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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex index d07db3f..3b1abc1 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex @@ -7,11 +7,41 @@ \label{buch:chapter:matrizengruppen}} \lhead{Matrizengruppen} \rhead{} +Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder +physikalischen Systemen zu beschreiben. +Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu +auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer +phyisikalischen Grösse über die Zeit. +Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können, +die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen. +Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt +werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, +sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen +zu sprechen. + +Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe, +die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus +eine sogenannte Lie-Gruppe. +Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten +Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen +Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt. +Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft, +so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften +der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen. +Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung. +Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten +Zusammenhangs darzustellen. \input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex} \input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex} \input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex} -\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex} - +%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{6002} +\uebungsaufgabe{6001} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..3ed39e5 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile @@ -0,0 +1,25 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf + +phasenraum.pdf: phasenraum.tex + pdflatex phasenraum.tex + +kartenkreis.pdf: kartenkreis.tex + pdflatex kartenkreis.tex + +torus.png: torus.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov + +karten.pdf: karten.tex torus.png + pdflatex karten.tex + +sl2.pdf: sl2.tex + pdflatex sl2.tex + +scherungen.pdf: scherungen.tex + pdflatex scherungen.tex + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..bf90a36 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..d769cca --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.pdf diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex new file mode 100644 index 0000000..c8eb4a3 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex @@ -0,0 +1,112 @@ +% +% karten.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}}; + +\def\s{3} + +\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$}; +\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$}; + +\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3); +\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$}; + +\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3); +\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$}; + +\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm] + \begin{scope} + \clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + \begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30] + \fill[color=gray!20] + (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=darkgreen] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) + -- + ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=orange] + (0,{\y*\s}) + -- + ({1*\s},{\y*\s}); + } + \end{scope} + \end{scope} + + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=blue,line width=1.4pt] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=red,line width=1.4pt] + (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s}); + } + + \draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}]; + \draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}]; + + \node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$}; + +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm] + \begin{scope} + \clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + % x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196 + % y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = + \begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30] + \fill[color=gray!20] + (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s}); + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=blue] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) + -- + ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=red] + (0,{\y*\s}) + -- + ({1*\s},{\y*\s}); + } + \end{scope} + \end{scope} + + \foreach \x in {0,0.2,...,1}{ + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] + ({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s}); + } + \foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{ + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s}); + } + \draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}]; + \draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}]; + \node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$}; +\end{scope} + +\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5); +\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5); + +\node at (0,-5.9) + {$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4619b56 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex new file mode 100644 index 0000000..4f19937 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex @@ -0,0 +1,189 @@ +% +% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{3} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1); +\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1); +\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] (-1,0) rectangle (1,1.5); +\fill[color=orange!40,opacity=0.5] (-1,-1.5) rectangle (1,0); +\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1]; + +\fill[color=gray!20] + (0,-1.5) -- (0.02,-1.6) -- (0.5,-1.8) -- (0.98,-1.6) -- (1,-1.5) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (0,-1.5) -- (-0.02,-1.6) -- (-0.5,-1.8) -- (-0.98,-1.6) -- (-1,-1.5) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5) + -- cycle; + +\fill[color=gray!20] + (1.5,0) -- (1.6,0.02) -- (1.8,0.5) -- (1.6,0.98) -- (1.5,1) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (-1.5,0) -- (-1.6,0.02) -- (-1.8,0.5) -- (-1.6,0.98) -- (-1.5,1) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1) + -- cycle; +\fill[color=gray!20] + (-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1) + -- cycle; + +\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1); +\draw[->] (1.8,0.5) arc (-90:0:0.1) arc (0:90:1.3) arc (90:180:0.1); +\draw[->] (-0.5,1.8) arc (0:90:0.1) arc (90:180:1.3) arc (180:270:0.1); +\draw[->] (-1.8,-0.5) arc (90:180:0.1) arc (180:270:1.3) arc (270:360:0.1); + +\node at (1.01,1.32) + [right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$}; +\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$}; + +\node at (1.01,-1.28) + [right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$}; +\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$}; + +\node at (-1.24,1.32) + [left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$}; +\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$}; + +\node at (-1.18,-1.28) + [left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$}; +\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$}; + + +\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{ + \draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y); + \draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y); + \draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y); + \draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y); +} +\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{ + \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5); + \draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5); + \draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5); + \draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] + ({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5); +} + +%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1]; +\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1]; +\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$}; + +\def\r{1.02} + +\begin{scope} + \clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02]; + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\begin{scope} + \clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02]; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\xdef\r{0.98} + +\begin{scope} + \clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02]; + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\begin{scope} + \clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (181:\r) arc (181:359:\r); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02]; + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02]; +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=1.5cm] + \draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0) + circle[radius=0.02]; + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0) + circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=-1.5cm] + \draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0); + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02]; + \draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=1.5cm] + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98); + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02]; + \draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-1.5cm] + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}]; + \begin{scope} + \clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98); + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02]; + \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02]; + \end{scope} +\end{scope} + +\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$}; +\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$}; + +\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$}; +\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$}; + +\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$}; +\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$}; + +\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$}; +\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$}; + +\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}]; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..adfb0c6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex new file mode 100644 index 0000000..2bccc27 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +% +% phasenraum.tex -- +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\m{1} +\def\K{0.444} + +\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)} +\xdef\o{\pgfmathresult} + +\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) } + +\foreach \r in {0.5,1,...,6}{ + \draw plot[domain=0:359,samples=360] + ({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle; +} + +\def\tangente#1#2{ + \pgfmathparse{#2/\m} + \xdef\u{\pgfmathresult} + + \pgfmathparse{-#1*\K} + \xdef\v{\pgfmathresult} + + \pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)} + \xdef\l{\pgfmathresult} + + \fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03]; + \draw[color=blue,line width=0.5pt] + ({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l}) + -- + ({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l}); +} + +\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{ + \foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{ + \tangente{\x}{\y} + } +} + +%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{ +% \tangente{\x}{0} +% \tangente{-\x}{0} +% \foreach \y in {0.5,1,...,4}{ +% \tangente{\x}{\y} +% \tangente{-\x}{\y} +% \tangente{\x}{-\y} +% \tangente{-\x}{-\y} +% } +%} +%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{ +% \tangente{0}{\y} +% \tangente{0}{-\y} +%} + +\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8}; +\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9}; + +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] + plot[domain=0:60,samples=360] + ({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)}); + +\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}]; + +\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right] + {$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$}; + +\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08]; +\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right] + {$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$}; + +\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05]; +\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$}; +\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05]; +\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c7f4988 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex new file mode 100644 index 0000000..893bd12 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex @@ -0,0 +1,157 @@ +% +% scherungen.