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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
index 34c2444..24ea57d 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex
@@ -1,50 +1,51 @@
-%

-% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren

-%

-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

-%

-\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren

-\label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}

-\lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}

-\rhead{}

-Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der

-Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden.

-Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,

-es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.

-Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente

-potenziert.

-Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente

-von $A^k$ einfach.

-Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in

-eine solche besonders einfache Form zu bringen.

-

-In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden

-Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen.

-Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}

-gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht

-werden können.

-Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen

-Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius}

-und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird.

-Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter

-geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius.

-Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.

-

-

-\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}

-\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}

-\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}

-\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}

-%\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}

-

-\section*{Übungsaufgaben}

-\rhead{Übungsaufgaben}

-\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}

-\begin{uebungsaufgaben}

-\uebungsaufgabe{4001}

-\uebungsaufgabe{4002}

-\uebungsaufgabe{4003}

-\uebungsaufgabe{4004}

-\uebungsaufgabe{4005}

-\end{uebungsaufgaben}

-

+%
+% chapter.tex -- Kapitel über Eigenwerte und Eigenvektoren
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren
+\label{buch:chapter:eigenwerte-und-eigenvektoren}}
+\lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren}
+\rhead{}
+Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der
+Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden.
+Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich,
+es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form.
+Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente
+potenziert.
+Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente
+von $A^k$ einfach.
+Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in
+eine solche besonders einfache Form zu bringen.
+
+In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden
+Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen.
+Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen}
+gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht
+werden können.
+Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen
+Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius}
+und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird.
+Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter
+geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius.
+Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben.
+
+
+\input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex}
+\input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex}
+\input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex}
+\input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex}
+%\input{chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex}
+
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{4001}
+\uebungsaufgabe{4002}
+\uebungsaufgabe{4003}
+\uebungsaufgabe{4004}
+\uebungsaufgabe{4005}
+\uebungsaufgabe{4006}
+\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
index 4d882f0..54b36d5 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/Makefile
@@ -1,44 +1,44 @@
-#

-# Makefile

-#

-# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil

-#

-all:	sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \

-	wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \

-	normalform.pdf minmax.pdf

-

-sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex

-	pdflatex sp.tex

-

-sppaths.tex:	spbeispiel.m

-	octave spbeispiel.m

-

-nilpotent.pdf:	nilpotent.tex

-	pdflatex nilpotent.tex

-

-kernbild.pdf:	kernbild.tex bild2.jpg kern2.jpg

-	pdflatex kernbild.tex

-

-kombiniert.pdf:	kombiniert.tex kombiniert.jpg

-	pdflatex kombiniert.tex

-

-wurzelapprox.pdf:	wurzelapprox.tex wa.tex

-	pdflatex wurzelapprox.tex

-

-wa.tex:	wa.m

-	octave wa.m

-

-wurzel.pdf:	wurzel.tex

-	pdflatex wurzel.tex

-

-dimjk.pdf:	dimjk.tex

-	pdflatex dimjk.tex

-

-jknilp.pdf:	jknilp.tex

-	pdflatex jknilp.tex

-

-normalform.pdf:	normalform.tex

-	pdflatex normalform.tex

-

-minmax.pdf:	minmax.tex

-	pdflatex minmax.tex

+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rappersil
+#
+all:	sp.pdf nilpotent.pdf kernbild.pdf kombiniert.pdf \
+	wurzelapprox.pdf wurzel.pdf dimjk.pdf jknilp.pdf \
+	normalform.pdf minmax.pdf
+
+sp.pdf:	sp.tex sppaths.tex
+	pdflatex sp.tex
+
+sppaths.tex:	spbeispiel.m
+	octave spbeispiel.m
+
+nilpotent.pdf:	nilpotent.tex
+	pdflatex nilpotent.tex
+
+kernbild.pdf:	kernbild.tex bild2.jpg kern2.jpg
+	pdflatex kernbild.tex
+
+kombiniert.pdf:	kombiniert.tex kombiniert.jpg
+	pdflatex kombiniert.tex
+
+wurzelapprox.pdf:	wurzelapprox.tex wa.tex
+	pdflatex wurzelapprox.tex
+
+wa.tex:	wa.m
+	octave wa.m
+
+wurzel.pdf:	wurzel.tex
+	pdflatex wurzel.tex
+
+dimjk.pdf:	dimjk.tex
+	pdflatex dimjk.tex
+
+jknilp.pdf:	jknilp.tex
+	pdflatex jknilp.tex
+
+normalform.pdf:	normalform.tex
+	pdflatex normalform.tex
+
+minmax.pdf:	minmax.tex
+	pdflatex minmax.tex
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
index cf81834..f661d5b 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/images/minmax.tex
@@ -1,134 +1,134 @@
-%

-% minmax.tex -- minimum und maximum

-%

-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule

-%

-\documentclass[tikz]{standalone}

-\usepackage{amsmath}

-\usepackage{times}

-\usepackage{txfonts}

-\usepackage{pgfplots}

-\usepackage{csvsimple}

-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}

-\begin{document}

-\def\skala{1}

-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]

-

-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}

-

-\def\mittellinie{

-	plot[domain=0:6.2832,samples=400]

-		({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))})

-}

-

-\begin{scope}

-	\fill[color=darkgreen!20]

-		plot[domain=0:6.2832,samples=360]

-			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})

-		--

-		plot[domain=6.2832:0,samples=360]

-			({\x},{cos(180*\x/3.1415)})

-		-- cycle;

-	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{

-		\draw[color=darkgreen]

-			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})

-			--

-			({\x},{cos(180*\x/3.1415)});

-	}

-

-	\node[color=darkgreen] at (2,-0.8) [left] {$|f(x)-g(x)|$};

-	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.8) -- (2.5,-0.7);

-

-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]

-		({\x},{sin(180*\x/3.1415)});

-	\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]

-		({\x},{cos(180*\x/3.1415)});

-	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;

-	\node[color=purple!50] at (6.2832,0.5) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))$};

-

-	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={below:$x$}];

-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];

-

-

-	\xdef\x{2}

-	\node[color=blue] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] {$f(x)$};

-	\pgfmathparse{2.5*3.14159-\x}

-	\xdef\x{\pgfmathresult}

-	\node[color=red] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [above left] {$g(x)$};

-

-\end{scope}

-

-\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415-1},-1.3) -- ({3.1415-2.3},-3);

-\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415+1},-1.3) -- ({3.1415+2.3},-3);

-

-\node at ({3.1415-1.75},-2.15) [left] {$\frac12(f(x)+g(x))+\frac12|f(x)-g(x)|$};

-\node at ({3.1415+1.75},-2.15) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))-\frac12|f(x)-g(x)|$};

-

-\def\s{(-0.1)}

-

-\begin{scope}[xshift=-3.4cm,yshift=-4.6cm]

-	\fill[color=darkgreen!20]

-		\mittellinie

-		--

-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})

-		-- cycle;

-	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{

-		\draw[color=darkgreen]

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})

-			--

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});

-	}

-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]

-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});

-

-	\node[color=darkgreen] at (2,-0.3) [left] {$|f(x)-g(x)|$};

-	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.3) -- (2.5,0.2);

-

-	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;

-	\pgfmathparse{0.75*3.1415+\s}

-	\xdef\x{\pgfmathresult}

-	\node[color=darkgreen] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right]

-		{$\max(f(x),g(x))$};

-	\node[color=purple!50] at ({1.25*3.1415},-0.7) [below]

-		{$\frac12(f(x)+g(x))$};

-	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];

-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];

-\end{scope}

-

-

-\begin{scope}[xshift=+3.4cm,yshift=-4.6cm]

-	\fill[color=darkgreen!20]

-		\mittellinie

-		--

-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})

-		-- cycle;

-	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{

-		\draw[color=darkgreen]

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})

-			--

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});

-	}

-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]

-		plot[domain=6.2832:0,samples=400]

-			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});

-

-	\node[color=darkgreen] at (3,0.3) [right] {$|f(x)-g(x)|$};

-	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (3,0.3) -- (2.5,-0.4);

-

-	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;

-	\pgfmathparse{0.75*3.1415-\s}

-	\xdef\x{\pgfmathresult}

-	\node[color=darkgreen] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [below left]

-		{$\min(f(x),g(x))$};

-	\node[color=purple!50] at ({0.25*3.1415},0.7) [above right]

-		{$\frac12(f(x)+g(x))$};

-	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];

-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];

-\end{scope}

-

-\end{tikzpicture}

-\end{document}

-

+%
+% minmax.tex -- minimum und maximum
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.5,0}
+
+\def\mittellinie{
+	plot[domain=0:6.2832,samples=400]
+		({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))})
+}
+
+\begin{scope}
+	\fill[color=darkgreen!20]
+		plot[domain=0:6.2832,samples=360]
+			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})
+		--
+		plot[domain=6.2832:0,samples=360]
+			({\x},{cos(180*\x/3.1415)})
+		-- cycle;
+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
+		\draw[color=darkgreen]
+			({\x},{sin(180*\x/3.1415)})
+			--
+			({\x},{cos(180*\x/3.1415)});
+	}
+
+	\node[color=darkgreen] at (2,-0.8) [left] {$|f(x)-g(x)|$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.8) -- (2.5,-0.7);
+
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]
+		({\x},{sin(180*\x/3.1415)});
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] plot[domain=0:6.29,samples=360]
+		({\x},{cos(180*\x/3.1415)});
+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
+	\node[color=purple!50] at (6.2832,0.5) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))$};
+
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={below:$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+
+	\xdef\x{2}
+	\node[color=blue] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right] {$f(x)$};
+	\pgfmathparse{2.5*3.14159-\x}
+	\xdef\x{\pgfmathresult}
+	\node[color=red] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [above left] {$g(x)$};
+
+\end{scope}
+
+\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415-1},-1.3) -- ({3.1415-2.3},-3);
+\draw[->,line width=4pt,color=gray!40] ({3.1415+1},-1.3) -- ({3.1415+2.3},-3);
+
+\node at ({3.1415-1.75},-2.15) [left] {$\frac12(f(x)+g(x))+\frac12|f(x)-g(x)|$};
+\node at ({3.1415+1.75},-2.15) [right] {$\frac12(f(x)+g(x))-\frac12|f(x)-g(x)|$};
+
+\def\s{(-0.1)}
+
+\begin{scope}[xshift=-3.4cm,yshift=-4.6cm]
+	\fill[color=darkgreen!20]
+		\mittellinie
+		--
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+		-- cycle;
+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
+		\draw[color=darkgreen]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+			--
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});
+	}
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)+abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});
+
+	\node[color=darkgreen] at (2,-0.3) [left] {$|f(x)-g(x)|$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (2,-0.3) -- (2.5,0.2);
+
+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
+	\pgfmathparse{0.75*3.1415+\s}
+	\xdef\x{\pgfmathresult}
+	\node[color=darkgreen] at (\x,{sin(180*\x/3.1415)}) [above right]
+		{$\max(f(x),g(x))$};
+	\node[color=purple!50] at ({1.25*3.1415},-0.7) [below]
+		{$\frac12(f(x)+g(x))$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}[xshift=+3.4cm,yshift=-4.6cm]
+	\fill[color=darkgreen!20]
+		\mittellinie
+		--
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+		-- cycle;
+	\foreach \x in {0.5,1,...,6}{
+		\draw[color=darkgreen]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))})
+			--
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159))});
+	}
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+		plot[domain=6.2832:0,samples=400]
+			({\x},{0.5*(sin(180*\x/3.14159)+cos(180*\x/3.14159)-abs(sin(180*\x/3.14159)-cos(180*\x/3.14159)))});
+
+	\node[color=darkgreen] at (3,0.3) [right] {$|f(x)-g(x)|$};
+	\draw[color=darkgreen,line width=0.3pt] (3,0.3) -- (2.5,-0.4);
+
+	\draw[color=purple!50,line width=1.4pt] \mittellinie;
+	\pgfmathparse{0.75*3.1415-\s}
+	\xdef\x{\pgfmathresult}
+	\node[color=darkgreen] at (\x,{cos(180*\x/3.1415)}) [below left]
+		{$\min(f(x),g(x))$};
+	\node[color=purple!50] at ({0.25*3.1415},0.7) [above right]
+		{$\frac12(f(x)+g(x))$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (6.5,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.3) coordinate[label={right:$y$}];
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
index c21c403..9169f65 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex
@@ -330,9 +330,259 @@ Es ist das Polynom geringsten Grades über $\Bbbk'$, welches $m(A)=0$ erfüllt.
 
