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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 242a5e5..24ea57d 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -46,5 +46,6 @@ Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. \uebungsaufgabe{4003} \uebungsaufgabe{4004} \uebungsaufgabe{4005} +\uebungsaufgabe{4006} \end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index ffce61d..9169f65 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -554,16 +554,16 @@ S^* = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{ccccc|ccccc} - 1& & & & &1& & & & \\ --i& & & & &i& & & & \\ - & 1& & & & &1& & & \\ - &-i& & & & &i& & & \\ - & & 1& & & & &1& & \\ - & &-i& & & & &i& & \\ - & & &\dots& & & & &\dots& \\ - & & &\dots& & & & &\dots& \\ - & & & & 1& & & & &1\\ - & & & &-i& & & & &i\\ + 1& & & & & 1& & & & \\ + i& & & & &-i& & & & \\ + & 1& & & & & 1& & & \\ + & i& & & & &-i& & & \\ + & & 1& & & & & 1& & \\ + & & i& & & & &-i& & \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & &\dots& & & & &\dots& \\ + & & & & 1& & & & & 1\\ + & & & & i& & & & &-i\\ \end{array}\right). \] Insbesondere folgt jetzt diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex new file mode 100644 index 0000000..63858b7 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4006.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +Man findet eine Basis, in der die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} + -5& 2& 6& 0\\ +-11& 12& -3& -15\\ + -7& 0& 9& 4\\ + 0& 5& -7& -8 +\end{pmatrix} +\] +die relle Normalform bekommt. + +\begin{loesung} +Das charakteristische Polynom der Matrix ist +\[ +\chi_{A}(\lambda) += +\lambda^4-8\lambda^3+42\lambda^2-104\lambda+169 += +(\lambda^2-4\lambda+13)^2. +\] +Es hat die doppelten Nullstellen +\[ +\lambda += +2\pm \sqrt{4-13} += +2\pm \sqrt{-9} += +2\pm 3i. +\] +Zur Bestimmung +\end{loesung} + |