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1} +\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0} +\def\s{1.1} + +\begin{scope}[xshift=-4.6cm] + + \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2); + \fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2) + -- cycle; + + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3); + \draw[color=blau] (-1,\x) -- (3,\x); + } + + \begin{scope} + \clip (-1,-1) rectangle (3,3); + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3); + \draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s}); + } + \end{scope} + + \draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}]; + + \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$}; + \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$}; + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2); + + \node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$}; + + \node at (0,0) [below right] {$O$}; + \node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle + \begin{aligned} + M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix} + \\ + e^{Mt} + &= + \begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\begin{scope} + \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2); + \fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2) + -- cycle; + + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3); + \draw[color=blau] (-1,\x) -- (3,\x); + } + + \begin{scope} + \clip (-1,-1) rectangle (3,3); + \foreach \x in {-1,...,3}{ + \draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x); + \draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3); + } + \end{scope} + + \draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}]; + + \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$}; + \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$}; + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2); + + \node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$}; + + \node at (0,0) [below right] {$O$}; + + \node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle + \begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix} + \\ + e^{Nt} + &= + \begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm] + \def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})} + \fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2); + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + (0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle; + + \foreach \x in {0,...,4}{ + \draw[color=blau] (\x,-1) -- (\x,3); + } + \foreach \y in {-1,...,3}{ + \draw[color=blau] (0,\y) -- (4,\y); + } + + \begin{scope} + \clip (-0,-1) rectangle (4,3); + \foreach \x in {-1,...,6}{ + \draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6}; + \draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x}; + } + \end{scope} + + \draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}]; + + \node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$}; + \node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$}; + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0}; + \draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2}; + + \node at (0,0) [below right] {$O$}; + + \node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle + \begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix} + \\ + e^{D\cdot 1} + &= + \begin{pmatrix} + 1.6005 & 0.4114\\ + -0.2057 & 0.5719 + \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..ffc0759 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex new file mode 100644 index 0000000..0e44aa9 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex @@ -0,0 +1,146 @@ +% +% sl2.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\begin{scope}[xshift=-4.5cm] + \fill[color=blue!20] + (1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle; + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + (1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle; + + \begin{scope} + \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] + ({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)}); + \end{scope} + + \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1); + \node at (0,-3.2) + {$\displaystyle + \begin{aligned} + A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} + \\ + e^{At} + &=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; + +\end{scope} + + +\begin{scope} + \fill[color=blue!20] + (0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle; + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + (33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle; + + \draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4]; + + \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4); + \draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4); + + \node at (0,-3.2) + {$\displaystyle + \begin{aligned} + B + &=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix} + \\ + e^{Bt} + &= + \begin{pmatrix} + \cos t&-\sin t\\ + \sin t& \cos t + \end{pmatrix} + \end{aligned}$}; +\end{scope} + + +\begin{scope}[xshift=4.5cm] + \fill[color=blue!20] + (0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle; + \def\x{0.5} + \fill[color=red!40,opacity=0.5] + ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x}) + -- + ({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)}) + -- + ({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x}) + -- + ({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)}) + -- cycle; + + \begin{scope} + \clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)}); + \draw[color=darkgreen] + plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)}); + \end{scope} + + \draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}]; + + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0); + \draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4); + + \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)}); + \draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)}); + + \node at (0,-3.2) {$\displaystyle + \begin{aligned} + C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} + \\ + e^{Ct} + &= + \begin{pmatrix} + \cosh t&\sinh t\\ + \sinh t&\cosh t + \end{pmatrix} + \end{aligned} + $}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.png b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..c42440f --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.png diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov new file mode 100644 index 0000000..3a8e327 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov @@ -0,0 +1,189 @@ +// +// diffusion.pov +// +// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.034; +#declare N = 100; +#declare r = 0.43; +#declare R = 1; + +camera { + location <43, 25, -20> + look_at <0, -0.01, 0> + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + <10, 20, -40> color White + area_light <1,0,0> <0,0,1>, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color rgb<1,1,1> + } +} + +#macro rotiere(phi, vv) + < cos(phi) * vv.x - sin(phi) * vv.z, vv.y, sin(phi) * vv.x + cos(phi) * vv.z > +#end + +#macro punkt(phi,theta) + rotiere(phi, < R + r * cos(theta), r * sin(theta), 0 >) +#end + +mesh { + #declare phistep = 2 * pi / N; + #declare thetastep = 2 * 2 * pi / N; + #declare phi = 0; + #while (phi < 2 * pi - phistep/2) + #declare theta = 0; + #while (theta < 2 * pi - thetastep/2) + triangle { + punkt(phi , theta ), + punkt(phi + phistep, theta ), + punkt(phi + phistep, theta + thetastep) + } + triangle { + punkt(phi , theta ), + punkt(phi + phistep, theta + thetastep), + punkt(phi , theta + thetastep) + } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color Gray + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +#declare thetastart = -0.2; +#declare thetaend = 1.2; +#declare phistart = 5; +#declare phiend = 6; + +union { + #declare thetastep = 0.2; + #declare theta = thetastart; + #while (theta < thetaend + thetastep/2) + #declare phistep = (phiend-phistart)/N; + #declare phi = phistart; + #while (phi < phiend - phistep/2) + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + cylinder { + punkt(phi,theta), + punkt(phi+phistep,theta), + 0.01 + } + #declare phi = phi + phistep; + #end + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + + pigment { + color Red + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +union { + #declare phistep = 0.2; + #declare phi = phistart; + #while (phi < phiend + phistep/2) + #declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N; + #declare theta = thetastart; + #while (theta < thetaend - thetastep/2) + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + cylinder { + punkt(phi,theta), + punkt(phi,theta+thetastep), + 0.01 + } + #declare theta = theta + thetastep; + #end + sphere { punkt(phi,theta), 0.01 } + #declare phi = phi + phistep; + #end + pigment { + color Blue + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} + +#macro punkt2(a,b) + punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2) +#end + +#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>; + +#declare astart = 0; +#declare aend = 1; +#declare bstart = -0.2; +#declare bend = 1.2; +union { + #declare a = astart; + #declare astep = 0.2; + #while (a < aend + astep/2) + #declare b = bstart; + #declare bstep = (bend - bstart)/N; + #while (b < bend - bstep/2) + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 } + #declare b = b + bstep; + #end + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + #declare a = a + astep; + #end + pigment { + color darkgreen + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} +union { + #declare b = bstart; + #declare bstep = 0.2; + #while (b < bend + bstep/2) + #declare a = astart; + #declare astep = (aend - astart)/N; + #while (a < aend - astep/2) + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a+astep,b), 0.01 } + #declare a = a + astep; + #end + sphere { punkt2(a,b), 0.01 } + #declare b = b + bstep; + #end + pigment { + color Orange + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex index 69d4b1d..cee8510 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex @@ -6,3 +6,642 @@ \section{Lie-Algebren \label{buch:section:lie-algebren}} \rhead{Lie-Algebren} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen +Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen +Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können. +Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer +Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer +Mannigfaltigkeit. +Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen. + +Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven +innerhalb der Gruppe angesehen werden. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen +Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass +der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann. +Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren +erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren, +die sogenannte Lie-Algebra. +Sie ist charakteristisch für die Gruppe. +Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ +und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die +Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$ +übereinstimmt. + +% +% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe +% +\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe +\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}} +Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es +eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion +$e^{At}$ konstruiert werden kann. +Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein +Tangentialvektor ist. +Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren, +dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen +$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert. + +\subsubsection{Lie-Klammer} +Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und +$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen +$e^{At}$ und $e^{Bt}$. +Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen +$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen +$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein. +Die zugehörigen Potenzreihen sind: +\begin{align*} +e^{At} +&= +I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots +\\ +e^{Bt} +&= +I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots +\\ +e^{At}e^{Bt} +&= +\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\\ +&= +I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots +\\ +e^{Bt}e^{At} +&= +\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr) +\\ +&= +I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots +\intertext{% +Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen +Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden +sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der +Einparameteruntergruppe von $A+B$} +e^{(A+B)t} +&= +I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots +\intertext{Für die Unterschiede finden wir} +e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t} +&= +\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 ++\ldots += +(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots += +[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots +\\ +e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t} +&= +\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2 ++\ldots += +(BA-AB) +\frac{t^2}{2} ++\ldots += +-[A,B]\frac{t^2}{2} +\\ +e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At} +&= +(AB-BA)t^2+\ldots += +\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots +\end{align*} +wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird. + +\begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:kommutator} +Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix +$[A,B]=AB-BA$. +\end{definition} + +Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da +\begin{align*} +[\lambda A+\mu B,C] +&= +\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB += +\lambda[A,C]+\mu[B,C] +\\ +[A,\lambda B+\mu C] +&= +\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA += +\lambda[A,B]+\mu[A,C] +\\ +[A,B] +&= +AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A]. +\end{align*} +Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$ + +Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied +zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$. +Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die +Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab. + + +\subsubsection{Die Jacobi-Identität} +Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft: +\begin{align*} +[A,[B,C]] ++ +[B,[C,A]] ++ +[C,[A,B]] +&= +[A,BC-CB] ++ +[B,CA-AC] ++ +[C,AB-BA] +\\ +&=\phantom{+} +ABC-ACB-BCA+CBA +\\ +&\phantom{=}+ +BCA-BAC-CAB+ACB +\\ +&\phantom{=}+ +CAB-CBA-ABC+BAC +\\ +&=0. +\end{align*} +Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel +bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen +betrachten kann. +Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder +$X$ und $Y$ definieren. +Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche +Identität. + +\begin{definition} +\label{buch:gruppen:def:jacobi} +Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum +erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn +\[ +[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0 +\] +ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$. +\end{definition} + +\subsubsection{Lie-Algebra} +Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator +eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra. + +\begin{definition} +Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt +\[ +[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v], +\] +welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi} +erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}. +\end{definition} + +Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet. +$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$. +Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$ +ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$. +Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine +Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden. + +Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden +sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der +Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist. +Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also +$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$, +die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist +$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$. + + +% +% Die Lie-Algebra von SO(3) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ +\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}} +Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra +$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen. +Solche Matrizen haben die Form +\[ +\Omega += +\begin{pmatrix} + 0 & \omega_3&-\omega_2\\ +-\omega_3& 0 & \omega_1\\ + \omega_2&-\omega_1& 0 +\end{pmatrix} +\] +Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional. + +Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist +\[ +(I+t\Omega) +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 1 & t\omega_3&-t\omega_2\\ +-t\omega_3& 1 & t\omega_1\\ + t\omega_2&-t\omega_1& 1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\ +x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\ +x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2) +\end{pmatrix} += +x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x += +x+ tx\times \omega. +\] +Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung +um die Achse $\omega$. + +Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und +Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor +in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$ +mit Hilfe der Abbildung +\[ +\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3) +: +\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix}. +\] +Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ +konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist: +\begin{align*} +[U,V] +&= +UV-VU +\\ +&= +\begin{pmatrix} + 0 & u_3&-u_1\\ +-u_3& 0 & u_2\\ + u_1&-u_2& 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} + 0 & v_3&-v_1\\ +-v_3& 0 & v_2\\ + v_1&-v_2& 0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + 0 & u_3&-u_1\\ +-u_3& 0 & u_2\\ + u_1&-u_2& 0 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1 + & u_1v_2 - u_2v_1 + & u_3v_2 - u_2v_3 +\\ +u_2v_1 - u_1v_2 + & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2 + & u_3v_1 - u_1v_3 +\\ +u_2v_3 - u_3v_2 + & u_1v_3 - u_3v_1 + &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +0 + & u_1v_2 - u_2v_1 + &-(u_2v_3-u_3v_2) +\\ +-( u_1v_2 - u_2v_1) + & 0 + & u_3v_1 - u_1v_3 +\\ +u_2v_3 - u_3v_2 + &-( u_3v_1 - u_1v_3) + & 0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$. +Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass +\[ +\vec u\times(\vec v\times w) ++ +\vec v\times(\vec w\times u) ++ +\vec w\times(\vec u\times v) +=0 +\] +für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist. +Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$ +mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird. +In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation +$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der +Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel +das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1} +von Landau und Lifschitz. + +Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt +keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren. +Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell: +es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur +möglich ist. + +Die antisymmetrischen Matrizen +\[ +\omega_{23} += +\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\quad +\omega_{31} += +\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} +\quad +\omega_{12} += +\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} +\] +haben die Kommutatoren +\begin{equation} +\begin{aligned} +[\omega_{23},\omega_{31}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&-1&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{12} +\\ +[\omega_{31},\omega_{12}] +&= +\begin{pmatrix} +0&1&0\\ +-1&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{23} +\\ +[\omega_{12},\omega_{23}] +&= +\begin{pmatrix} +0&0&-1\\ +0&0&0\\ +1&0&0 +\end{pmatrix} += +\omega_{31} +\end{aligned} +\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren} +\end{equation} + +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$} +Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den +spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$. +Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt +\[ +\operatorname{Spur}([A,B]) += +\operatorname{Spur}(AB-BA) += +\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA) += +0, +\] +somit ist +\[ +\operatorname{sl}_n(\mathbb{R}) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0 +\} +\] +mit dem Kommutator eine Lie-Algebra. + +% +% Die Lie-Algebra von U(n) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$} +Die Lie-Gruppe +\[ +U(n) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{C} +\;|\; +AA^*=I +\} +\] +heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die +das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen +Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen. +Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$ +derart, dass $\gamma(0)=I$. +Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf +\begin{align*} +0 += +\frac{d}{dt} +\gamma(t)\gamma(t)^* +\bigg|_{t=0} += +\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^* ++ +\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^* += +\dot{\gamma}(0) ++ +\dot{\gamma}(0)^* +\quad\Rightarrow\quad +\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*. +A&=-A^* +\end{align*} +Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen +Matrizen. + +Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen +Matrizen wieder anithermitesch ist: +\begin{align*} +[A,B]^* +&= +(AB-BA)^* += +B^*A^*-A^*B^* += +BA - AB += +-[B,A]. +\end{align*} + +Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$, +für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$ +oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$. +Der Realteil von $a_{ii}$ ist +\[ +\Re a_{ii} += +\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2 += +0, +\] +die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein +imaginär. + + +% +% Die Lie-Algebra SU(2) +% +\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$} +Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den +spurlosen antihermiteschen Matrizen. +Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen: +\[ +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\qquad +\text{mit} +\qquad +\left\{ +\begin{aligned} +a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d +\\ +b^*&=-c +\end{aligned} +\right. +\] +Damit hat $A$ die Form +\begin{align*} +A=\begin{pmatrix} +is&u+iv\\ +-u+iv&-is +\end{pmatrix} +&= +s +\begin{pmatrix} +i&0\\ +0&-i +\end{pmatrix} ++ +u +\begin{pmatrix} + 0&1\\ +-1&0 +\end{pmatrix} ++ +v +\begin{pmatrix} +0&i\\ +i&0 +\end{pmatrix} +\\ +&= +iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1} ++ +iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2} ++ +is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3} +\end{align*} +Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren +\begin{align*} +[\sigma_1,\sigma_2] +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} += +2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix} += +2i\sigma_3, +\\ +[\sigma_2,\sigma_3] +&= +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} += +2 +\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix} += +2i\sigma_1. +\\ +[\sigma_1,\sigma_3] +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} += +2i +\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} += +2i\sigma_2, +\end{align*} +Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten +der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$ +in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}. +Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte +\begin{align*} +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\\ +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_1 +\\ +\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr] +&= +-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1] += +-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2 += +-{\textstyle\frac12}i\sigma_2 +\end{align*} +Die lineare Abbildung, die +\begin{align*} +\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\ +\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\ +\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3 +\end{align*} +abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$ +auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$. +Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$ +haben also die gleiche Lie-Algebra. + +Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$ +als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der +Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden. +Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt. + + + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex index cb1ca84..e92c254 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex @@ -6,3 +6,876 @@ \section{Lie-Gruppen \label{buch:section:lie-gruppen}} \rhead{Lie-Gruppen} +Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich +durch zusätzliche Eigenschaften aus. +Die Gruppe +\[ +\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) += +\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\} +\] +besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist. +Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge +in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$, +sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit. +Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem +Abschnitt genauer untersucht werden sollen. + +\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen +\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}} +Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit, +wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements +zu finden. +Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes +andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt. +Sei also $\varphi_e\colon U_e \to \mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung +$U_e\subset G$ von $e\in G$. +Für $g\in G$ ist dann die Abbildung +\[ +\varphi_g +\colon +U_g += +gU_e +\to +\mathbb{R} +: +h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h) +\] +eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$. +schreibt man $l_{g}$ für die Abbildung $h\mapsto gh$, dann +kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$ +schreiben. + +\subsubsection{Kartenwechsel} +Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$ +und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung +\[ +\varphi_{g_1,g_2} += +\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1} += +\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1} +\] +mit der Ableitung +\[ +D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1} += +D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}. +\] +Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit +einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel +nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation +$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist. +Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt, +die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten. + +Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine +Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen +reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen +Elementes parametrisieren kann. +Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich. +Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit +ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden, +wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare +Abbildung ist. +Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition. + +\begin{definition} +\index{Lie-Gruppe}% +Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen +\begin{align*} +G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2 +\\ +G\to G &: g \mapsto g^{-1} +\end{align*} +differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind. +\end{definition} + +Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die +Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie +jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer +Matrizengruppe verstehen lässt. +Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse +Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen +zu entwickeln. + +\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung} +Die Matrizengruppen sind alle in der +$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +enthalten. +Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in +$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können. +Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der +Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch +\[ +\frac{d}{dt} +\gamma(t) += +\begin{pmatrix} +\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\ +\vdots &\ddots&\vdots \\ +\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t) +\end{pmatrix} +\] +gegeben. + +Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten +einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen. +Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt, +transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in +Tangentialvektoren im Punkt $g$. + +\begin{aufgabe} +Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit +$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ +für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert +durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$? +\end{aufgabe} + +Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung +\begin{equation} +\frac{d}{dt}\gamma(t) += +\gamma(t)\cdot A +\label{buch:gruppen:eqn:expdgl} +\end{equation} +erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor +in $e=I$ ist. + +Die Matrixexponentialfunktion +\[ +e^{At} += +1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots +\] +liefert eine Einparametergruppe +$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung +\[ +\frac{d}{dt} e^{At} += +\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h} += +\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h} += +e^{At} A. +\] +Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}. + +\subsection{Drehungen in der Ebene +\label{buch:gruppen:drehungen2d}} +Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien +des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis} +als Mannigfaltigkeit erkannt wurde. +Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix +beschrieben werden kann. + +\subsubsection{Die Untergruppe +$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$} +Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch +Matrizen der Form +\[ +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden. +Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit +$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. +Die Abbildung +\[ +D_{\bullet} +\colon +\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2) +: +\alpha \mapsto D_{\alpha} +\] +hat die Eigenschaften +\begin{align*} +D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta} +\\ +D_0&=I +\\ +D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}. +\end{align*} +Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische +Funktion ist. +$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf +die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab. + +Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge +$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar, +die Umkehrung kann als Karte verwendet werden. +Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und +$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$ +in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die +$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt. +Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$ +mit $k\in \mathbb{Z}$. +In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein. +Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen +von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung. +Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen. + +\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$} +Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen +Ebene $\mathbb{C}$ erhalten. +Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine +Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$. +Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung +\[ +f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha} +\] +hat die Eigenschaften +\begin{align*} +f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta) +\\ +f(0)&=1 +\\ +f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z}, +\end{align*} +die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ +analog sind. + +Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form +$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des +Einheitskreises in der Ebene. +Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom +Betrag $1$. +$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl +$z,w\in S^1$ gilt +$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$. + +Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache +von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$. +Damit kann man jetzt die Abbildung +\[ +\varphi +\colon +S^1\to \operatorname{SO}(2) +: +z\mapsto D_{\alpha(z)} +\] +konstruieren. +Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache +von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche +Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher +wohldefiniert. +$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen +\begin{align*} +\varphi(z_1z_2) +&= +D_{\alpha(z_1z_2)} += +D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)} += +D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)} += +\varphi(z_1)\varphi(z_2) +\\ +\varphi(1) +&= +D_{\alpha(1)} += +D_0 += +I +\end{align*} +Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$ +in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$. +Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis +in der komplexen Ebene identifiziert werden. + +\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$} +Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe +ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$ +mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden. +Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist +\begin{align*} +\frac{d}{dt} \gamma(t) +&= +\frac{d}{d\alpha} +\begin{pmatrix} +\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\ +\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t) +\end{pmatrix} +\cdot +\frac{d\alpha}{dt} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\ + \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t) +\end{pmatrix} +\cdot +\dot{\alpha}(t) +\\ +&= +\begin{pmatrix} +\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\ +\sin\alpha(t) & \cos\alpha(t) +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +1&0 +\end{pmatrix} +\cdot +\dot{\alpha}(t) += +D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t). +\end{align*} +Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$ +entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung +mit $\dot{\alpha}(t)$. + +% +% Isometrien von R^n +% +\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$ +\label{buch:gruppen:isometrien}} + +\subsubsection{Skalarprodukt} +Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch +$n\times n$-Matrizen beschrieben werden. +Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten, +bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll. +Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn +für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt +$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$. +Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden: +\[ +\langle Ax,Ay\rangle += +(Ax)^tAy += +x^tA^tAy += +x^ty += +\langle x,y\rangle +\] +für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$. + +Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix +einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen. +Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion +des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$. +Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$. +Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente +$a_{ij}=e_i^tAe_j$. + +\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$} +Die Matrixelemente von $A^tA$ sind +$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$ +sind diejenigen der Einheitsmatrix, +die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$. +Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen. +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht +daher aus den Matrizen +\[ +\operatorname{O}(n) += +\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}. +\] +Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen, +die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen +Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen. +Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher +die Dimension +\[ +n^2 - \frac{n(n+1)}{2} += +\frac{2n^2-n^2-n}{2} += +\frac{n(n-1)}2. +\] +Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional. + +\subsubsection{Tangentialvektoren} +Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit +von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ +kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein. +Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage +kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$ +von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$. +Orthogonal bedeutet +\[ +\begin{aligned} +&& +0 +&= +\frac{d}{dt}I += +\frac{d}{dt} +(\gamma(t)^t\gamma(t)) += +\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t)) ++ +\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t)) +\\ +&\Rightarrow& +0 +&= +\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)} += +\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0) += +A^t+A=0 +\\ +&\Rightarrow& +A^t&=-A +\end{aligned} +\] +Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau +die antisymmetrischen Matrizen. + +Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix +$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d} +gezeigt wurde. + +Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen +$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$ +antisymmetrisch. +Für $n=2$ ist $A_{12}=J$. +Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des +$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$. + +Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$ +haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist. +Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch, +zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$. + +\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$} +Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die +die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen. +Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante +einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein. +Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$. + +Die Gruppe +\[ +\operatorname{SO}(n) += +\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\} +\] +heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}. +Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$. + +\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$} +Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen +Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$. +Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den +Drehwinkel. +Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt +auf der zweidimensionalen Kugel. +Der Drehwinkel ist der dritte Parameter. + +Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden +aus den Matrizen +\begin{align*} +D_{x,\alpha} +&= +\begin{pmatrix} +1&0&0\\ +0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +0&\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix}, +& +D_{y,\beta} +&= +\begin{pmatrix} + \cos\beta&0&\sin\beta\\ + 0 &1& 0 \\ +-\sin\beta&0&\cos\beta +\end{pmatrix}, +& +D_{z,\gamma} +&= +\begin{pmatrix} +\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ +\sin\gamma& \cos\gamma&0\\ + 0 & 0 &1 +\end{pmatrix} +\\ +&= +e^{A_{23}t} +& +&= +e^{-A_{13}t} +& +&= +e^{A_{21}t} +\end{align*} +die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$ +beschreiben. +Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die +drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$ +angesehen werden. + +% +% Spezielle lineare Gruppe +% +\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und +die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +\label{buch:gruppen:sl}} +Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die +Orientierung, also auch das Volumen. +Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel +nicht notwendigerweise erhalten. +Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten, +haben die Determinante $\det A=1$. +Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit +Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe. + +\begin{definition} +Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe +\[ +\operatorname{SL}_n(\mathbb{R}) += +\{ +A\in M_n(\mathbb{R}) +\;|\; +\det (A) = 1 +\} +\] +sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}. +\end{definition} + +Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +bestimmen. +Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ +mit $A(0)=I$. +Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung +\[ +\frac{d}{dt} \det A(t) = 0 +\quad\text{an der Stelle $t=0$.} +\] +Für $n=2$ ist +\begin{align*} +A(t) +&= +\begin{pmatrix} +a(t)&b(t)\\ +c(t)&d(t) +\end{pmatrix} +\in +\operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) +&&\Rightarrow& +\frac{d}{dt} +\det A(t)\bigg|_{t=0} +&= +\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0) +- +\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0) +\\ +&&&& +&= +\dot{a}(0) + \dot{d}(0) +\\ +&&&& +&= +\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}. +\end{align*} +Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige +$n\times n$-Matrizen. + +\begin{satz} +Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$ +mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist +\[ +\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t). +\] +Die Ableitung nach $t$ ist +\[ +\frac{d}{dt} \det A(t) += +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t). ++ +\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t). +\] +An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$ +eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten +Summe ist daher der erste. +In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$ +jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$ +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \det A(t) += +\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t). ++ +\frac{d}{dt}\det A_{11}(t) += +\dot{a}_{11}(0) ++ +\frac{d}{dt}\det A_{11}(t). +\label{buch:gruppen:eqn:detspur} +\end{equation} +Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit +vollständiger Induktion verwendet werden. + +Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$ +genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$ +ist. +Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix +$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante +\[ +\frac{d}{dt}\tilde{A}(0) += +\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0) +\] +ist, folgt jetzt mit +\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass +\[ +\frac{d}{dt}A(0) += +\dot{a}_{11}(0) ++ +\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0} += +\dot{a}_{11}(0) ++ +\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0) += +\operatorname{Spur}\dot{A}(0). +\] +Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$. +\end{proof} + +\begin{beispiel} +Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind +die spurlosen Matrizen +\[ +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} +\quad\Rightarrow\quad +\operatorname{Spur}A=a+d=0 +\quad\Rightarrow\quad +A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}. +\] +Der Tangentialraum ist also dreidimensional. +Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden: +\begin{align*} +A +&= +\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +&&\Rightarrow& +e^{At} +&= +\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} +\\ +B +&= +\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} +&&\Rightarrow& +e^{Bt} +&= +\begin{pmatrix} +\cos t & -\sin t\\ +\sin t & \cos t +\end{pmatrix} +\\ +C +&= +\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +&&\Rightarrow& +e^{Ct} +&= +I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots +\\ +&&&& +&= +I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr) ++ +C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr) +\\ +&&&& +&= +I\cosh t + C \sinh t += +\begin{pmatrix} +\cosh t & \sinh t\\ +\sinh t & \cosh t +\end{pmatrix}, +\end{align*} +wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde, +dass $C^2=I$. + +Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und +Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt. +Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und +damit erst recht den Flächeninhalt erhalten. +Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als +Eigenvektoren: +\begin{align*} +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} +&\mapsto +e^{Ct} +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} += +(\cosh t +\sinh t) +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} += +\biggl( +\frac{e^t+e^{-t}}2 ++ +\frac{e^t-e^{-t}}2 +\biggr) +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} += +e^t +\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} +\\ +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} +&\mapsto +e^{Ct} +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} += +(\cosh t -\sinh t) +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} += +\biggl( +\frac{e^t+e^{-t}}2 +- +\frac{e^t-e^{-t}}2 +\biggr) +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} += +e^{-t} +\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} +\end{align*} +Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und +die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$. +Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation, +auch diese Matrizen sind flächenerhaltend. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf} +\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen +für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden +linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$. +In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den +Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu +zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten. +In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen +der Bilder der Standardbasisvektoren dar. +\label{buch:gruppen:fig:sl2}} +\end{figure}% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf} +\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung +Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen, +die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen. +\label{buch:gruppen:fig:scherungen}} +\end{figure} +\end{beispiel} + +% +% Die Gruppe SU(2) +% +\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$ +\label{buch:gruppen:su2}} +Die Menge der Matrizen +\[ +\operatorname{SU}(2) += +\left\{ +\left. +A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix} +\;\right|\; +a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I +\right\} +\] +heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}. +Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist +$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$. +Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte +von $a$ und $b$ weiter ein. +Aus +\[ +A^* += +\begin{pmatrix} +\overline{a}&\overline{c}\\ +\overline{b}&\overline{d} +\end{pmatrix} +\] +und den Bedingungen führen die Gleichungen +\[ +\begin{aligned} +a\overline{a}+b\overline{b}&=1 +&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1 +\\ +a\overline{c}+b\overline{d}&=0 +&&\Rightarrow& +\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}} +\\ +c\overline{a}+d\overline{b}&=0 +&&\Rightarrow& +\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}} +\\ +c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1 +\\ +ad-bc&=1 +\end{aligned} +\] +Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$ +gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$. +Damit wird die Bedingung an die Determinante zu +\[ +1 += +ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b}) += +t(|a|^2+|b|^2) += +t, +\] +also muss die Matrix $A$ die Form haben +\[ +A += +\begin{pmatrix} +a&b\\ +-\overline{b}&\overline{a} +\end{pmatrix} +\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1. +\] +Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$, +dann besteht $SU(2)$ aus den Matrizen der Form +\[ +A= +\begin{pmatrix} + a_1+ia_2&b_1+ib_2\\ +-b_1+ib_2&a_1-ia_2 +\end{pmatrix} +\] +mit der zusätzlichen Bedingung +\[ +|a|^2+|b|^2 += +a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1. +\] +Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer +eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$ +eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$. +Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen +Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist. + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex index 8d5c0e0..7364c85 100644 --- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex +++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex @@ -7,4 +7,719 @@ \section{Symmetrien \label{buch:section:symmetrien}} \rhead{Symmetrien} +Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines +geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst +abgebildet wird. +Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass} +bedeutet. +Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus, +dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen +der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch +Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des +Begriffs verständlich macht. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg} +\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen +Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut. +Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes +ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken +in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt. +\label{buch:lie:bild:castlehoward}} +\end{figure} +In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte +Bedeutung gegeben. +Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht +verändert, wird als Symmetrie bezeichnet. +Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den +den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt, +eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des +Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist +eine Symmetrie des Systems. + +Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat. +Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon +ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden. +Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die +durch Matrizen beschrieben weren. +Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine +Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der +invertierbaren Matrizen. +Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen, +denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen. +Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine +zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit. +Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit} +eingeführt. +Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der +Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen, +die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind. + +Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare +Mannigfaltigkeit ist. +Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren +ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht +und verstanden werden können. +Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu +schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren} +durchgeführt werden soll. + +\subsection{Algebraische Symmetrien +\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}} +Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem +oder in einem physikalischen System beschreiben. +Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die +Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene, +wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen +\[ +\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x +\qquad\text{oder}\qquad +\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : +\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} +\] +dargestellt werden. +Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit +das Skalarprodukt erhalten sind. +Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen +zu unterscheiden. +Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle +Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden. +Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die +Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und +ihre Normale erhalten. +Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen +auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen. + +Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der +ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir +sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind. +Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$ +u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden, +ebenfalls Symmetrien. +Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle +$n\in\mathbb{Z}$. +Wir erhalten so eine Abbildung +$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$ +mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und +$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$. +$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}. + +\subsection{Kontinuierliche Symmetrien +\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}} +Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien. +Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter +abhängen. +Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den +Winkel $\alpha$ durch Matrizen +\[ +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +beschrieben werden. +Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant. +Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant +unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant. +Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter +allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um +den Nullpunkt. + +\begin{definition} +Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ +von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe +heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +\end{definition} + +Die Abbildung +\[ +\varphi +\colon +\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) +: +\alpha \mapsto +D_{\alpha} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha&-\sin\alpha\\ +\sin\alpha& \cos\alpha +\end{pmatrix} +\] +ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$. + +\subsubsection{Der harmonische Oszillator} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf} +\caption{Die Lösungen der +Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$. +\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}} +\end{figure} +Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$ +schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung +\[ +m\frac{d^2}{dt^2} x(t) = -Kx(t). +\] +Die Kreisfrequenz der Schwingung ist +\[ +\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}. +\] +Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den +Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden. +Die zweidimensionale Differentialgleichung ist +\begin{equation} +\left. +\begin{aligned} +\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\ +\dot{p}(t) &= -Kx(t) +\end{aligned} +\quad +\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{d}{dt} +\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&\frac{1}{m}\\ +-K&0 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}. +\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +\end{equation} +Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und +$p(0)=0$ ist +\[ +x(t) += +\cos \omega t +\qquad\Rightarrow\qquad +p(t) += +-\omega \sin\omega t, +\] +die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist +\[ +x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t, +\qquad +p(t) = \cos \omega t. +\] +In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$ +und $p(0)=p_0$ +\begin{equation} +\begin{pmatrix} +x(t)\\ +p(t) +\end{pmatrix} += +\underbrace{ +\begin{pmatrix} + \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\ +-\omega \sin\omega t & \cos\omega t +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle =\Phi_t} +\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix} +\label{buch:gruppen:eqn:phi} +\end{equation} +schreiben. +Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von +$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da +\begin{align*} +\Phi_s\Phi_t +&= +\begin{pmatrix} + \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\ +-\omega \sin\omega s & \cos\omega s +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} + \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\ +-\omega \sin\omega t & \cos\omega t +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t +& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t) +\\ +-\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t ) +& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} + \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\ +-\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t) +\end{pmatrix} += +\Phi_{s+t} +\end{align*} +gilt. +Die Lösungen der +Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum} +Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie +des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator +beschreibt. + +\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung} +Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils +Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +Der Grund dafür ist, dass die +Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl} +linear ist. +Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$ +die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch +Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also +aus der Formel +\[ +\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2. +\] +Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss. + +Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung +$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist. +Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung +\begin{equation} +\frac{dx}{dt} += +f(t,x) +\qquad\text{mit}\qquad +f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n +\label{buch:gruppen:eqn:dgl} +\end{equation} +gegeben. +Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine +gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$. +Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch +bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von +$x_0$ abhängt. +Dies erlaubt eine Abbildung +\[ +\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n +: +(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0) +\] +zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar +abhängt. +Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass +also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist. + +Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass +$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt. +$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt +und sich während der Zeit $t$ entwickelt. +$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ +beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt. +Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei +$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt. +In Formeln bedeutet dies +\[ +\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t. +\] +Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus +von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren +Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. + +\begin{definition} +Die Abbildung +\[ +\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n +: +(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0) +\] +heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung +\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}, +wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$ +eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$. +\end{definition} + +Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also +der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators. + +\subsection{Mannigfaltigkeiten +\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}} +Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl} +stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der +Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$. +Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve +\[ +x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h) +\] +für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$. +Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von +$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft. + +Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine +Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte +$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche +liegen. +Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig +ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten. +Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für +Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind. +Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor +nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert +werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als +in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann. + +Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche +konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung +auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche +in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist. +Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit} +löst dieses Problem. + +\subsubsection{Karten} +Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem +der geographischen Länge und Breite. +Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an +den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind +nicht mehr eindeutig. +Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger +geographischer Länge beschreiben den Nordpol. +Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr. +Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol, +springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven +Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein. +Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar, +da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen. + +Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet, +kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet +um den Pol erstellt. +Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch +ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben, +wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite +umrechnen will. +Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss +er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem +umrechnen können auf die Kugelkoordinaten. +Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten +auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein. + +Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert. +Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten, +die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren +verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann. +Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge +$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$. +Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf} +\caption{Karten +$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$ +und +$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$ +auf einem Torus. +Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$ +ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert +und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit +entstehen soll. +\label{buch:gruppen:fig:karten}} +\end{figure} + +\begin{definition} +Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung +$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch +Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}). +Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$ +derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$ +überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen +\[ +\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1} +\colon +\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) +\to +\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta) +\] +als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar +ist. +Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine +Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas. +\end{definition} + +Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale +Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen. + +\begin{beispiel} +$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn +die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein +Atlas von $M$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf} +\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$. +\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}} +\end{figure} +Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit. +Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden, +da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie +gibt. +Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden +vier Karten: +\begin{align*} +\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto y +\\ +\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto y +\\ +\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto x +\\ +\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R} +: +(x,y) \mapsto x +\end{align*} +Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten +auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie. + +Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt, +hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen +zu können. +Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$. + +Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben +jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten. +Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung +ist je nach Quadrant durch +\begin{align*} +&\text{1.~Quadrant}& +\varphi_{31} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut} +& +D\varphi_{31} +&= +-\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}} +\\ +&\text{2.~Quadrant}& +\varphi_{24} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut} +& +D\varphi_{24} +&= +-\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}} +\\ +&\text{3.~Quadrant}& +\varphi_{42} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut} +& +D\varphi_{42} +&= +\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}} +\\ +&\text{4.