 \subsection{Reelle Normalform
 \label{buch:subsection:reelle-normalform}}
+Wenn eine reelle Matrix $A$ komplexe Eigenwerte hat, ist die Jordansche
+Normalform zwar möglich, aber die zugehörigen Basisvektoren werden ebenfalls
+komplexe Komponenten haben.
+Für eine rein reelle Rechnung ist dies nachteilig, da der Speicheraufwand
+dadurch verdoppelt und der Rechenaufwand für Multiplikationen vervierfacht
+wird.
 
-\subsection{Obere Hessenberg-Form
-\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}}
+Die nicht reellen Eigenwerte von $A$ treten in konjugiert komplexen Paaren
+$\lambda_i$ und $\overline{\lambda}_i$ auf.
+Wir betrachten im Folgenden nur ein einziges Paar $\lambda=a+ib$ und
+$\overline{\lambda}=a-ib$ von konjugiert komplexen Eigenwerten mit
+nur je einem einzigen $n\times n$-Jordan-Block $J$ und $\overline{J}$.
+Ist $\mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ die Basis für den Jordan-Block $J$,
+dann kann man die Vektoren
+$\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$ als Basis für
+$\overline{J}$ verwenden.
+Die vereinigte Basis
+$\mathcal{C} = \mathcal{B}\cup\overline{\mathcal{B}}
+= \{b_1,\dots,b_n,\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_n\}$
+erzeugen einen $2n$-dimensionalen Vektorraum,
+der direkte Summe der beiden von $\mathcal{B}$ und $\overline{\mathcal{B}}$
+erzeugen Vektorräume $V=\langle\mathcal{B}\rangle$ und
+$\overline{V}=\langle\overline{\mathcal{B}}\rangle$ ist.
+Es ist also
+\[
+U=\langle \mathcal{C}\rangle
+=
+V\oplus \overline{V}.
+\]
+Wir bezeichnen die lineare Abbildung mit den Jordan-Blöcken
+$J$ und $\overline{J}$ wieder mit $A$.
+
+Auf dem Vektorraum $U$ hat die lineare Abbildung in der Basis
+$\mathcal{C}$ die Matrix
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+J&0\\
+0&\overline{J}
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\lambda&   1   &       &      &       &&&&&\\
+       &\lambda&   1   &      &       &&&&&\\
+       &       &\lambda&\ddots&       &&&&&\\
+       &       &       &\ddots&   1   &&&&&\\
+       &       &       &      &\lambda&&&&&\\
+&&&& &\overline{\lambda}&1&&     & \\
+&&&& &&\overline{\lambda}&1&     & \\
+&&&& &&&\overline{\lambda} &\dots& \\
+&&&& &&&                   &\dots&1\\
+&&&& &&&                   &&\overline{\lambda}\\
+\end{pmatrix}.
+\]
+
+Die Jordan-Normalform bedeutet, dass
+\[
+\begin{aligned}
+Ab_1&=\lambda b_1           &
+	A\overline{b}_1 &= \overline{\lambda} \overline{b}_1      \\
+Ab_2&=\lambda b_2 + b_1     &
+	A\overline{b}_2 &= \overline{\lambda} \overline{b}_2 +\overline{b_1}\\
+Ab_3&=\lambda b_3 + b_2     &
+	A\overline{b}_3 &= \overline{\lambda} \overline{b}_3 +\overline{b_2}\\
+    &\;\vdots               &
+	                 &\;\vdots \\
+Ab_n&=\lambda b_n + b_{n-1} &
+	A\overline{b}_n &= \overline{\lambda} \overline{b}_n +\overline{b_{n-1}}
+\end{aligned}
+\]
+Für die Linearkombinationen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+c_i &= \frac{b_i+\overline{b}_i}{\sqrt{2}},
+&
+d_i &= \frac{b_i-\overline{b}_i}{i\sqrt{2}}
+\end{aligned}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung}
+\end{equation}
+folgt dann für $k>1$
+\begin{align*}
+Ac_k
+&=
+\frac{Ab_k+A\overline{b}_k}{2}
+&
+Ad_k
+&=
+\frac{Ab_k-A\overline{b}_k}{2i}
+\\
+&=
+\frac1{\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1}
++ \overline{\lambda}\overline{b}_k + \overline{b}_{k-1})
+&
+&=
+\frac1{i\sqrt{2}}(\lambda b_k + b_{k-1}
+- \overline{\lambda}\overline{b}_k - \overline{b}_{k-1})
+\\
+&=
+\frac1{\sqrt{2}}(\alpha b_k + i\beta b_k + \alpha \overline{b}_k -i\beta \overline{b}_k)
++
+c_{k-1}
+&
+&=
+\frac1{i\sqrt{2}}(
+\alpha b_k + i\beta b_k - \alpha \overline{b}_k +i\beta \overline{b}_k)
++
+d_{k-1}
+\\
+&=
+\alpha
+\frac{b_k+\overline{b}_k}{\sqrt{2}}
++
+i \beta \frac{b_k-\overline{b}_k}{\sqrt{2}}
++
+c_{k-1}
+&
+&=
+\alpha
+\frac{b_k-\overline{b}_k}{i\sqrt{2}}
++
+i \beta \frac{b_k+\overline{b}_k}{i\sqrt{2}}
++
+d_{k-1}
+\\
+&= \alpha c_k -\beta d_k
++
+c_{k-1}
+&
+&= \alpha d_k + \beta c_k
++
+d_{k-1}.
+\end{align*}
+Für $k=1$ fallen die Terme $c_{k-1}$ und $d_{k-1}$ weg.
+In der Basis $\mathcal{D}=\{c_1,d_1,\dots,c_n,d_n\}$ hat die Matrix
+also die {\em reelle Normalform}
+\begin{equation}
+\def\temp#1{\multicolumn{1}{|c}{#1\mathstrut}}
+\def\semp#1{\multicolumn{1}{c|}{#1\mathstrut}}
+A_{\text{reell}}
+=
+\left(
+\begin{array}{cccccccccccc}
+\cline{1-4}
+\temp{\alpha}& \beta&\temp{     1}&     0&\temp{}      &      &      &      &      &      &&\\
+\temp{-\beta}&\alpha&\temp{     0}&     1&\temp{}      &      &      &      &      &      &&\\
+\cline{1-6}
+      &      &\temp{\alpha}& \beta&\temp{     1}&     0&\temp{}      &      &      &      &&\\
+      &      &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{     0}&     1&\temp{}      &      &      &      &&\\
+\cline{3-6}
+      &      &      &      &\temp{\alpha}& \beta&\temp{}      &      &      &      &&\\
+      &      &      &      &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{}      &      &      &      &&\\
+\cline{5-8}
+      &      &      &      &      &      &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{      }&      &&\\
+      &      &      &      &      &      &\temp{\phantom{0}}&\phantom{0}&\temp{      }&      &&\\
+\cline{7-12}
+      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{\alpha}& \beta&\temp{     1}&\semp{     0}\\
+      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{-\beta}&\alpha&\temp{     0}&\semp{     1}\\
+\cline{9-12}
+      &      &      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{\alpha}&\semp{ \beta}\\
+      &      &      &      &      &      &      &      &      &      &\temp{-\beta}&\semp{\alpha}\\
+\cline{11-12}
+\end{array}\right).
+\label{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalform}
+\end{equation}
+
+Wir bestimmen noch die Transformationsmatrix, die $A$ in die reelle
+Normalform bringt.
+Dazu beachten wir, dass die Vektoren $c_k$ und $d_k$ in der Basis
+$\mathcal{B}$ nur in den Komponenten $k$ und $n+k$ von $0$ verschiedene
+Koordinaten haben, nämlich
+\[
+c_k
+=
+\frac1{\sqrt{2}}
+\left(
+\begin{array}{c}
+\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline \vdots\\ 1\\\vdots
+\end{array}\right)
+\qquad\text{und}\qquad
+d_k
+=
+\frac1{i\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{c}
+\vdots\\ 1 \\ \vdots\\\hline\vdots\\-1\\\vdots
+\end{array}\right)
+=
+\frac1{\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{c}
+\vdots\\-i \\ \vdots\\\hline \vdots\\ i\\\vdots
+\end{array}\right)
+\]
+gemäss \eqref{buch:eigenwerte:eqn:reellenormalformumrechnung}.
+Die Umrechnung der Koordinaten von der Basis $\mathcal{B}$ in die Basis
+$\mathcal{D}$
+wird daher durch die Matrix
+\[
+S
+=
+\frac{1}{\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{cccccccccc}
+1&-i& &  & &  &     &     & &  \\
+ &  &1&-i& &  &     &     & &  \\
+ &  & &  &1&-i&     &     & &  \\
+ &  & &  & &  &\dots&\dots& &  \\
+ &  & &  & &  &     &     &1&-i\\
+\hline
+1& i& &  & &  &     &     & &  \\
+ &  &1& i& &  &     &     & &  \\
+ &  & &  &1& i&     &     & &  \\
+ &  & &  & &  &\dots&\dots& &  \\
+ &  & &  & &  &     &     &1& i\\
+\end{array}\right)
+\]
+vermittelt.
+Der Nenner $\sqrt{2}$ wurde so gewählt, dass die
+Zeilenvektoren der Matrix $S$ als komplexe Vektoren orthonormiert sind,
+die Matrix $S$ ist daher unitär und hat die Inverse
+\[
+S^{-1}
+=
+S^*
+=
+\frac{1}{\sqrt{2}}
+\left(\begin{array}{ccccc|ccccc}
+ 1&  &  &     &  & 1&  &  &     &  \\
+ i&  &  &     &  &-i&  &  &     &  \\
+  & 1&  &     &  &  & 1&  &     &  \\
+  & i&  &     &  &  &-i&  &     &  \\
+  &  & 1&     &  &  &  & 1&     &  \\
+  &  & i&     &  &  &  &-i&     &  \\
+  &  &  &\dots&  &  &  &  &\dots&  \\
+  &  &  &\dots&  &  &  &  &\dots&  \\
+  &  &  &     & 1&  &  &  &     & 1\\
+  &  &  &     & i&  &  &  &     &-i\\
+\end{array}\right).
+\]
+Insbesondere folgt jetzt
+\[
+A
+=
+S^{-1}A_{\text{reell}}S
+=
+S^*A_{\text{reell}}S
+\qquad\text{und}\qquad
+A_{\text{reell}}
+=
+SAS^{-1}
+=
+SAS^*.
+\]
+
+%\subsection{Obere Hessenberg-Form
+%\label{buch:subsection:obere-hessenberg-form}}
 
 
 
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
index 367a4c9..466b99e 100644
--- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex
@@ -1,802 +1,802 @@
-%

-% spektraltheorie.tex

-%

-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil

-% 

-\section{Spektraltheorie

-\label{buch:section:spektraltheorie}}

-Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine

-Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf 

-konsistente Art und Weise zu definieren.

-Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet

-werden kann.

-Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert.

-Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen,

-muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden.

-Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der

-Funktion $f(z)$ verwendet werden soll.

-Das Ziel ist, $f(A)$ als den Grenzwert der Matrixfolge $p_n(A)$

-zu definieren.

-

-Zunächst ist nicht klar, wie eine solche Folge gewählt werden muss.

-Es muss eine Teilmenge von $K\subset\mathbb{C}$ spezifiziert werden,

-auf der die Funktionenfolge $p_n(z)$ konvergieren muss,

-damit auch die Konvergenz der Matrizenfolge $p_n(A)$ garantiert ist.

-Auch die Art der Konvergenz von $p_n(z)$ auf der Menge $K$ ist noch

-unklar.

-Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm

-mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$

-gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass

-die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf

-der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein 

-sein soll.

-Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht

-nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst,

-muss $K$ beschränkt sein.

-Gesucht ist also eine kompakte Menge $K\subset\mathbb{C}$ und eine

-Folge $p_n(z)$ von Polynomen, die auf $K$ gleichmässig gegen $f(z)$

-konvergieren.

-Die Wahl von $K$ muss sicherstellen, dass für jede gleichmässig

-konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge

-$p_n(A)$ konvergiert.

-

-Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist,

-also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$.

-Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben

-werden.

-Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt

-auf das Spektrum gleich sind, also $p_n(z)=p_m(z)$ für alle $z\in K$,

-die aber ausserhalb des Spektrums alle verschieden sind.

-Als Beispiel kann die Matrix 

-\[

-N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

-\]

-herangezogen werden.

-Ihr Spektrum ist $\operatorname{Sp}(N)=\{0\}\subset\mathbb{C}$.

-Zwei Polynome stimmen genau dann auf $\operatorname{Sp}(N)$ überein,

-wenn der konstante Koeffizient gleich ist.

-Die Polynome $p(z)=z$ und $q(z)=z^2$ stimmen daher auf dem Spektrum

-überein.

-Für die Matrizen gilt aber $p(N)=N$ und $q(N)=N^2=0$, die Matrizen

-stimmen also nicht überein.

-Es braucht also zusätzliche Bedingungen an die Matrix $A$, die

-sicherstellen, dass $p(A)=0$ ist, wann immer $p(z)=0$ für

-$z\in\operatorname{Sp}(A)$ gilt.

-

-In diesem Abschnitt sollen diese Fragen untersucht werden.

-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}

-wird gezeigt, wie sich Funktionen durch Polynome approximieren

-lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare

-Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben.

-

-Der Satz von Stone-Weierstrass, der in

-Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird,

-ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur

-zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen

-beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch

-weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine

-komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann,

-dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt.

-

-%

-% Approximation

-%

-\subsection{Approximation durch Polynome

-\label{buch:subsection:approximation-durch-polynome}}

-Die der Berechnung von $f(A)$ für eine beleibige stetige Funktion,

-die sich nicht als Potenzreihe schreiben lässt, verwendet Approximationen

-von Polynomen.

-Die numerische Mathematik hat eine grosse Menge von solchen

-Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise)

-vorgestellt werden sollen.

-

-\subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom}

-Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$,

-die auch die {\em Stützstellen} genannt werden,

-gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene

-Werte $f(z_i)$ annimmt.

-Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen

-Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung

-konstruieren.

-Dazu bildet man erst die Polynome

-\begin{align*}

-l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und}

-\\

-l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n).

-\end{align*}

-Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll.

-Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$.

-Die Polynome

-\[

-k_i(z)

-=

-\frac{l_i(z)}{l_i(z_i)}

-=

-\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)}

-\]

-haben die Eigenschaft

-$k_i(z_j)=\delta_{ij}$.

-Damit lässt sich jetzt ein Polynom

-\[

-p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)}

-\]

-vom Grad $n$ konstruieren, welches die Werte

-\[

-p(z_i)

-=

-\sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)}

-=

-\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij}

-=

-f_(z_i)

-\]

-annimmt.

-Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}.

-

-Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer

-ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen

-annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt.

-

-

-\subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen}

-Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den  Stützstellen die

-verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht

-garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$

-erhält.

-

-Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat

-Sergei Natanowitsch Bernstein ein 

-Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$

-durch

-\begin{align*}

-B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}.

-\end{align*}

-definiert.

-Als Approximationspolynom für die auf dem Interval 

-$[0,1]$ definierte, stetige Funktion $f(t)$ kann man dann

-\[

-B_n(f)(t)

-=

-\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)

-\]

-verwenden.

-Die Polynome $B_n(f)(t)$ konvergieren gleichmässig auf $[0,1]$

-gegen die Funktion $f(t)$.

-Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts

-ausgesagt.

-Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll,

-wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im

-wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt.

-

-Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom

-erhalten, indem man die affine Transformation

-$s\mapsto (s-a)/(b-a)$

-von $[a,b]$ auf $[0,1]$

-verwendet. 

-

-%

-% Der Satz von Stone-Weierstrass

-%

-\subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss

-\label{buch:subsetion:stone-weierstrass}}

-Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in

-Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}

-besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von

-reellen Variablen durch Polynome.

-Vielmehr kann das Definitionsgebiet irgend eine abgeschlossene

-und beschränkte Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes

-sein und die Funktionen können Polynome aber auch viel allgemeinere

-Funktionen verwendet werden, wie zum Beispiel die Funktionen

-$x\mapsto \cos nx$ und $x\mapsto \sin nx$ definiert auf dem

-Intervall $[0,2\pi]$.

-In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage,

-dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch

-trigonometrische Polynome approximieren lässt.

-

-Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen

-lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern.

-Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz 

-zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr

-zutreffen.

-Im Falle der Approximation von komplexen Funktionen $f(z)$ durch Polynome

-zwecks Definition von $f(A)$ werden sich daraus Bedingungen an die

-Matrix ableiten lassen, die eine konsistente Definition überhaupt

-erst ermöglichen werden.

-

-\subsubsection{Punkte trennen}

-Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische

-Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen.

-Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend

-reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt

-enthält.

-Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten

-verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation

-zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich

-in diesen Punkten unterscheiden.

-Diese Bedingung wird in der folgenden Definition formalisiert.

-

-\begin{definition}

-Sei $K$ eine beliebige Menge und $A$ eine Menge von Funktionen

-$K\to \mathbb{C}$.

-Man sagt, $A$ {\em trennt die Punkte von $K$}, wenn es für jedes Paar

-\index{Punkte trennen}%

-von Punkten $x,y\in K$ eine Funktion $f\in A$ gibt derart, dass

-$f(x)\ne f(y)$.

-\end{definition}

-

-Man kann sich die Funktionen $f$, die gemäss dieser Definition die Punkte

-von $K$ trennen, als eine Art Koordinaten der Punkte in $K$ vorstellen.

-Die Punkte der Teilmenge $K\subset \mathbb{R}^n$ werden zum Beispiel

-von den Koordinatenfunktionen $x\mapsto x_i$ getrennt.

-Wir schreiben für die $i$-Koordinate daher auch als Funktion $x_i(x)=x_i$.

-Zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ unterscheiden sich in mindestens

-einer Koordinate.

-Für diese Koordinate sind dann die Werte der zugehörigen

-Koordinatenfunktion $x_i=x_i(x)\ne x_i(y)=y_i$ verschieden, die

-Funktionen $x_1(x)$ bis $x_n(x)$ trennen also die Punkte.

-

-\begin{beispiel}

-Wir betrachten einen Kreis in der Ebene, also die Menge

-\[

-S^1

-=

-\{(x_1,x_2)\;|\; x_1^2 + x_2^2=1\}

-\]

-$S^1$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge in $\mathbb{R}^2$.

-Die Funktion $x\mapsto x_1$ trennt die Punkte nicht, denn zu jedem

-Punkt $(x_1,x_2)\in S^2$ gibt es den an der ersten Achse

-gespiegelten Punkt $\sigma(x)=(x_1,-x_2)$, dessen erste Koordinate

-den gleichen Wert hat.

-Ebenso trennt die Koordinatenfunktion $x\mapsto x_2$ die Punkte nicht.

-Die Menge $A=\{ x_1(x), x_2(x)\}$ bestehend aus den beiden

-Koordinatenfunktionen trennt dagegen die Punkte von $S^1$, da die Punkte

-sich immer in mindestens einem Punkt unterscheiden.

-

-Man könnte auch versuchen, den Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben.

-Die Funktion $\varphi(x)$, die jedem Punkt $x\in S^1$ den Polarwinkel

-zuordnet, trennt sicher die Punkte des Kreises.

-Zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis haben verschieden Polarwinkel.

-Die Menge $\{\varphi\}$ trennt also die Punkte von $S^1$.

-Allerdings ist die Funktion nicht stetig, was zwar der Definition

-nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist.

-\end{beispiel}

-

-

-\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen}

-Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}

-haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen

-Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen.

-Es wurde sogar eine Methode vorgestellt, die eine auf einem Intervall

-gleichmässig konvergente Polynomefolge produziert.

-Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der

-Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in

-verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen.

-Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits

-ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$

-approximieren lässt.

-Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass.

-

-\begin{figure}

-\centering

-\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf}

-\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für

-$\sqrt{a}$

-\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}}

-\end{figure}

-

-\begin{figure}

-\centering

-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf}

-\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit 

-Polynomen $u_n(t)$ nach 

-\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}

-(links) und der Fehler der Approximation

-(rechts).

-\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}}

-\end{figure}

-

-\begin{satz}[Stone-Weierstrass]

-\label{buch:satz:stone-weierstrass}

-Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen

-auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen und trennt sie

-Punkte, d.~h.~für zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ gibt es

-immer eine Funktion $f\in A$ mit $f(x)\ne f(y)$, dann ist jede stetige,

-reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen 

-in $A$.

