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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index 91f17a7..cbbe3ad 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -21,23 +21,28 @@ Funktionen $f$ berechnen zu können. % \subsection{Polynom-Funktionen \label{buch:subsection:polynom-funktionen}} +Die einfachsten Funktionen $f(x)$, für die der Wert $f(A)$ +auf offensichtliche Weise berechnet werden kann, sind Polynome. +Die Jordan-Normalform kann dabei helfen, die Potenzen von $A$ +zu berechnen. + In diesem Abschnitt ist $B\in M_n(\Bbbk)$ und $\Bbbk'\supset\Bbbk$ ein -Körper, über dem das charakteristische Polynome $\chi_A(x)$ in +Körper, über dem das charakteristische Polynome $\chi_A(X)$ in Linearfaktoren \[ -\chi_A(x) +\chi_A(X) = -(\lambda_1-x)^{m_1}(\lambda_2-x)^{m_2}\cdot\ldots\cdot(\lambda_p-x)^{m_p} +(\lambda_1-X)^{m_1}(\lambda_2-X)^{m_2}\cdots(\lambda_p-X)^{m_p} \] zerfällt. -Für jedes beliebige Polynome $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form +Für jedes beliebige Polynom $p(X)\in\Bbbk[X]$ der Form \[ -p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots a_1x + a_0 +p(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \] kann man auch \[ -p(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots a_1A + a_0E +p(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \dots + a_1A + a_0I \] berechnen. In der Jordan-Normalform können die Potenzen $A^k$ leicht zusammengstellt @@ -48,6 +53,7 @@ Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ ist die Matrix mit \begin{equation} J_n(\lambda)^k = +\renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{pmatrix} \lambda^k & \binom{k}{1}\lambda^{k-1} @@ -70,6 +76,13 @@ J_n(\lambda)^k & \dots &\binom{k}{n-3}\lambda^{k-n+3} \\ +0 + & 0 + & 0 + & \lambda^k + & \dots + &\binom{k}{n-4}\lambda^{k-n+4} +\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda^k @@ -88,7 +101,7 @@ Die Binomialkoeffizienten verschwinden für $j<i$ und $j>i+k$. \begin{proof}[Beweis] Die Herkunft der Binomialkoeffizienten wird klar, wenn man \[ -J_n(\lambda) = \lambda E + N_n +J_n(\lambda) = \lambda I + N_n \] schreibt, wobei $N_n$ die Matrix \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent} ist. Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente @@ -104,7 +117,7 @@ Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente \] sie haben also Einsen genau dort, wo in der \label{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz} die Potenz $\lambda^{k}$ steht. -Die $kt$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ kann dann mit dem binomischen +Die $k$-te Potenz von $J_n(\lambda)$ kann dann mit dem binomischen Satz berechnet werden: \[ J_n(\lambda)^k @@ -114,7 +127,8 @@ J_n(\lambda)^k dies ist genau die Form \eqref{buch:eigenwerte:eqn:Jnkpotenz}. \end{proof} -Wir haben bereits gesehen, dass $\chi_A(A)=0$, ersetzt man also das +Wir haben bereits gesehen, dass $\chi_A(A)=0$. +Ersetzt man also das Polynom $p(X)$ durch $p(X)+\chi_A(X)$, dann ändert sich am Wert \[ (p+\chi_A)(A) @@ -126,7 +140,8 @@ p(A) nichts. Man kann also nicht erwarten, dass verschiedene Polynome $p(X)$ zu verschiedenen Matrizen $p(A)$ führen. -Doch welche Unterschiede zwischen Polynomen wirken sich genau aus? +Doch genau welche Unterschiede zwischen