beeinander'' sind? \item In welchem Sinne müssen Polynome ``nahe'' beeinander sein, damit -auch die Werte auf $A$ nahe beeinander sind. +auch die Werte auf $A$ nahe beeinander sind? \end{enumerate} Wir wissen bereits, dass nur die Werte und gewisse Ableitungen des diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 649fcd7..d1a2954 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -362,7 +362,7 @@ Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren} visualisierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$ die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann. Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel. -Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$. +Die Approximation ist der exakte Wert, wenn $a-u^2=0$. In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden. Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein. Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen, @@ -534,7 +534,7 @@ und hermitesche Matrizen erhalten. Ist $A$ symmetrische oder hermitesche Matrix und $f$ eine Funktion auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$. Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen -Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ +Folge $p_n(A)$ mit Polynomen $p_n(x)$ ist, die auf $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig gegen $f$ konvergieren. \end{satz} @@ -586,7 +586,7 @@ gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden. \subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen} Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt -also für komplexe Funktionen nicht gelten, wir haben eine Funktion +für komplexe Funktionen nicht gelten, denn wir haben eine Funktion gefunden, die sich nicht approximieren lässt. Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg @@ -601,7 +601,7 @@ und Imaginärteil. Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als $\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$ bestimmen. -Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit +Die Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist gleichbedeutend mit der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$. Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden. Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag @@ -676,13 +676,13 @@ A\overline{A} \] zeigt. Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt -$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet. +$A$ die hermitesche Konjugierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet. Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$ in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig. Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch als $\overline{z}z$ schreiben. -Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass +Damit die Substitution eindeutig wird, muss man also fordern, dass $AA^* = A^*A$ ist. \begin{definition} @@ -770,11 +770,11 @@ Der Beweis, dass $A+B$ normal ist, erfolgt durch Nachrechnen: \begin{align*} (A+B)(A+B)^* &= -AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^* +AA^* + {\color{red}AB^*} + {\color{blue}BA^*}+BB^*, \\ (A+B)^*(A+B) &= -A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B +A^*A + {\color{blue}A^*B} + {\color{red}B^*A} + B^*B. \end{align*} Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil $A$ und $B$ normal sind. @@ -796,7 +796,7 @@ was zeigt, dass auch $AB$ normal ist. \subsubsection{Spektralsatz für normale Matrizen} Mit dem Begriff der normalen Matrix lässt sich der Spektralsatz nun -abschliessen formulieren. +abschliessend formulieren. Die vorangegangene Diskussion hat gezeigt, dass man einen solchen Satz für nicht normale Matrizen nicht erwarten kann. diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m index e6e94db..8f3d795 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.m @@ -14,13 +14,13 @@ A = [ eig(A) -lambda = 2 +lambda = 3 B = A - lambda*eye(4) rref(B) D = B*B*B*B -lambda = 3 +lambda = 2 B = A - lambda*eye(4) rref(B) diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex index b749356..b0753a4 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4003.tex @@ -20,11 +20,11 @@ einiger Rechnung oder mit Hilfe einer Software für symbolische Rechnung: = x^4-9x^3+30x^2-44x+24 = -(x-3)^3(x-2), +(x-3)(x-2)^2, \] Eigenwerte sind also $\lambda=3$ und $\lambda=2$. -Der Eigenwert $\lambda=2$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige +Der Eigenwert $\lambda=3$ ist ein einfacher Eigenwert, der zugehörige Eigenraum ist daher eindimensional. Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems \begin{align*} @@ -48,10 +48,10 @@ Ein Eigenvektor kann mit Hilfe des linearen Gleichungssystems \to \begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} \hline -1&0&0& 0\\ -0&1&0& 0\\ +1&0&0&0\\ +0&1&0&0\\ 0&0&1&-1\\ -0&0&0& 0\\ +0&0&0&0\\ \hline \end{tabular} \end{align*} @@ -78,7 +78,8 @@ Ab_1 = 3b_1 \] ab. -Diesen Vektor können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ + +Den Vektor $b_1$ können wir auch finden, indem wir $\mathcal{J}(A-2I)$ bestimmen. Die vierte Potenz von $A-2I$ ist \begin{equation} @@ -111,10 +112,10 @@ b_4 für den Kern $\mathcal{K}(A-2I)$ ablesen. Da $\lambda=2$ der einzige andere Eigenwert ist, muss $\mathcal{K}(A-2I) = \mathcal{J}(A-3I)$ sein. -Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-2I$ +Dies lässt sich überprüfen, indem wir die vierte Potenz von $A-3I$ berechnen, sie ist \[ -(A-2I)^4 +(A-3I)^4 = \begin{pmatrix} 79& -26& 152& -152\\ @@ -124,7 +125,7 @@ berechnen, sie ist \end{pmatrix}. \] Die Spaltenvektoren lassen sich alle durch die Vektoren $b_2$, $b_3$ -und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-2I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. +und $b_4$ ausdrücken, also ist $\mathcal{J}(A-3I)=\langle b_2,b_3,b_4\rangle$. Indem die Vektoren $b_i$ als Spalten in eine Matrix $T$ schreibt, kann man jetzt berechnen, wie die Matrix der linearen Abbildung in dieser neuen diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex index ec76c34..40a69af 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4005.tex @@ -94,7 +94,7 @@ Es gilt also $AA^t=A^tA$, die Matrix ist also normal. \notag \end{align} Mit einem Taschenrechner kann man die Nullstellen finden, -aber man kann das auch die Form \eqref{4005:charpoly} +aber man kann auch die Form \eqref{4005:charpoly} des charakteristischen Polynoms direkt faktorisieren: \begin{align*} \chi_A(\lambda) @@ -124,6 +124,7 @@ man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden kann: \frac{3}{2} \pm\frac{\sqrt{-3}}{2} = \frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} +&|lambda_{\pm}&=\sqrt{3}. \end{align*} \item Wir müssen $z=A$ und $\overline{z}=A^t$ im Polynom $p(z,\overline{z})$ @@ -139,7 +140,7 @@ B 2.1547005& 0.42264973& 0.42264973 \\ 0.4226497& 2.15470053& 0.42264973 \\ 0.4226497& 0.42264973& 2.15470053 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} \item Tatsächlich gibt die Berechnung der Eigenwerte diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex index 7ccc065..69ca9bc 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -Man findet eine Basis, in der die Matrix +Man finde eine Basis, in der die Matrix \[ A=\begin{pmatrix*}[r] -5& 2& 6& 0\\ |