-\end{satz}

-

-Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir

-zunächst ableiten.

-Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$

-auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig

-von unten durch Polynome approximieren lässt, die in

-Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt

-sind.

-

-\begin{satz}

-Die rekursiv definierte Folge von Polynomen

-\begin{equation}

-u_{n+1}(t)

-=

-u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2),

-\qquad

-u_0(t)=0

-\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}

-\end{equation}

-ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$

-gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$.

-\end{satz}

-

-\begin{figure}

-\centering

-\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf}

-\caption{Graphische Erklärung der

-Identitäten~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:minmax} für

-$\max(f(x),g(x))$ und $\min(f(x),g(x))$.

-Die purpurrote Kurve stellt den Mittelwert von $f(x)$ und $g(x)$ dar,

-die vertikalen grünen Linien haben die Länge der Differenz $|f(x)-g(x)|$.

-Das Maximum erhält man, indem man den halben Betrag der Differenz zum

-Mittelwert hinzuaddiert, das Minimum erhält man durch Subtraktion

-der selben Grösse.

-\label{buch:eigenwerte:fig:minmax}}

-\end{figure}

-

-\begin{proof}[Beweis]

-Wer konstruieren zunächst das in

-Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}

-visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$

-die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.

-Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.

-Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.

-In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.

-Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.

-Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,

-wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}

-skizziert ist.

-Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$,

-daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün)

-vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$.

-Die Rekursionsformel

-\[

-u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2)

-\]

-mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine 

-Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.

-\end{proof}

-

-\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass]

-Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome

-$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$.

-\begin{enumerate}

-\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch

-Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge

-von Funktionen approximieren.

-

-Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$.

-Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion

-mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist.

-Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und

-approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$.

-\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende

-Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert

-und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig 

-genau approximiert.

-

-

-Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer

-Funktion und den Identitäten

-\begin{equation}

-\begin{aligned}

-\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\

-\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) 

-\end{aligned}

-\label{buch:eigenwerte:eqn:minmax}

-\end{equation}

-gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax}

-graphisch erklärt werden.

-\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten

-$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$,

-die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$

-annimmt.

-Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$.

-Dann ist die Funktion

-\[

-f(t)

-=

-\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta)

-\]

-wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an.

-\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem

-Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart,

-dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$.

-

-Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit

-$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$.

-Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der

-immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$.

-Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen

-derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken.

-Dann erfüllt die Funktion

-\(

-g(z) = \inf h_{z_i}

-\)

-die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$

-\[

-g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon.

-\]

-Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch

-Funktionen in $A$ approximierbar.

-\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann

-beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden.

-Sei $\varepsilon > 0$.

-

-Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$

-derart, dass $g_y(y)=f(y)$  und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für

-$x\in K$.

-Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in

-einer Umgebung $U_y$ von $y$.

-Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$

-immer noch ganz $K$ überdecken.

-Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$,

-weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt.

-Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$

-\[

-g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon.

-\]

-Somit ist

-\[

-|f(x)-g(x)| \le \varepsilon.

-\]

-Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich 

-beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt.

-\qedhere

-\end{enumerate}

-\end{proof}

-

-Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die

-Betragsfunktion konstruieren kann.

-Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab.

-

-\subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen}

-Für symmetrische und hermitesche Matrizen $A$ ist bekannt, dass die

-Eigenwerte reell sind, also das Spektrum $\operatorname{A}\subset\mathbb{R}$

-ist.

-Für eine Funktion $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lässt sich nach dem

-Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} immer eine Folge $p_n$ von

-approximierenden Polynomen in $x$ finden, die auf $\operatorname{Sp}(A)$

-gleichmässig konvergiert.

-Die Matrix $f(A)$ kann dann definiert werden also der Grenzwert

-\[

-f(A) = \lim_{n\to\infty} p_n(A).

-\]

-Da diese Matrizen auch diagonalisierbar sind, kann man eine Basis

-aus Eigenvektoren verwenden.

-Die Wirkung von $p_n(A)$ auf einem Eigenvektor $v$ zum Eigenwert $\lambda$

-ist

-\[

-p_n(A)v

-=

-(a_kA^k + a_{k-1}A^{k-1}+\dots +a_2A^2+a_1A+a_0I)v

-=

-(a_k\lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)v

-=

-p_n(\lambda)v.

-\]

-Im Grenzwert wirkt $f(A)$ daher durch Multiplikation eines Eigenvektors

-mit $f(\lambda)$, die Matrix $f(A)$ hat in der genannten Basis die

-Diagonalform

-\[

-A=\begin{pmatrix}

-\lambda_1&         &      &         \\

-         &\lambda_2&      &         \\

-         &         &\ddots&         \\

-         &         &      &\lambda_n

-\end{pmatrix}

-\qquad\Rightarrow\qquad

-f(A)=\begin{pmatrix}

-f(\lambda_1)&            &      &            \\

-            &f(\lambda_2)&      &            \\

-            &            &\ddots&            \\

-            &            &      &f(\lambda_n)

-\end{pmatrix}.

-\]

-

-\begin{satz}

-\label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}

-Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion

-auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$.

-Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen

-Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig

-gegen $f$ konvergieren.

-\end{satz}

-

-\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$

-in $\mathbb{C}[z]$}

-Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für

-reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen.

-In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$

-auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht

-gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren

-lässt.

-

-Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$

-auch durch eine Potenzreihe

-\[

-\overline{z}

-=

-\sum_{k=0}^\infty a_kz^k

-\]

-darstellen.

-Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$

-in der komplexen Ebene ist

-\begin{align*}

-\oint_\gamma z^k\,dz

-&=

-\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt

-=

-i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt

-=

-i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi}

-=

-0

-\\

-\oint_\gamma

-\sum_{k=0}^\infty a_kz^k

-\,dz

-&=

-\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz

-=

-\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0

-=

-0

-\\

-\oint_\gamma \overline{z}\,dz

-&=

-\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt

-=

-i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i,

-\end{align*}

-dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet.

-Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale.

-Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome

-gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.

-

-\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}

-Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt

-also nicht gelten.

-Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}

-auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg

-gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren.

-

-Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation

-für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer

-Funktion angewendet wurde.

-Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$

-berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real-

-und Imaginärteil.

-Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als

-$\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$

-bestimmen.

-Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit

-der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$.

-Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden.

-Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag

-nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die

-komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht.

-

-\begin{satz}[Stone-Weierstrass]

-Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen

-Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen,

-trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch

-die komplex konjugiert Funktion $\overline{f}\in A$,

-dann lässt sich jede stetige, komplexwertige Funktion 

-auf $K$ gleichmässig durch Funktionen aus $A$ approximieren.

-\end{satz}

-

-Mit Hilfe der konjugiert komplexen Funktion lässt sich immer eine

-Approximation für die Betragsfunktion finden, so dass sich der

-Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt.

-

-%

-% Normale Matrizen

-%

-\subsection{Normale Matrizen

-\label{buch:subsection:normale-matrizen}}

-Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man

-jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen

-ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}

-möglich war.

-Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum

-$\operatorname{Sp}(A)$ eine Folge von auf $\operatorname{Sp}(A)$

-gleichmässig konvergenten, approximierenden Polynomen

-$p_n(z,\overline{z})$ gefunden werden kann.

-Doch wie soll jetzt aus dieser Polynomfolge ein Kandidat von $f(A)$

-gefunden werden?

-

-Zunächst stellt sich die Frage, was für die Variable $\overline{z}$ 

-eingesetzt werden soll.

-$1\times 1$-Matrizen sind notwendigerweise diagonal, also muss 

-man in diesem Fall die Matrix $\overline{A}$ für die Variable

-$\overline{z}$ eingesetzt werden.

-Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen

-vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist.

-

-Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen

-ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$

-konstruiert werden können muss.

-Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur 

-positive Eigenwerte hat.

-Für eine beliebige komplexe $n\times n$-Matrix $A$ ist aber

-$A\overline{A}$ nicht notwendigerweise positiv, wie das Beispiel

-\[

-A

-=

-\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}

-\qquad

-\Rightarrow

-\qquad

-A\overline{A}

-=

-\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}

-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}

-=

-\begin{pmatrix}

--1&0\\

- 0&-1

-\end{pmatrix}

-=

--I

-\]

-zeigt.

-Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt

-$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.

-

-Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$

-in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig.

-Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch

-als $\overline{z}z$ schreiben.

-Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass

-$AA^* = A^*A$ ist.

-

-\begin{definition}

-Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt.

-\end{definition}

-

-\subsubsection{Beispiele normaler Matrizen}

-

-\begin{enumerate}

-\item

-Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche

-Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit

-\(

-AA^* = \pm A^2 = A^*A.

-\)

-\item

-Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal,

-denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit

-\begin{align*}

-AA^* &=  A\overline{A}^t = 

-\\

-A^*A &=

-\end{align*}

-\item

-Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt.

-\item

-Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$.

-\end{enumerate}

-

-Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche 

-Normalform bringen.

-Allerdings sind Jordan-Blöcke keine normalen Matrizen, wie der folgende

-Satz zeigt.

-

-\begin{satz}

-Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist.

-\end{satz}

-

-\begin{proof}[Beweis]

-Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix

-funktioniert gleich.

-Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$.

-Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$.

-Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$

-die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$.

-Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als

-\begin{align*}

-(AA^*)_{ii}

-&=

-\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij}

-=

-\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2

-\\

-(A^*A)_{ii}

-&=

-\sum_{j=1}^n \overline{a}_{ji}a_{ji}

-=

-\sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2

-\end{align*}

-ausrechnen.

-Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$,

-der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$.

-Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens

-ein einziges von $0$ verschiedenes Element.

-Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben.

-Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der

-linken obere Ecke und einem  $n-1$-dimensionalen Block für den Rest.

-Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block 

-kann man so schrittweise schliessen, dass die Matrix $A$ diagonal sein muss.

-\end{proof}

-

-

-\begin{satz}

-Sind $A$ und $B$ normale Matrizen und $AB^*=B^*A$, dann sind auch $A+B$

-und $AB$ normal.

-\end{satz}

-

-\begin{proof}[Beweis]

-Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch

-$A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$.

-Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen:

-\begin{align*}

-(A+B)(A+B)^*

-&=

-AA^* + AB^* + BA^*+BB^*

-\\

-(A+B)^*(A+B)

-&=

-A^*A + A^*B + B^*A + B^*B

-\end{align*}

-Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil

-$A$ und $B$ normal sind.

-Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von

-$A$ und $B^*$.

-

-Für das Produkt rechnet man

-\begin{align*}

-(AB)(AB)^*

-&= ABB^*A^* = AB^*BA^*

-= B^*AA^*B

-=

-B^*A^*AB

-=

-(AB)^*(AB),

-\end{align*}

-was zeigt, dass auch $AB$ normal ist.

-\end{proof}

-

-\subsubsection{Äquivalente Bedingungen}

-Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen.

-Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:

-\begin{enumerate}

-\item

-Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar

-\item

-Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$

-\item

-Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$

-\item

-Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$

-von $A$ berechnet werden:

-$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$

-\item

-Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil

-$\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen.

-\item

-$A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$.

-\item

-Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$

-\item

-Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und

-einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen.

-\item

-Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$

-vertauscht.