Polynomen wirken sich +auf den Wert $p(A)$ aus? \begin{satz} Für zwei Polynome $p(X)$ und $q(X)$ ist genau dann $p(A)=q(A)$, wenn @@ -149,13 +164,13 @@ m(X) = (\lambda_1-X)^{q_1} (\lambda_2-X)^{q_2} -\cdot\ldots -\cdot +\cdots (\lambda_p-X)^{q_p}, \] wobei $q_i$ die Dimension des grössten Jordan-Blocks ist, der in der Jordan-Normalform vorkommt. -Zwei Polynome $p_1(X)$ und $p_2(X)$ haben genau dann den gleichen Wert, +Zwei Polynome $p_1(X)$ und $p_2(X)$ ergeben genau dann den gleichen Wert +auf $A$, wenn die Differenz $p_1(X)-p_2(X)$ genau die Nullstellen $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ mit Vielfachheiten $q_1,\dots,q_p$ hat. @@ -172,18 +187,18 @@ A \] mit dem charakteristischen Polynom \[ -\chi_A(x) +\chi_A(X) = --x^3+7x^2-16 x+12 +-X^3+7X^2-16 X+12 = --(x-3)(x-2)^2. +-(X-3)(X-2)^2. \] Daraus kann man bereits ablesen, dass das Minimalpolynom $m(X)$ von $A$ entweder $(X-2)(X-3)$ oder $(X-2)^2(X-3)$ ist. Es genügt also nachzuprüfen, ob $p(A)=0$ für das Polynom $p(X)=(X-2)(X-3) = X^2-5X+6$ ist. Tatsächlich sind die Potenzen von $A$: -\[ +\begin{equation} A^2= \begin{pmatrix} 0& 36& -16 \\ @@ -197,8 +212,9 @@ A^3= -12& -36& 28\\ -24&-126& 83 \end{pmatrix} -\] -und daraus kann man jetzt $P(A)$ berechnen: +\label{buch:eigenwerte:eqn:A2A3} +\end{equation} +und daraus kann man jetzt $p(A)$ berechnen: \begin{equation} p(A) = @@ -229,9 +245,11 @@ p(A) = \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-9&4\end{pmatrix} +\ne 0 \label{buch:eigenwerte:eqn:nichtminimalpolynom} \end{equation} -Also ist tatsächlich $(X-2)^2(X-3)$ das Minimalpolynom. +Daher kann $p(X)$ nicht das Minimalpolynom $A$ +sein, daher muss $(X-2)^2(X-3)$ das Minimalpolynom sein. Das Quadrat des Polynoms $p(X)$ ist $p(X)^2 = (X-2)^2(X-3)^2$, es hat das Minimalpolynom als Teiler, also muss $p(A)^2=0$ sein. @@ -254,11 +272,12 @@ wie zu erwarten war. Wenn sich zwei Polynome nur um das charakteristische Polynom unterscheiden, dann haben sie den gleichen Wert auf $A$. -Das Polynom $p_1(X)=X^3$ unterschiedet sich vom Polynom $p_2(X)=7X^2-16X+12$ +Das Polynom $p_1(X)=X^3$ unterschiedet sich vom Polynom +$p_2(X)=7X^2-16X+12=\chi_A(X)+X^3=p_1(X)+\chi_A(X)$ um das charakteristische Polynom, welches wir bereits als das Minimalpolynom von $A$ erkannt haben. -Die dritte Potenz $A^3$ von $A$ muss sich daher auch mit $p_2(X)$ berechnen -lassen: +Die dritte Potenz $A^3=p_1(A)$ von $A$ muss sich daher auch als $p_2(A)$ +berechnen lassen: \[ 7 \begin{pmatrix} @@ -285,9 +304,9 @@ lassen: -24&-126& 83 \end{pmatrix} = -A^3. -\qedhere +A^3, \] +wie in \eqref{buch:eigenwerte:eqn:A2A3} vorsorglich berechnet worden ist. \end{beispiel} \begin{satz} @@ -299,9 +318,11 @@ für alle Eigenwerte $\lambda$ von $A$. Über dem Körper der komplexen Zahlen ist die Bedingung, dass die Differenz $d(X)=p_1(X)-p_2(X)$ vom Minimalpolynom geteilt werden muss, gleichbedeutend -damit, dass $p_1(X)$ und $p_2(X)$ den gleichen Wert und gleiche Ableitungen -bis zur Ordnung $q_i-1$ haben in allen Eigenwerten $\lambda_i$, wobei -$q_i$ der Exponent von $\lambda_i-X$ im Minimalpolynom von $A$ ist. +damit, dass $p_1(X)$ und $p_2(X)$ die gleichen Nullstellen mit den gleichen +Vielfachheiten haben. +Eine andere Art, dies auszudrücken, ist, dass $p_1(x)$ und $p_2(X)$ +die