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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index cee8510..0f6429f 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \rhead{Lie-Algebren} Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen -Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Vektorraum $M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können. Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer Mannigfaltigkeit. @@ -27,6 +27,7 @@ Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ übereinstimmt. +\index{Vektorprodukt}% % % Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe @@ -78,12 +79,12 @@ I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots \intertext{% Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden -sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der -Einparameteruntergruppe von $A+B$} +sich aber für $t>0$ und sie unterscheiden sich von der +Einparameteruntergruppe} e^{(A+B)t} &= I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots -\intertext{Für die Unterschiede finden wir} +\intertext{von $A+B$. Für die Unterschiede finden wir} e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} &= \biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 @@ -110,15 +111,19 @@ e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} = \phantom{-}[A,B]t^2+\ldots \end{align*} -wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. +wobei $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. \begin{definition} \label{buch:gruppen:def:kommutator} -Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix +Der {\em Kommutator} zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix $[A,B]=AB-BA$. +\index{Kommutator}% +\index{Lie-Klammer}% \end{definition} Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da +\index{bilinear}% +\index{antisymmetrisch}% \begin{align*} [\lambda A+\mu B,C] &= @@ -139,11 +144,13 @@ AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]. Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$ Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied -zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$. +zwischen den +$ e^{At} e^{Bt} $ +und +$ e^{Bt} e^{At} $. Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab. - \subsubsection{Die Jacobi-Identität} Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft: \begin{align*} @@ -182,6 +189,7 @@ Identität. \label{buch:gruppen:def:jacobi} Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn +\index{Jacobi-Identität}% \[ [u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0 \] @@ -199,23 +207,26 @@ Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt \] welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. +\index{Lie-Algebra}% \end{definition} Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet. $LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$. -Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +Die {\em Exponentialabbildung} $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +\index{Exponentialabbildung}% ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$. Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden. Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden -sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der +sind, verwenden wir die Notationskonvention, dass der Name der Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist. Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also -$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$, +$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{so}(n)$, +\index{so(n)@$\operatorname{so}(n)$}% die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist $L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$. - +\index{sln(r)@$\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$}% % % Die Lie-Algebra von SO(3) @@ -229,34 +240,126 @@ Solche Matrizen haben die Form \Omega = \begin{pmatrix} - 0 & \omega_3&-\omega_2\\ --\omega_3& 0 & \omega_1\\ - \omega_2&-\omega_1& 0 + 0 &-\omega_3& \omega_2\\ + \omega_3& 0 &-\omega_1\\ +-\omega_2& \omega_1& 0 \end{pmatrix} \] +Die antisymmetrischen Matrizen +\[ +\omega_{23} += +\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}, +\quad +\omega_{31} += +\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}, +\quad +\omega_{12} += +\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\] +bilden eine Basis für $\operatorname{so}(3)$, man kann +\[ +\Omega += +\omega_1\omega_{23} ++ +\omega_2\omega_{31} ++ +\omega_3\omega_{12} +\] +schreiben. Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. -Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist +Die Kommutatoren der Basisvektoren sind +\begin{equation} +\setlength\arraycolsep{4pt} +\begin{aligned} +[\omega_{23},\omega_{31}] +&= +\begin{pmatrix} +0&-1&0\\ +1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{12}, +%\\ +& +[\omega_{31},\omega_{12}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&-1\\ +0&1&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{23}, +%\\ +& +[\omega_{12},\omega_{23}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +0&0&0\\ +-1&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{31}, +\end{aligned} +\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} +\end{equation} +wie man durch direkte Rechnung bestätigt. +Diese Regeln stimmen mit den Vektorprodukten der Standardbasisvektoren +in $\mathbb{R}^3$ überein. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/nichtkomm.pdf} +\caption{Der Kommutator zweier Drehungen um die $x_1$ und $x_2$ +Achse ist eine Drehung um die $x_3$-Achse. +\label{buch:lie:fig:kommutator}} +\end{figure} +Abbildung~\ref{buch:lie:fig:kommutator} illustriert, wie der +Kommutator die Nichtkommutativität der Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ +wiedergibt. +Die Matrix $\omega_{23}$ erzeugt eine Drehung $R_{x_1,\alpha}$ +um die $x_1$-Achse, +die Matrix $\omega_{31}$ eine Drehung $R_{x_2,\beta}$ um die $x_2$ Achse. +Der Kommutator $[\omega_{23},\omega_{31}]=\omega_{12}$ beschreibt in +niedrigster Ordnung den Unterschied, der entsteht, wenn man die +beiden Drehungen in verschiedenen Reihenfolgen ausführt. +Dies ist eine Drehung $R_{x_3,\gamma}$ um die $x_3$-Achse. + +Aus der Rodriguez-Formel~\ref{buch:lie:eqn:rodrigues} wissen wir +bereits, dass die Ableitung der Drehung das Vektorprodukt +$\vec{\omega}\times\vec{x}$ ist. +Dieses kann jedoch auch als +$\Omega\vec{x} = \vec{omega}\times\vec{x}$ +ausgedrückt werden. + +Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $\vec{x}$ ist \[ (I+t\Omega) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\ --t\omega_3& 1 & t\omega_1\\ - t\omega_2&-t\omega_1& 1 + 1 &-t\omega_3& t\omega_2\\ + t\omega_3& 1 &-t\omega_1\\ +-t\omega_2& t\omega_1& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ -x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ -x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) +x_1+t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ +x_2+t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ +x_3+t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) \end{pmatrix} = -x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x +\vec{x}+ t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x = -x+ tx\times \omega. +\vec{x}+ t\vec{\omega}\times \vec{x}. \] Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung um die Achse $\omega$. @@ -271,9 +374,9 @@ mit Hilfe der Abbildung \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 + 0 &-v_3& v_2\\ + v_3& 0 &-v_1\\ +-v_2& v_1& 0 \end{pmatrix}. \] Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ @@ -285,56 +388,56 @@ UV-VU \\ &= \begin{pmatrix} - 0 & u_3&-u_1\\ --u_3& 0 & u_2\\ - u_1&-u_2& 0 + 0 &-u_3& u_2\\ + u_3& 0 &-u_1\\ +-u_2& u_1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 + 0 &-v_3& v_2\\ + v_3& 0 &-v_1\\ +-v_2& v_1& 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - 0 & v_3&-v_1\\ --v_3& 0 & v_2\\ - v_1&-v_2& 0 + 0 &-v_3& v_2\\ + v_3& 0 &-v_1\\ +-v_2& v_1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 0 & u_3&-u_1\\ --u_3& 0 & u_2\\ - u_1&-u_2& 0 + 0 &-u_3& u_2\\ + u_3& 0 &-u_1\\ +-u_2& u_1& 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1 - & u_1v_2 - u_2v_1 - & u_3v_2 - u_2v_3 -\\ -u_2v_1 - u_1v_2 - & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2 +-u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3 + u_2v_2 + & u_2v_1 - u_1v_2 & u_3v_1 - u_1v_3 \\ -u_2v_3 - u_3v_2 - & u_1v_3 - u_3v_1 - &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2 +u_1v_2 - u_2v_1 + & -u_3v_3-u_1v_1 + u_3v_3+u_1v_1 + & u_3v_2 - u_2v_3 +\\ +u_1v_3 - u_3v_1 + & u_2v_3 - u_3v_2 + &-u_2v_2-u_1v_1+ u_2v_2+u_1v_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 - & u_1v_2 - u_2v_1 - &-(u_2v_3-u_3v_2) + &-(u_1v_2 - u_2v_1) + &u_3v_1-u_1v_3 \\ --( u_1v_2 - u_2v_1) +u_1v_2 - u_2v_1 & 0 - & u_3v_1 - u_1v_3 + &-(u_2v_3 - u_3v_2) \\ -u_2v_3 - u_3v_2 - &-( u_3v_1 - u_1v_3) +-(u_3v_1 - u_1v_3) + & u_3v_2 - u_2v_3 & 0 -\end{pmatrix} +\end{pmatrix}. \end{align*} Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$. Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass @@ -349,10 +452,10 @@ Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist. Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird. -In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation +In der Tat verwenden einige Lehrbücher statt der vertrauten Notation $\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel -das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} +auch das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} von Landau und Lifschitz. Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt @@ -361,56 +464,6 @@ Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell: es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur möglich ist. -Die antisymmetrischen Matrizen -\[ -\omega_{23} -= -\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} -\quad -\omega_{31} -= -\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} -\quad -\omega_{12} -= -\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} -\] -haben die Kommutatoren -\begin{equation} -\begin{aligned} -[\omega_{23},\omega_{31}] -&= -\begin{pmatrix} -0&0&0\\ -0&0&1\\ -0&-1&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{12} -\\ -[\omega_{31},\omega_{12}] -&= -\begin{pmatrix} -0&1&0\\ --1&0&0\\ -0&0&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{23} -\\ -[\omega_{12},\omega_{23}] -&= -\begin{pmatrix} -0&0&-1\\ -0&0&0\\ -1&0&0 -\end{pmatrix} -= -\omega_{31} -\end{aligned} -\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} -\end{equation} - \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$} Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$. @@ -448,13 +501,16 @@ A\in M_n(\mathbb{C} AA^*=I \} \] +\index{unitäre Gruppe}% +\index{Gruppe, unitär}% +\index{U(n)@$\operatorname{U}(n)$}% heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ derart, dass $\gamma(0)=I$. Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf -\begin{align*} +\begin{equation*} 0 = \frac{d}{dt} @@ -469,14 +525,17 @@ Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf + \dot{\gamma}(0)^* \quad\Rightarrow\quad -\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*. -A&=-A^* -\end{align*} +\dot{\gamma}(0)=-\dot{\gamma}(0)^* +\quad\Rightarrow\quad +A=-A^* +\end{equation*} Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen Matrizen. +\index{u(n)@$\operatorname{u}(n)$}% Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen Matrizen wieder anithermitesch ist: +\index{antihermitesch}% \begin{align*} [A,B]^* &= @@ -489,7 +548,7 @@ BA - AB -[B,A]. \end{align*} -Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$, +Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{i\!j}=-\overline{a}_{ji}$, für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$ oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$. Der Realteil von $a_{ii}$ ist @@ -510,6 +569,7 @@ imaginär. \subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den spurlosen antihermiteschen Matrizen. +\index{su(n)@$\operatorname{su}(n)$}% Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: \[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} @@ -557,6 +617,7 @@ iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2} is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3} \end{align*} Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren +\index{Pauli-Matriizen}% \begin{align*} [\sigma_1,\sigma_2] &= @@ -623,7 +684,7 @@ Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte = -{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2 = --{\textstyle\frac12}i\sigma_2 +-{\textstyle\frac12}i\sigma_2. \end{align*} Die lineare Abbildung, die \begin{align*} @@ -631,7 +692,7 @@ Die lineare Abbildung, die \omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ \omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 \end{align*} -abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ +abbildet, ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ haben also die gleiche Lie-Algebra. |