-\item

-Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und

-die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat,

-dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$.

-\end{enumerate}

-

-

-

-

+%
+% spektraltheorie.tex
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% 
+\section{Spektraltheorie
+\label{buch:section:spektraltheorie}}
+Aufgabe der Spektraltheorie ist, Bedingungen an eine Matrix $A$ und eine
+Funktion $f(z)$ zu finden, unter denen es möglich ist, $f(A)$ auf 
+konsistente Art und Weise zu definieren.
+Weiter müssen Methoden entwickelt werden, mit denen $f(A)$ berechnet
+werden kann.
+Für ein Polynom $p(z)$ ist $p(A)$ durch einsetzen definiert.
+Für Funktionen, die sich nicht durch ein Polynom darstellen lassen,
+muss eine Approximation der Funktion durch Polynome verwendet werden.
+Sei also $p_n(z)$ eine Folge von Polynomen, die als Approximation der
+Funktion $f(z)$ verwendet werden soll.
+Das Ziel ist, $f(A)$ als den Grenzwert der Matrixfolge $p_n(A)$
+zu definieren.
+
+Zunächst ist nicht klar, wie eine solche Folge gewählt werden muss.
+Es muss eine Teilmenge von $K\subset\mathbb{C}$ spezifiziert werden,
+auf der die Funktionenfolge $p_n(z)$ konvergieren muss,
+damit auch die Konvergenz der Matrizenfolge $p_n(A)$ garantiert ist.
+Auch die Art der Konvergenz von $p_n(z)$ auf der Menge $K$ ist noch
+unklar.
+Da der Abstand zweier Matrizen $A$ und $B$ in der Operatornorm
+mit der grössten Abweichung $\|(A-B)v\|$ für Einheitsvektoren $v$
+gemessen wird, ist es einigermassen plausibel, dass
+die grösse Abweichung zwischen zwei Polynomen $|p(z) - q(z)|$ auf
+der Menge $K$ kleine sein muss, wenn $\|p(A)-q(A)\|$ klein 
+sein soll.
+Da die Differenz $p(z)-q(z)$ für beliebige Polynome, die sich nicht
+nur um eine Konstante unterscheiden, mit $z$ über alle Grenzen wächst,
+muss $K$ beschränkt sein.
+Gesucht ist also eine kompakte Menge $K\subset\mathbb{C}$ und eine
+Folge $p_n(z)$ von Polynomen, die auf $K$ gleichmässig gegen $f(z)$
+konvergieren.
+Die Wahl von $K$ muss sicherstellen, dass für jede gleichmässig
+konvergente Folge von Polynomen $p_n(z)$ auch die Matrizenfolge
+$p_n(A)$ konvergiert.
+
+Es wird sich zeigen, dass die Menge $K$ das Spektrum von $A$ ist,
+also eine endliche Teilmenge von $\mathbb{C}$.
+Jede Funktion kann auf so einer Menge durch Polynome exakt wiedergegeben
+werden.
+Es gibt insbesondere Folgen von Polynomen, die eingeschränkt
+auf das Spektrum gleich sind, also $p_n(z)=p_m(z)$ für alle $z\in K$,
+die aber ausserhalb des Spektrums alle verschieden sind.
+Als Beispiel kann die Matrix 
+\[
+N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\]
+herangezogen werden.
+Ihr Spektrum ist $\operatorname{Sp}(N)=\{0\}\subset\mathbb{C}$.
+Zwei Polynome stimmen genau dann auf $\operatorname{Sp}(N)$ überein,
+wenn der konstante Koeffizient gleich ist.
+Die Polynome $p(z)=z$ und $q(z)=z^2$ stimmen daher auf dem Spektrum
+überein.
+Für die Matrizen gilt aber $p(N)=N$ und $q(N)=N^2=0$, die Matrizen
+stimmen also nicht überein.
+Es braucht also zusätzliche Bedingungen an die Matrix $A$, die
+sicherstellen, dass $p(A)=0$ ist, wann immer $p(z)=0$ für
+$z\in\operatorname{Sp}(A)$ gilt.
+
+In diesem Abschnitt sollen diese Fragen untersucht werden.
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
+wird gezeigt, wie sich Funktionen durch Polynome approximieren
+lassen, woraus sich dann Approximationen von $f(A)$ für diagonalisierbare
+Matrizen mit reellen Eigenwerten ergeben.
+
+Der Satz von Stone-Weierstrass, der in
+Abschnitt~\ref{buch:subsetion:stone-weierstrass} dargestellt wird,
+ist ein sehr allgemeines Approximationsresultat, welches nicht nur
+zeigt, dass die Approximation unter sehr natürlichen Voraussetzungen
+beliebig genau möglich ist, sondern uns im komplexen Fall auch
+weitere Einsicht dafür geben kann, welche Voraussetzungen an eine
+komplexe Matrix gestellt werden müssen, damit man damit rechnen kann,
+dass die Approximation zu einer konsistenten Definition von $f(A)$ führt.
+
+%
+% Approximation
+%
+\subsection{Approximation durch Polynome
+\label{buch:subsection:approximation-durch-polynome}}
+Die der Berechnung von $f(A)$ für eine beleibige stetige Funktion,
+die sich nicht als Potenzreihe schreiben lässt, verwendet Approximationen
+von Polynomen.
+Die numerische Mathematik hat eine grosse Menge von solchen
+Approximationsverfahren entwickelt, wovon zwei kurz (ohne Beweise)
+vorgestellt werden sollen.
+
+\subsubsection{Das Legendre-Interpolationspolynom}
+Zu vorgegebenen, verschiedenen Zahlen $z_i\in\mathbb{C}$, $0\le i\le n$,
+die auch die {\em Stützstellen} genannt werden,
+gibt es immer ein Polynom vom Grade $n$, welches in den $z_i$ vorgegebene
+Werte $f(z_i)$ annimmt.
+Ein solches Polynom lässt sich im Prinzip mit Hilfe eines linearen
+Gleichungssystems finden, man kann aber auch direkt eine Lösung
+konstruieren.
+Dazu bildet man erst die Polynome
+\begin{align*}
+l(z) &= (z-z_0)(z-z_1)\dots (z-z_n) \qquad\text{und}
+\\
+l_i(z) &= (z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n).
+\end{align*}
+Darin bedeutet der Hut, dass dieser Term weggelassen werden soll.
+Für $z\ne z_i$ ist $l_i(z)=l(z)/(z-z_i)$.
+Die Polynome
+\[
+k_i(z)
+=
+\frac{l_i(z)}{l_i(z_i)}
+=
+\frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)}
+\]
+haben die Eigenschaft
+$k_i(z_j)=\delta_{ij}$.
+Damit lässt sich jetzt ein Polynom
+\[
+p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)}
+\]
+vom Grad $n$ konstruieren, welches die Werte
+\[
+p(z_i)
+=
+\sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)}
+=
+\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij}
+=
+f_(z_i)
+\]
+annimmt.
+Das Polynom $p(z)$ heisst das {\em Legendre-Interpolationspolynom}.
+
+Zwar lässt sich also für eine endliche Menge von komplexen Zahlen immer
+ein Polynom finden, welches vorgeschriebene Wert in allen diesen Zahlen
+annimmt, doch ist die Stabilität für grosse $n$ eher beschränkt.
+
+
+\subsubsection{Gleichmassige Approximation mit Bernstein-Polynomen}
+Das Legendre-Interpolationspolynom nimmt in den  Stützstellen die
+verlangten Werte an, aber ausserhalb der Stützstellen ist nicht
+garantiert, dass man eine gute Approximation einer Funktion $f(z)$
+erhält.
+
+Für die Approximation auf einem reellen Interval $[a,b]$ hat
+Sergei Natanowitsch Bernstein ein 
+Dazu werden zuerst die reellen Bernsteinpolynome vom Grad $n$
+durch
+\begin{align*}
+B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i}.
+\end{align*}
+definiert.
+Als Approximationspolynom für die auf dem Interval 
+$[0,1]$ definierte, stetige Funktion $f(t)$ kann man dann
+\[
+B_n(f)(t)
+=
+\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) f\biggl(\frac{i}{n}\biggr)
+\]
+verwenden.
+Die Polynome $B_n(f)(t)$ konvergieren gleichmässig auf $[0,1]$
+gegen die Funktion $f(t)$.
+Über die Konvergenz ausserhalb des reellen Intervalls wird nichts
+ausgesagt.
+Die Approximation mit Bernstein-Polynomen ist daher nur sinnvoll,
+wenn man weiss, dass die Eigenwerte der Matrix reell sind, was im
+wesentlichen auf diagonalisierbare Matrizen führt.
+
+Für ein anderes Interval $[a,b]$ kann man ein Approximationspolynom
+erhalten, indem man die affine Transformation
+$s\mapsto (s-a)/(b-a)$
+von $[a,b]$ auf $[0,1]$
+verwendet. 
+
+%
+% Der Satz von Stone-Weierstrass
+%
+\subsection{Der Satz von Stone-Weierstrasss
+\label{buch:subsetion:stone-weierstrass}}
+Der Satz von Stone-Weierstrass behandelt im Gegensatz zu den in
+Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
+besprochenen Approximationsmethoden nicht nur Funktionen von
+reellen Variablen durch Polynome.
+Vielmehr kann das Definitionsgebiet irgend eine abgeschlossene
+und beschränkte Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraumes
+sein und die Funktionen können Polynome aber auch viel allgemeinere
+Funktionen verwendet werden, wie zum Beispiel die Funktionen
+$x\mapsto \cos nx$ und $x\mapsto \sin nx$ definiert auf dem
+Intervall $[0,2\pi]$.
+In diesem Fall liefert der Satz von Stone-Weierstrass die Aussage,
+dass sich jede stetige periodische Funktion gleichmässig durch
+trigonometrische Polynome approximieren lässt.
+
+Die Aussage des Satz von Stone-Weierstrass über reelle Funktionen
+lässt sich nicht auf komplexe Funktionen erweitern.
+Von besonderem Interesse ist jedoch, dass der Beweis des Satz 
+zeigt, warum solche Aussagen für komplexe Funktionen nicht mehr
+zutreffen.
+Im Falle der Approximation von komplexen Funktionen $f(z)$ durch Polynome
+zwecks Definition von $f(A)$ werden sich daraus Bedingungen an die
+Matrix ableiten lassen, die eine konsistente Definition überhaupt
+erst ermöglichen werden.
+
+\subsubsection{Punkte trennen}
+Aus den konstanten Funktionen lassen sich durch algebraische
+Operationen nur weitere konstante Funktionen erzeugen.
+Die konstanten Funktionen sind also nur dann eine genügend
+reichhaltige Menge, wenn die Menge $K$ nur einen einzigen Punkt
+enthält.
+Damit sich Funktionen approximieren lassen, die in zwei Punkten