gleichen Werte und Ableitungen bis zur Ordnung $q_i-1$ haben, wenn +$q_i$ der Exponente von $\lambda_I-X$ im Minimalpolynom von $A$ ist. Das Beispiel illustriert auch noch ein weiteres wichtiges Prinzip. Schreiben wir das Minimalpolynom von $A$ in der Form @@ -317,10 +338,10 @@ A^i = A^{i-k}A^k = -A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0E) +A^{i-k}(-a_{k-1}A^{k-1}+ \dots + a_1 A + a_0I) \] in einer Linearkombination kleinerer Potenzen reduzieren. -Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduizert werden in +Jedes Polynom vom Grad $\ge k$ kann also reduziert werden in ein Polynom vom Grad $<k$ mit dem gleichen Wert auf $A$. \begin{satz} @@ -336,6 +357,7 @@ vom Grad $\deg q<\deg m$ mit $p(A)=q(A)$. \subsection{Approximation von $f(A)$ \label{buch:subsection:approximation}} Die Quadratwurzelfunktion $x\mapsto\sqrt{x}$ lässt sich nicht durch ein +\index{Quadratwurzelfunktion}% Polynom darstellen, es gibt also keine direkte Möglichkeit, $\sqrt{A}$ für eine beliebige Matrix zu definieren. Wir können versuchen, die Funktion durch ein Polynom zu approximieren. @@ -358,9 +380,19 @@ Solche Polynome gibt es dank dem Satz von Stone-Weierstrass immer: \begin{satz}[Stone-Weierstrass] Ist $I\subset\mathbb{R}$ kompakt, dann lässt sich jede stetige Funktion +$f(x)$ durch eine Folge $p_n(x)$ beliebig genau approximieren. \end{satz} +Die Hoffnung ist, $f(A)$ als Grenzwert der Approximationen $p_n(A)$ +zu definieren. +Dazu muss sichergestellt sein, dass verschiedene Approximationen +der Funktion $f$ den gleichen Grenzwert $\lim_{n\to\infty}p_n(A)$ +ergeben. +Im Folgenden soll genauer untersucht werden, ob sich von der +Konvergenz einer Folge $p_n(x)$ auf die Konvergenz von $p_n(A)$ +geschlossen werden kann. + Wir haben schon gezeigt, dass es dabei auf die höheren Potenzen gar nicht ankommt, nach Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:reduktion} kann man ein approximierendes Polynom immer durch ein Polynom von kleinerem Grad @@ -417,57 +449,111 @@ XXX TODO % \subsection{Potenzreihen \label{buch:subsection:potenzreihen}} +Funktionen, die eine konvergente Potenzreihenentwicklung +\begin{equation} +f(z) += +\sum_{k=0}^\infty a_kz^k +\label{buch:eigenwerte:eqn:potenzreihe} +\end{equation} +\index{Potenzreihe} +haben, wie +zum Beispiel $e^x$, $\sin x$ oder $\cos x$, haben eine in der Folge +der Partialsummen +\[ +p_n(z) = \sum_{k=0}^n a_kz^k +\] +eine Approximation mit Polynomen. +Nach dem {\em Wurzelkriterium} ist die +Reihe~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:potenzreihe} +konvergent, wenn +\[ +\limsup_{k\to\infty} \sqrt[n]{|a_kz^k|} < 1 +\] +ist. +\index{Wurzelkriterium}% +Dies führt auf die Formel $1/\varrho = \limsup_{k\to\infty}|a_k|^{\frac1k}$ +für den Konvergenzradius der Potenzreihe. - - +Setzt man die Matrix $M\in M_r(\Bbbk)$ in die Potenzreihe ein, +folgt, dass +\[ +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|a_kM^n\|} +\le +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} +\cdot +\limsup_{n\to\infty} \|M^k\|^{\frac1k} += +\frac{1}{\varrho} +\limsup_{n\to\infty} \|M^k\|^{\frac1k} +\] +sein muss. Dies führt uns auf die Grösse \begin{equation} \pi(M) = -\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^\frac1n. +\limsup_{n\to\infty} \|M^n\|^\frac1n, \label{buch:eqn:gelfand-grenzwert} \end{equation} +die +darüber entscheidet, ob die Potenzreihe $f(A)$ konvergiert. + +Die Zahl $\pi(M)$ erlaubt zunächst einmal zu bestimmen, wie +sich die Potenzen $M^k$ entwickeln. +Für Zahlen ist diese Frage sehr einfach zu entscheiden: wenn $q>1$ ist, +dann geht $q^n\to\infty$, wenn $|q|<1$ ist, dann geht $q^n\to 0$. +Für Matrizen ist die Frage etwas schieriger. +Man kann sich vorstellen, dass eine Streckung in einer Richtung +von einer Stauchung in eine andere Richtung kompensiert wird, wenn +dazwischen eine Drehung stattfindet. +Es ist also durchaus möglich, dass $\|M\|>1$ ist, die +Iterierten $M^k$ aber trotzdem gegen $0$ gehen. + Ist $\pi(M) > 1$, dann gibt es Anfangsvektoren $v$ für die Iteration, für die $M^kv$ über alle Grenzen wächst. Ist $\pi(M) < 1$, dann wird jeder Anfangsvektor $v$ zu einer Iterationsfolge $M^kv$ führen, die gegen $0$ konvergiert. -Die Kennzahl $\pi(M)$ erlaubt also zu entscheiden, ob ein -Iterationsverfahren konvergent ist. +Die Kennzahl $\pi(M)$ erlaubt also zu entscheiden, ob die +Iteration konvergent ist. \index{Konvergenzbedingung}% -Die Berechnung von $\pi(M)$ als Grenzwert ist sehr unhandlich. +\begin{definition} +\label{buch:eigenwerte:def:gelfand-radius} +Der Grenzwert +\[ +\pi(M) += +\limsup_{n\to\infty} \|M^k\|^{\frac1k} +\] +heisst {\em Gelfand-Radius} der Matrix $M$. +\index{Gelfand-Radius}% +\end{definition} + + +% +% Gelfand-Radius und Eigenwerte +% +\subsection{Gelfand-Radius und Eigenwerte +\label{buch:subsection:potenzreihen}} +Die Berechnung des Gelfand-Radius als Grenzwert ist sehr unhandlich. Viel einfacher ist der Begriff des Spektralradius. \index{Spektralradius}% \begin{definition} \label{buch:definition:spektralradius} Der {\em Spektralradius} der Matrix $M$ ist der Betrag des betragsgrössten +\index{Spektralradius}% Eigenwertes. \end{definition} -% -% Gelfand-Radius und Eigenwerte -% -\subsection{Gelfand-Radius und Eigenwerte -\label{buch:subsection:spektralradius}} -In Abschnitt~\ref{buch:subsection:konvergenzbedingung} -ist der Gelfand-Radius mit Hilfe eines Grenzwertes definiert worden. -\index{Gelfand-Radius}% -Nur dieser Grenzwert ist in der Lage, über die Konvergenz eines -Iterationsverfahrens Auskunft zu geben. -Der Grenzwert ist aber sehr mühsam zu berechnen. -\index{Grenzwert}% -Es wurde angedeutet, dass der Gelfand-Radius mit dem Spektralradius -übereinstimmt, dem Betrag des betragsgrössten Eigenwertes. -Dies hat uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium -geliefert. +Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, dass der Gelfand-Radius mit +dem Spektralradius übereinstimmt. +Dies liefert uns ein vergleichsweise einfach auszuwertendes Konvergenzkriterium. \index{Konvergenzkriterium}% -In diesem Abschnitt soll diese Identität zunächst an Spezialfällen -und später ganz allgemein gezeigt werden. \subsubsection{Spezialfall: Diagonalisierbare Matrizen} Ist eine Matrix $A$ diagonalisierbar, dann kann Sie durch eine Wahl -einer geeigneten Basis in Diagonalform +einer geeigneten Basis in die Diagonalform \index{diagonalisierbar}% \index{Diagonalform}% \[ @@ -577,8 +663,8 @@ Ihre Potenzen haben ebenfalls Blockform: \[ A^k = \begin{pmatrix} B^k & 0 \\ 0 & C^k\end{pmatrix}. \] -Ein Vektor $v$ kann in die zwei Summanden $v_1$ bestehen aus den -ersten $n$ Komponenten und $v_2$ bestehen aus den letzten $m$ +Ein Vektor $v$ kann in die zwei Summanden $v_1$ bestehend aus den +ersten $n$ Komponenten und $v_2$ bestehend aus den letzten $m$ Komponenten zerlegen. Dann ist \[ @@ -614,11 +700,11 @@ Polynom der Blockmatrix $A$ natürlich \index{charakteristisches Polynom}% \index{Polynom!charakteristisch}% \[ -\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)\chi_C(\lambda), +\chi_A(\lambda) = \chi_B(\lambda)\chi_C(\lambda). \] -woraus folgt, dass die Eigenwerte von $A$ die Vereinigung der Eigenwerte +Es folgt, dass die Eigenwerte von $A$ die Vereinigung der Eigenwerte von $B$ und $C$ sind. -Daher gilt auch für die Spektralradius die Formel +Daher gilt auch für den Spektralradius die Formel \[ \varrho(A) = \max(\varrho(B) , \varrho(C)). \] @@ -626,7 +712,7 @@ Daher gilt auch für die Spektralradius die Formel \subsubsection{Jordan-Blöcke} \index{Jordan-Block}% Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, die bekanntesten Beispiele sind -die Matrizen +die Jordan-Blöcke \begin{equation} J_n(\lambda) = @@ -641,12 +727,12 @@ J_n(\lambda) \label{buch:spektralradius:eqn:jordan} \end{equation} wobei $\lambda\in\mathbb C$ eine beliebige komplexe Zahl ist. -Wir nennen diese Matrizen {\em Jordan-Matrizen}. Es ist klar, dass $J_n(\lambda)$ nur den $n$-fachen Eigenwert $\lambda$ hat und dass der erste Standardbasisvektor ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist. -In der linearen Algebra lernt man, dass jede Matrix durch Wahl +In Abschnitt~\ref{buch:subsection:jordan-normalform} +haben wir gesehen, dass jede Matrix durch die Wahl \index{lineare!Algebra}% einer geeigneten Basis als Blockmatrix der Form \[ @@ -659,14 +745,13 @@ J_{n_1}(\lambda_1) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots &J_{n_l}(\lambda_l) \end{pmatrix} \] -geschrieben werden kann\footnote{Sofern die Matrix komplexe Eigenwerte -hat muss man auch komplexe Basisvektoren zulassen.}. +geschrieben werden kann. Die früheren Beobachtungen über den Spektralradius und den -Gelfand-Radius von Blockmatrizen zeigen uns daher, dass +Gelfand-Radius von Blockmatrizen führen uns dazu, dass nur gezeigt werden muss, dass nur die Gleichheit des Gelfand-Radius und des Spektral-Radius von Jordan-Blöcken gezeigt werden muss. -\subsubsection{Iterationsfolgen} +\subsubsection{Potenzen von Jordan-Blöcken} \begin{satz} \label{buch:spektralradius:satz:grenzwert} Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Spektralradius $\varrho(A)$. @@ -774,7 +859,7 @@ es im Fall $\varepsilon > 0$ eine Konstante $M$ gibt mit \|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\le M^\frac1k\varrho(A(\varepsilon)) \\ &\Rightarrow\quad -\pi(A) \le \varrho(A(\varepsilon)) +\pi(A(\varepsilon)) \le \varrho(A(\varepsilon)) \underbrace{\lim_{k\to\infty} M^\frac1k}_{\displaystyle=1} = \varrho(A(\varepsilon)) @@ -791,7 +876,7 @@ Andererseits gibt es für $\varepsilon <0$ eine Konstante $m$ mit \|A(\varepsilon) ^k\|^\frac1k\ge m^\frac1k\varrho(A(\varepsilon)) \\ &\Rightarrow\quad -\pi(A) \ge \varrho(A(\varepsilon)) +\pi(A(\varepsilon)) \ge \varrho(A(\varepsilon)) \underbrace{\lim_{k\to\infty} m^\frac1k}_{\displaystyle=1} = \varrho(A(\varepsilon)) |