+verschiedene Werte haben, muss es auch unter den zur Approximation
+zur Verfügung stehenden Funktionen solche haben, deren Werte sich
+in diesen Punkten unterscheiden.
+Diese Bedingung wird in der folgenden Definition formalisiert.
+
+\begin{definition}
+Sei $K$ eine beliebige Menge und $A$ eine Menge von Funktionen
+$K\to \mathbb{C}$.
+Man sagt, $A$ {\em trennt die Punkte von $K$}, wenn es für jedes Paar
+\index{Punkte trennen}%
+von Punkten $x,y\in K$ eine Funktion $f\in A$ gibt derart, dass
+$f(x)\ne f(y)$.
+\end{definition}
+
+Man kann sich die Funktionen $f$, die gemäss dieser Definition die Punkte
+von $K$ trennen, als eine Art Koordinaten der Punkte in $K$ vorstellen.
+Die Punkte der Teilmenge $K\subset \mathbb{R}^n$ werden zum Beispiel
+von den Koordinatenfunktionen $x\mapsto x_i$ getrennt.
+Wir schreiben für die $i$-Koordinate daher auch als Funktion $x_i(x)=x_i$.
+Zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ unterscheiden sich in mindestens
+einer Koordinate.
+Für diese Koordinate sind dann die Werte der zugehörigen
+Koordinatenfunktion $x_i=x_i(x)\ne x_i(y)=y_i$ verschieden, die
+Funktionen $x_1(x)$ bis $x_n(x)$ trennen also die Punkte.
+
+\begin{beispiel}
+Wir betrachten einen Kreis in der Ebene, also die Menge
+\[
+S^1
+=
+\{(x_1,x_2)\;|\; x_1^2 + x_2^2=1\}
+\]
+$S^1$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge in $\mathbb{R}^2$.
+Die Funktion $x\mapsto x_1$ trennt die Punkte nicht, denn zu jedem
+Punkt $(x_1,x_2)\in S^2$ gibt es den an der ersten Achse
+gespiegelten Punkt $\sigma(x)=(x_1,-x_2)$, dessen erste Koordinate
+den gleichen Wert hat.
+Ebenso trennt die Koordinatenfunktion $x\mapsto x_2$ die Punkte nicht.
+Die Menge $A=\{ x_1(x), x_2(x)\}$ bestehend aus den beiden
+Koordinatenfunktionen trennt dagegen die Punkte von $S^1$, da die Punkte
+sich immer in mindestens einem Punkt unterscheiden.
+
+Man könnte auch versuchen, den Kreis in Polarkoordinaten zu beschreiben.
+Die Funktion $\varphi(x)$, die jedem Punkt $x\in S^1$ den Polarwinkel
+zuordnet, trennt sicher die Punkte des Kreises.
+Zwei verschiedene Punkte auf dem Kreis haben verschieden Polarwinkel.
+Die Menge $\{\varphi\}$ trennt also die Punkte von $S^1$.
+Allerdings ist die Funktion nicht stetig, was zwar der Definition
+nicht widerspricht aber ein Hindernis für spätere Anwendungen ist.
+\end{beispiel}
+
+
+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für reelle Funktionen}
+Die Beispiele von Abschnitt~\ref{buch:subsection:approximation-durch-polynome}
+haben bezeigt, dass sich reellwertige Funktionen einer reellen
+Variable durch Polynome beliebig genau approximieren lassen.
+Es wurde sogar eine Methode vorgestellt, die eine auf einem Intervall
+gleichmässig konvergente Polynomefolge produziert.
+Die Variable $x\in[a,b]$ trennt natürlich die Punkte, die Algebra der
+Polynome in der Variablen $x$ enthält also sicher Funktionen, die in
+verschiedenen Punkten des Intervalls auch verschiedene Werte annehmen.
+Nicht ganz so selbstverständlich ist aber, dass sich daraus bereits
+ergibt, dass jede beliebige Funktion sich als Polynome in $x$
+approximieren lässt.
+Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes von Stone-Weierstrass.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/wurzel.pdf}
+\caption{Konstruktion einer monoton wachsenden Approximationsfolge für
+$\sqrt{a}$
+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/wurzelapprox.pdf}
+\caption{Monoton wachsende Approximation der Funktion $t\mapsto\sqrt{t}$ mit 
+Polynomen $u_n(t)$ nach 
+\eqref{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
+(links) und der Fehler der Approximation
+(rechts).
+\label{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation}}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
+\label{buch:satz:stone-weierstrass}
+Enthält eine $\mathbb{R}$-Algebra $A$ von stetigen, rellen Funktionen
+auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen und trennt sie
+Punkte, d.~h.~für zwei verschiedene Punkte $x,y\in K$ gibt es
+immer eine Funktion $f\in A$ mit $f(x)\ne f(y)$, dann ist jede stetige,
+reelle Funktion auf $K$ gleichmässig approximierbar durch Funktionen 
+in $A$.
+\end{satz}
+
+Für den Beweis des Satzes wird ein Hilfsresultat benötigt, welches wir
+zunächst ableiten.
+Es besagt, dass sich die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
+auf dem Interval $[0,1]$ gleichmässig
+von unten durch Polynome approximieren lässt, die in
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelapproximation} dargestellt
+sind.
+
+\begin{satz}
+Die rekursiv definierte Folge von Polynomen
+\begin{equation}
+u_{n+1}(t)
+=
+u_n(t) + \frac12(t-u_n(t)^2),
+\qquad
+u_0(t)=0
+\label{buch:eigenwerte:eqn:wurzelapproximation}
+\end{equation}
+ist monoton wachsend und approximiert die Wurzelfunktion $t\mapsto\sqrt{t}$
+gleichmässig auf dem Intervall $[0,1]$.
+\end{satz}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/minmax.pdf}
+\caption{Graphische Erklärung der
+Identitäten~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:minmax} für
+$\max(f(x),g(x))$ und $\min(f(x),g(x))$.
+Die purpurrote Kurve stellt den Mittelwert von $f(x)$ und $g(x)$ dar,
+die vertikalen grünen Linien haben die Länge der Differenz $|f(x)-g(x)|$.
+Das Maximum erhält man, indem man den halben Betrag der Differenz zum
+Mittelwert hinzuaddiert, das Minimum erhält man durch Subtraktion
+der selben Grösse.
+\label{buch:eigenwerte:fig:minmax}}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wer konstruieren zunächst das in
+Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
+visualierte Verfahren, mit dem für jede Zahl $a\in[0,1]$
+die Wurzel $\sqrt{a}$ berechnet werden kann.
+Sei $u < \sqrt{a}$ eine Approximation der Wurzel.
+Die Approximation ist der exakte Wert der Lösung, wenn $a-u^2=0$.
+In jedem anderen Fall muss $u$ um einen Betrag $d$ vergrössert werden.
+Natürlich muss immer noch $u+d<\sqrt{a}$ sein.
+Man kann die maximal zulässige Korrektur $d$ geometrisch abschätzen,
+wie dies in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:wurzelverfahren}
+skizziert ist.
+Die maximale Steigung des Graphen der Funktion $u\mapsto u^2$ ist $2$,
+daher darf man $u$ maximal um die Hälfte der Differenz $a-u^2$ (grün)
+vergrössern, also $d=\frac12(a-u^2)$.
+Die Rekursionsformel
+\[
+u_{n+1} = u_n + d = u_n + \frac12(a-u_n^2)
+\]
+mit dem Startwert $u_0=0$ liefert daher eine 
+Folge, die gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis des Satzes von Stone-Weierstrass]
+Da $A$ eine Algebra ist, ist mit jeder Funktion $f\in A$ für jedes Polynome
+$p\in\mathbb{R}[X]$ auch $p(f)$ eine Funktion in $A$.
+\begin{enumerate}
+\item Schritt: Für jede Funktion $f\in A$ lässt sich auch $|f|$ durch
+Funktionen in $A$ beliebig genau durch eine monoton wachsende Folge
+von Funktionen approximieren.
+
+Da $A$ eine Algebra ist, ist $f^2\in A$.
+Sei ausserdem $m^2=\sup \{f(x)^2\;|\;x\in K\}$, so dass $f^2/m^2$ eine Funktion
+mit Werten im Intervall $[0,1]$ ist.
+Die Funktionen $f_n(x)=mu_n(f(x)^2/m^2)$ sind ebenfalls in $A$ und
+approximieren gleichmässig $\sqrt{f(x)^2}=|f(x)|$.
+\item Schritt: Für zwei Funktionen $f,g\in A$ gibt es eine monoton wachsende
+Folge, die $\max(f,g)$ gleichmässig beliebig genau approximiert
+und eine monoton fallende Folge, die $\min(f,g)$ gleichmässig beliebig 
+genau approximiert.
+
+
+Diese Folgen können aus der Approximationsfolge für den Betrag einer
+Funktion und den Identitäten
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+\max(f,g) &= \frac12(f+g+|f-g|) \\
+\min(f,g) &= \frac12(f+g-|f-g|) 
+\end{aligned}
+\label{buch:eigenwerte:eqn:minmax}
+\end{equation}
+gefunden werden, die in Abbildung~\ref{buch:eigenwerte:fig:minmax}
+graphisch erklärt werden.
+\item Schritt: Zu zwei beliebigen Punkten $x,y\in K$ und Werten
+$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gibt es immer eine Funktion in $A$,
+die in den Punkten $x,y$ die vorgegebenen Werte $\alpha$ bzw.~$\beta$
+annimmt.
+Da $A$ die Punkte trennt, gibt es eine Funktion $f_0$ mit $f_0(x)\ne f_0(y)$.
+Dann ist die Funktion
+\[
+f(t)
+=
+\beta + \frac{f_0(t)-f_0(y)}{f_0(x)-f_0(y)}(\alpha-\beta)
+\]
+wohldefiniert und nimmt die verlangten Werte an.
+\item Schritt: Zu jeder stetigen Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$, jedem
+Punkt $x\in K$ und jedem $\varepsilon>0$ gibt es eine Funktion $g\in A$ derart,
+dass $g(x)=f(x)$ und $g(y) \le f(y)+\varepsilon$ für alle $y\in K$.
+
+Zu jedem $z\in K$ gibt es eine Funktion in $A$ mit
+$h_z(x)=f(x)$ und $h_z(z) \le f(z)+\frac12\varepsilon$.
+Wegen der Stetigkeit von $h_z$ gibt es eine Umgebung $V_z$ von $z$, in der
+immer noch gilt $h_z(y)\le f(y)+\varepsilon$ für $y\in V_z$.
+Wegen der Kompaktheit von $K$ kann man endlich viele Punkte $z_i$ wählen
+derart, dass die $V_{z_i}$ immer noch $K$ überdecken.
+Dann erfüllt die Funktion
+\(
+g(z) = \inf h_{z_i}
+\)
+die Bedingungen $g(x) = f(x)$ und für $z\in V_{z_i}$
+\[
+g(z) = \inf_{j} h_{z_j}(z) \le h_{z_i}(z) \le f(z)+\varepsilon.
+\]
+Ausserdem ist $g(z)$ nach dem zweiten Schritt beliebig genau durch
+Funktionen in $A$ approximierbar.
+\item Schritt: Jede stetige Funktion $f\colon K\to\mathbb{R}$ kann
+beliebig genau durch Funktionen in $A$ approximiert werden.
+Sei $\varepsilon > 0$.
+
+Nach dem vierten Schritt gibt es für jedes $y\in K$ eine Funktion $g_y$
+derart, dass $g_y(y)=f(y)$  und $g_y(x) \le f(x) + \varepsilon$ für
+$x\in K$.
+Da $g_y$ stetig ist, gilt ausserdem $g_y(x) \ge f(x) -\varepsilon$ in
+einer Umgebung $U_y$ von $y$.
+Da $K$ kompakt ist, kann man endlich viele $y_i$ derart, dass die $U_{y_i}$
+immer noch ganz $K$ überdecken.
+Die Funktion $g=\sup g_{y_i}$ erfüllt dann überall $g(x) \le f(x)+\varepsilon$,
+weil jede der Funktionen $g_y$ diese Ungleichung erfüllt.
+Ausserdem gilt für $x\in V_{x_j}$
+\[
+g(x) = \sup_i g_{x_i}(x) \ge g_{x_j}(x) \ge f(x)-\varepsilon.
+\]
+Somit ist
+\[
+|f(x)-g(x)| \le \varepsilon.
+\]
+Damit ist $f(x)$ beliebig nahe an der Funktion $g(x)$, die sich 
+beliebig genau durch Funktionen aus $A$ approximieren lässt.
+\qedhere
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Im ersten Schritt des Beweises ist ganz entscheidend, dass man die
+Betragsfunktion konstruieren kann.
+Daraus leiten sich dann alle folgenden Konstruktionen ab.
+
+\subsubsection{Anwendung auf symmetrische und hermitesche Matrizen}
+Für symmetrische und hermitesche Matrizen $A$ ist bekannt, dass die
+Eigenwerte reell sind, also das Spektrum $\operatorname{A}\subset\mathbb{R}$
+ist.
+Für eine Funktion $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lässt sich nach dem
+Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} immer eine Folge $p_n$ von
+approximierenden Polynomen in $x$ finden, die auf $\operatorname{Sp}(A)$
+gleichmässig konvergiert.
+Die Matrix $f(A)$ kann dann definiert werden also der Grenzwert
+\[
+f(A) = \lim_{n\to\infty} p_n(A).
+\]
+Da diese Matrizen auch diagonalisierbar sind, kann man eine Basis
+aus Eigenvektoren verwenden.
+Die Wirkung von $p_n(A)$ auf einem Eigenvektor $v$ zum Eigenwert $\lambda$
+ist
+\[
+p_n(A)v
+=
+(a_kA^k + a_{k-1}A^{k-1}+\dots +a_2A^2+a_1A+a_0I)v
+=
+(a_k\lambda^k + a_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0)v
+=
+p_n(\lambda)v.
+\]
+Im Grenzwert wirkt $f(A)$ daher durch Multiplikation eines Eigenvektors
+mit $f(\lambda)$, die Matrix $f(A)$ hat in der genannten Basis die
+Diagonalform
+\[
+A=\begin{pmatrix}
+\lambda_1&         &      &         \\
+         &\lambda_2&      &         \\
+         &         &\ddots&         \\
+         &         &      &\lambda_n
+\end{pmatrix}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+f(A)=\begin{pmatrix}
+f(\lambda_1)&            &      &            \\
+            &f(\lambda_2)&      &            \\
+            &            &\ddots&            \\
+            &            &      &f(\lambda_n)
+\end{pmatrix}.
+\]
+
+\begin{satz}
+\label{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}
+Ist $A$ symmetrische oder selbstadjungiert Matrix und $f$ eine Funktion
+auf dem Spektrum $\operatorname{Sp}(A)$ von $A$.
+Dann gibt es genau eine Matrix $f(A)$, die Grenzwert jeder beliebigen
+Folge $p_n(A)$ für Polynomfolgen, die $\operatorname{Sp}(A)$ gleichmässig
+gegen $f$ konvergieren.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Unmöglichkeit der Approximation von $z\mapsto \overline{z}$
+in $\mathbb{C}[z]$}
+Der Satz~\ref{buch:satz:stone-weierstrass} von Stone-Weierstrass für
+reelle Funktionen gilt nicht für komplexe Funktionen.
+In diesem Abschnitt zeigen wir, dass sich die Funktion $z\mapsto\overline{z}$
+auf der Einheitskreisscheibe $K=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|\le 1\}$ nicht
+gleichmässig durch Polynome $p(z)$ mit komplexen Koeffizienten approximieren
+lässt.
+
+Wäre eine solche Approximation möglich, dann könnte man $\overline{z}$
+auch durch eine Potenzreihe
+\[
+\overline{z}
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\]
+darstellen.
+Das Wegintegral beider Seiten über den Pfad $\gamma(t) = e^{it}$
+in der komplexen Ebene ist
+\begin{align*}
+\oint_\gamma z^k\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} e^{ikt} ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} e^{it(k+1)}\,dt
+=
+i\biggl[ \frac{1}{i(k+1)} e^{it(k+1)}\biggr]_0^{2\pi}
+=
+0
+\\
+\oint_\gamma
+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k
+\,dz
+&=
+\sum_{k=0}^\infty a_k \oint_\gamma z^k\,dz
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot 0
+=
+0
+\\
+\oint_\gamma \overline{z}\,dz
+&=
+\int_0^{2\pi} e^{it} ie^{it}\,dt
+=
+i\int_0^{2\pi} \,dt = 2\pi i,
+\end{align*}
+dabei wurde $\overline{\gamma}(t)=e^{-it}$ verwendet.
+Insbesondere widersprechen sich die beiden Integrale.
+Die ursprüngliche Annahmen, $\overline{z}$ lasse sich durch Polynome
+gleichmässig approximieren, muss daher verworfen werden.
+
+\subsubsection{Der Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Funktionen}
+Der Satz von Stone-Weierstrass kann nach dem vorangegangene Abschnitt
+also nicht gelten.
+Um den Beweis des Satzes~\ref{buch:satz:stone-weierstrass}
+auf komplexe Zahlen zu übertragen, muss im ersten Schritt ein Weg
+gefunden werden, den Betrag einer Funktion zu approximieren.
+
+Im reellen Fall geschah dies, indem zunächst eine Polynom-Approximation
+für die Quadratwurzel konstruiert wurde, die dann auf das Quadrat einer
+Funktion angewendet wurde.
+Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ ist aber nicht allein aus $z$
+berechenbar, man braucht in irgend einer Form Zugang zu Real-
+und Imaginärteil.
+Zum Beispiel kann man Real- und Imaginärteil als
+$\Re z= \frac12(z+\overline{z})$ und $\Im z = \frac12(z-\overline{z})$
+bestimmen.
+Kenntnis von Real- und Imaginärteil ist als gleichbedeutend mit
+der Kenntnis der komplex Konjugierten $\overline{z}$.
+Der Betrag lässt sich daraus als $|z|^2 = z\overline{z}$ finden.
+Beide Beispiele zeigen, dass man den im Beweis benötigten Betrag
+nur dann bestimmen kann, wenn mit jeder Funktion aus $A$ auch die
+komplex konjugierte Funktion zur Verfügung steht.
+
+\begin{satz}[Stone-Weierstrass]
+Enthält eine $\mathbb{C}$-Algebra $A$ von stetigen, komplexwertigen
+Funktionen auf einer kompakten Menge $K$ die konstanten Funktionen,
+trennt sie Punkte und ist ausserdem mit jeder Funktion $f\in A$ auch
+die komplex konjugiert Funktion $\overline{f}\in A$,
+dann lässt sich jede stetige, komplexwertige Funktion 
+auf $K$ gleichmässig durch Funktionen aus $A$ approximieren.
+\end{satz}
+
+Mit Hilfe der konjugiert komplexen Funktion lässt sich immer eine
+Approximation für die Betragsfunktion finden, so dass sich der
+Beweis des reellen Satzes von Stone-Weierstrass übertragen lässt.
+
+%
+% Normale Matrizen
+%
+\subsection{Normale Matrizen
+\label{buch:subsection:normale-matrizen}}
+Aus dem Satz von Stone-Weierstrass für komplexe Matrizen kann man
+jetzt einen Spektralsätze für eine etwas grössere Klasse von Matrizen
+ableiten, als im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:spektralsatz}
+möglich war.
+Der Satz besagt, dass für eine beliebige Funktion $f$ auf dem Spektrum
+$\operatorname{Sp}(A)$ eine Folge von auf $\operatorname{Sp}(A)$
+gleichmässig konvergenten, approximierenden Polynomen
+$p_n(z,\overline{z})$ gefunden werden kann.
+Doch wie soll jetzt aus dieser Polynomfolge ein Kandidat von $f(A)$
+gefunden werden?
+
+Zunächst stellt sich die Frage, was für die Variable $\overline{z}$ 
+eingesetzt werden soll.
+$1\times 1$-Matrizen sind notwendigerweise diagonal, also muss 
+man in diesem Fall die Matrix $\overline{A}$ für die Variable
+$\overline{z}$ eingesetzt werden.
+Dies erklärt aber noch nicht, wie für $n\times n$-Matrizen
+vorzugehen ist, wenn $n>1$ ist.
+
+Die Notwendigkeit, die Variable $\overline{z}$ hinzuzunehmen
+ergab sich aus der Anforderung, dass der Betrag aus $|z|^2=z\overline{z}$
+konstruiert werden können muss.
+Insbesondere muss beim Einsetzen eine Matrix entstehen, die nur 
+positive Eigenwerte hat.
+Für eine beliebige komplexe $n\times n$-Matrix $A$ ist aber
+$A\overline{A}$ nicht notwendigerweise positiv, wie das Beispiel
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+A\overline{A}
+=
+\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+-1&0\\
+ 0&-1
+\end{pmatrix}
+=
+-I
+\]
+zeigt.
+Eine positive Matrix entsteht dagegen immer, wenn man statt
+$A$ die Adjungierte $A^*=\overline{A}^t$ verwendet.
+
+Die Substitution von $A$ für $z$ und $A^*$ für $\overline{z}$
+in einem Polynom $p(z,\overline{z})$ ist nicht unbedingt eindeutig.
+Schon das Polynom $p(z,\overline{z})=z\overline{z}$ kann man auch
+als $\overline{z}z$ schreiben.
+Damit die Substition eindeutig wird, muss man also fordern, dass
+$AA^* = A^*A$ ist.
+
+\begin{definition}
+Eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$ heisst {\em normal}, wenn $AA^*=A^*A$ gilt.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Beispiele normaler Matrizen}
+
+\begin{enumerate}
+\item
+Hermitesche und Antihermitesche Matrizen sind normal, denn solche
+Matrizen erfüllen $A^*=\pm A$ und damit
+\(
+AA^* = \pm A^2 = A^*A.
+\)
+\item
+Symmetrische und antisymmetrische Matrizen sind normal,
+denn aus $A=A^t$ folgt $A^*=\overline{A}^t$ und damit
+\begin{align*}
+AA^* &=  A\overline{A}^t = 
+\\
+A^*A &=
+\end{align*}
+\item
+Unitäre Matrizen $U$ sind normal, das $UU^*=I=U^*U$ gilt.
+\item
+Orthogonale Matrizen sind normal wegen $O(n) = U(n) \cap M_n(\mathbb{R})$.
+\end{enumerate}
+
+Jede Matrix lässt sich durch Wahl einer geeigneten Basis in Jordansche 
+Normalform bringen.
+Allerdings sind Jordan-Blöcke keine normalen Matrizen, wie der folgende
+Satz zeigt.
+
+\begin{satz}
+Eine Dreiecksmatrix ist genau dann normal, wenn sie diagonal ist.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix
+funktioniert gleich.
+Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$.
+Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$.
+Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$
+die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$.
+Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als
+\begin{align*}
+(AA^*)_{ii}
+&=
+\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij}
+=
+\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2
+\\
+(A^*A)_{ii}
+&=
+\sum_{j=1}^n \overline{a}_{ji}a_{ji}
+=
+\sum_{j=1}^i |a_{ji}|^2
+\end{align*}
+ausrechnen.
+Der obere Ausdruck ist die quadrierte Länge der Zeile $i$ der Matrix $A$,
+der untere ist die quadrierte Länge der Spalte $i$.
+Da die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, hat die erste Spalte höchstens
+ein einziges von $0$ verschiedenes Element.
+Daher kann auch die erste Zeile höchstens dieses eine Elemente haben.
+Die Matrix hat daher Blockstruktur mit einem $1\times 1$-Block in der
+linken obere Ecke und einem  $n-1$-dimensionalen Block für den Rest.
+Durch Wiederholen des Arguments für den $(n-1)\times (n-1)$-Block 
+kann man so schrittweise schliessen, dass die Matrix $A$ diagonal sein muss.
+\end{proof}
+
+
+\begin{satz}
+Sind $A$ und $B$ normale Matrizen und $AB^*=B^*A$, dann sind auch $A+B$
+und $AB$ normal.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst folgt aus $AB^*=B^*A$ auch
+$A^*B = (B^*A)^* = (AB^*)^* = BA^*$.
+Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen:
+\begin{align*}
+(A+B)(A+B)^*
+&=
+AA^* + AB^* + BA^*+BB^*
+\\
+(A+B)^*(A+B)
+&=
+A^*A + A^*B + B^*A + B^*B
+\end{align*}
+Die ersten und letzten Terme auf der rechten Seite stimmen überein, weil
+$A$ und $B$ normal sind.
+Die gemischten Terme stimmen überein wegen der Vertauschbarkeit von
+$A$ und $B^*$.
+
+Für das Produkt rechnet man
+\begin{align*}
+(AB)(AB)^*
+&= ABB^*A^* = AB^*BA^*
+= B^*AA^*B
+=
+B^*A^*AB
+=
+(AB)^*(AB),
+\end{align*}
+was zeigt, dass auch $AB$ normal ist.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Äquivalente Bedingungen}
+Es gibt eine grosse Zahl äquivalenter Eigenschaften für normale Matrizen.
+Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
+\begin{enumerate}
+\item
+Die Matrix $A$ ist mit einer unitären Matrix diagonalisierbar
+\item
+Es gibt eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von $A$ für $\mathbb{C}^n$
+\item
+Für jeden Vektor $x\in\mathbb{C}^n$ gilt $\|Ax\|=\|A^*x\|$
+\item
+Die Forbenius-Norm der Matrix $A$ kann mit den Eigenwerten $\lambda_i$
+von $A$ berechnet werden:
+$\operatorname{Spur}(A^*A) = \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2$
+\item
+Der hermitesche Teil $\frac12(A+A^*)$ und der antihermitesche Teil
+$\frac12(A-A^*)$ von $A$ vertauschen.
+\item
+$A^*$ ist ein Polynom vom Grad $n-1$ in $A$.
+\item
+Es gibt eine unitäre Matrix $U$ derart, dass $A^*=AU$
+\item
+Es gibt eine Polarzerlegugn $A=UP$ mit einer unitären Matrix $U$ und
+einer postiv semidefiniten Matrix $P$, die untereinander vertauschen.
+\item
+Es gibt eine Matrix $N$ mit verschiedenen Eigenwerten, mit denen $A$
+vertauscht.
+\item
+Wenn $A$ die (absteigend geordneten) singulärwerte $\sigma_i$ und
+die absteigend geordneten Eigenwerte $\lambda_i$ hat,
+dann it $\sigma_i=|\lambda_i|$.
+\end{enumerate}
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima
new file mode 100644
index 0000000..9c97a2b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.maxima
@@ -0,0 +1,121 @@
+/*
+ * 4006.maxima
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+
+A: matrix([ a+b*%i,      1,       0,      0 ],
+          [      0, a+b*%i,       0,      0 ],
+          [      0,      0,  a-b*%i,      1 ],
+          [      0,      0,       0, a-b*%i ]);
+
+expand(charpoly(A, x));
+
+S: (1/sqrt(2)) * matrix([ 1, -%i,  0,   0 ],
+                        [ 0,   0,  1, -%i ],
+                        [ 1,  %i,  0,   0 ],
+                        [ 0,   0,  1,  %i ]);
+
+B: expand(invert(S).A.S);
+
+
+C: subst(2, a, B);
+C: subst(3, b, C);
+A: subst(2, a, A);
+A: subst(3, b, A);
+
+U: matrix([ 1, 0, 1, 0 ],
+          [ 0, 1, 1, 2 ],
+          [ 0, 0, 1, 0 ],
+          [ 0, 0, 0, 1 ]);
+V: matrix([ 1, 0, 0, 0 ],
+          [ 0, 1, 0, 0 ],
+          [ 0, 1, 1, 0 ],
+          [ 1, 0, 0, 1 ]);
+T: U.V;
+invert(T);
+
+D: T.C.invert(T);
+
+p: expand(charpoly(D, x));
+
+factor(p);
+
+lambda: 2+3*%i;
+
+Dlambda: ratsimp(expand(D - lambda * identfor(D)));
+rank(Dlambda);
+/* D2: expand(Dlambda.Dlambda); */
+/* rank(D2); */
+
+load(functs);
+
+/*
+E: Dlambda;
+E[1]: (rational(1/E[1,1]))*E[1]$
+E[2]: E[2] - E[2,1] * E[1]$
+E[3]: E[3] - E[3,1] * E[1]$
+E[4]: E[4] - E[4,1] * E[1]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[2]: (rational(1/E[2,2])) * E[2]$
+E[3]: E[3] - E[3,2] * E[2]$
+E[4]: E[4] - E[4,2] * E[2]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[3]: (rational(1/E[3,3])) * E[3]$
+E[4]: E[4] - E[4,3] * E[3]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[2]: E[2] - E[2,3] * E[3]$
+E[1]: E[1] - E[1,3] * E[3]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E[1]: E[1] - E[1,2] * E[2]$
+E: ratsimp(E)$
+
+E;
+*/
+
+b1: matrix([1+%i],[2+2*%i],[%i],[1]);
+ratsimp(D.b1 - lambda*b1);
+
+G: Dlambda;
+G: addcol(G, b1);
+G[1]: (rational(1/G[1,1]))*G[1]$
+G[2]: G[2] - G[2,1] * G[1]$
+G[3]: G[3] - G[3,1] * G[1]$
+G[4]: G[4] - G[4,1] * G[1]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[2]: (rational(1/G[2,2])) * G[2]$
+G[3]: G[3] - G[3,2] * G[2]$
+G[4]: G[4] - G[4,2] * G[2]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[3]: (rational(1/G[3,3])) * G[3]$
+G[4]: G[4] - G[4,3] * G[3]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[2]: G[2] - G[2,3] * G[3]$
+G[1]: G[1] - G[1,3] * G[3]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G[1]: G[1] - G[1,2] * G[2]$
+G: ratsimp(G)$
+
+G;
+
+b2: matrix([ G[1,5] ], [ G[2,5] ], [ G[3,5] ], [ G[4,5] ]);
+
+expand(D.b2 - lambda * b2 - b1);
+
+c1: 2 * realpart(b1);
+d1: 2 * imagpart(b1);
+c2: 2 * realpart(b2);
+d2: 2 * imagpart(b2);
+
+D.c1 - 2 * c1 + 3 * d1;
+D.d1 - 3 * c1 - 2 * d1;
+D.c2 - 2 * c2 + 3 * d2 - c1;
+D.d2 - 3 * c2 - 2 * d2 - d1;
diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
new file mode 100644
index 0000000..7ccc065
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+Man findet eine Basis, in der die Matrix
+\[
+A=\begin{pmatrix*}[r]
+ -5&  2&  6&   0\\
+-11& 12& -3& -15\\
+ -7&  0&  9&   4\\
+  0&  5& -7&  -8
+\end{pmatrix*}
+\]
+die relle Normalform bekommt.
+
+\begin{loesung}
+Das charakteristische Polynom der Matrix ist 
+\[
+\chi_{A}(\lambda)
+=
+\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169
+=
+(\lambda^2-4\lambda+13)^2.
+\]
+Es hat die doppelten Nullstellen
+\[
+\lambda_\pm
+=
+2\pm \sqrt{4-13}
+=
+2\pm \sqrt{-9}
+=
+2\pm 3i.
+\]
+Zur Bestimmung der Basis muss man jetzt zunächst den Kern von 
+$A_+=A-\lambda_+I$ bestimmen, zum Beispiel mit Hilfe des Gauss-Algorithmus,
+man findet
+\[
+b_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1+i\\
+2+2i\\
+i\\
+1
+\end{pmatrix}.
+\]
+Als nächstes braucht man einen Vektor $b_1\in \ker A_+^2$, der 
+$b_1$ auf $b_1+\lambda_+b_2$ abbildet.
+Durch Lösen des Gleichungssystems $Ab_2-\lambda_+ b_2=b_1$ findet man
+\[
+b_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2-i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{und damit weiter}\qquad
+\overline{b}_1
+=
+\begin{pmatrix}
+1-i\\
+2-2i\\
+-i\\
+1
+\end{pmatrix},\quad
+\overline{b}_2
+=
+\begin{pmatrix}
+2+i\\3\\2\\0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Als Basis für die reelle Normalform von $A$ kann man jetzt die Vektoren
+\begin{align*}
+c_1
+&=
+b_1+\overline{b}_1 = \begin{pmatrix}2\\4\\0\\2\end{pmatrix},&
+d_1
+&=
+\frac{1}{i}(b_1-\overline{b}_1) = \begin{pmatrix}2\\4\\2\\0\end{pmatrix},&
+c_2
+&=
+b_2+\overline{b}_2 = \begin{pmatrix}4\\6\\4\\0\end{pmatrix},&
+d_2
+&=
+\frac{1}{i}(b_2-\overline{b}_2) = \begin{pmatrix}-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}
+\end{align*}
+verwenden.
+In dieser Basis hat $A$ die Matrix
+\[
+A'
+=
+\begin{pmatrix*}[r]
+ 2& 3& 1& 0\\
+-3& 2& 0& 1\\
+ 0& 0& 2& 3\\
+ 0& 0&-3& 2
+\end{pmatrix*},
+\]
+wie man einfach nachrechnen kann.
+\end{loesung}
+