~Quadrant}& +\varphi_{14} +&= +\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut} +& +D\varphi_{14} +&= +\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}} +\end{align*} +gegeben. +Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar, +Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen +$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten +nicht vorkommen können. +Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für +die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}). +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich +für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre +\[ +S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\} +\] +immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen +\[ +\varphi_{i,\pm} +\colon +U_{i,\pm} += +\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\} +\to +\mathbb{R}^n +: +p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1}) +\] +konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Tangentialraum} +Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$ +kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten +$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. +Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein +soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist, +wird von der Karte in eine Kurve +$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ +abgebildet, +deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist. + +Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve +mit der Parametrisierung +$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ +und einem anderen Tangentialvektor. +Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der +Koordinatenwechsel-Abbildung +$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon +\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$ +ineinander umgerechnet werden. +Aus +\[ +\gamma_\beta += +\varphi_\beta\circ \gamma += +( +\varphi_\beta +\circ +\varphi_\alpha^{-1} +) +\circ +\varphi_\alpha\circ\gamma += +\varphi_{\beta\alpha} +\circ +\varphi_\alpha\circ\gamma += +\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha +\] +folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass +\[ +\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t) += +D\varphi_{\beta\alpha} +\cdot +\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t). +\] +Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ +an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor +einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der +Kurve in der Karte $\varphi_\beta$. + +Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen +$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung +eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen +Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der +Mannigfaltigkeit führt. +Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug, +mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer +Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem +ohne Singularitäten umgangen werden kann. + +\begin{beispiel} +Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis} +zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden +aussehen können. +Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt +$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ +und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$. + +Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt +$t\in (0,\frac{\pi}2)$. +in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$, +in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$. +Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix +\[ +D\varphi_{31}(\gamma(t)) += +-\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}} += +-\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} += +-\frac{\sin t}{\cos t} += +-\tan t. +\] +Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch +\[ +\dot{x}(t) += +D\varphi_{31}(\gamma(t)) +\dot{y}(t) +\] +wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu +\[ +D\varphi_{31}(\gamma(t)) +\cdot +\dot{y}(t) += +-\tan t\cdot \cos t += +-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t += +-\sin t += +\dot{x}(t). +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$, +dann ist der Tangentialvektor durch +$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben. +Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind, +entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion +von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente. + +Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können +im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden. +Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie +in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren +durch Translation miteinander vergleichen lassen. +Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, +betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente, +für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht +der Fall. + +Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem +Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht +darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen. +Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie, +nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$ +in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden. +Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich. +Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden. + +Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, +einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie +Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit +transportiert werden können. +Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich +zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert. +Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer +Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben. +Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter +Riemannscher Mannigfaltigkeiten. + +\subsection{Der Satz von Noether +\label{buch:subsection:noether}} + + + + + + diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex new file mode 100644 index 0000000..2acf6f6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex @@ -0,0 +1,233 @@ +Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$ +um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$ +ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$. +Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht +darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation +schreiben. +Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden, +indem zunächst die Ebene mit +\[ +\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 +: +\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} +\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad +\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix} +\] +in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird. +Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form +\[ +\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix} +\] +als Matrizenoperation geschrieben werden. +Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher +die Gruppe +\[ +G += +\left\{ +\left. +A += +\begin{pmatrix} +D_\alpha&\vec{t}\\ +0&1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\ +\sin\alpha & \cos\alpha & t_y \\ + 0 & 0 & 1 +\end{pmatrix} +\; +\right| +\; +\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2 +\right\} +\] +Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab. +\begin{teilaufgaben} +\item +Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen +$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$ +wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie +$\alpha$ und $\vec{t}_j$. +\item +Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$. +\item +Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$ +und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$. +Rechnen Sie nach, dass +\[ +\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix}, +\quad +t_x\mapsto +\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}, +\qquad +t_y\mapsto +\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix} +\] +Einparameteruntergruppen von $G$ sind. +\item +Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$, +die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören. +\item +Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren. +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist +\begin{align*} +\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\ +0&1 +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}. +\end{align*} +Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher +\[ +(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2) += +(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2) +\] +geschrieben werden. +\item +Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$ +kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$ +auflöst: +\begin{align*} +\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t} +&&\Rightarrow& +D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x} +\\ +&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t}) +\end{align*} +Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$. +\item +Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist, +ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe. +Für die beiden anderen gilt +\[ +\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr) +\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr) += +\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr) +\quad\text{und}\quad +\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr) +\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr) += +\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr), +\] +also sind dies auch Einparameteruntergruppen. +\item +Die Ableitungen sind +\begin{align*} +D +&= +\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0} += +\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +0&-1&0\\ +1& 0&0\\ +0& 0&0 +\end{pmatrix} +\\ +X +&= +\frac{d}{dt_x} +\left. +\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix} +\right|_{t_x=0} += +\begin{pmatrix} +0&0&1\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +& +Y +&= +\frac{d}{dt_y} +\left. +\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix} +\right|_{t_y=0} += +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +\end{align*} +\item +Die Vertauschungsrelationen sind +\begin{align*} +[D,X] +&= +DX-XD += +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&1\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +Y +\\ +[D,Y] +&= +DY-YD += +\begin{pmatrix} +0&0&-1\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} +0&0&0\\ +0&0&0\\ +0&0&0 +\end{pmatrix} += +-X +\\ +[X,Y] +&= +XY-YX += +0-0=0 +\qedhere +\end{align*} +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex new file mode 100644 index 0000000..14fbe2b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex @@ -0,0 +1,162 @@ +Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von +$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$ +beschrieben werden, +wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt: +\[ +(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t. +\] +Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe. +Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung +\[ +\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix} +\] +in $\mathbb{R}^2$ ein. +Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann +\[ +\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}. +\] +Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer +$2\times 2$-Matrix beschrieben werden. +Die Abbildung +\[ +G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R}) +: +(\lambda,t) +\mapsto +\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix} +\] +bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein. +\begin{teilaufgaben} +\item +Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente +$g_j=(\lambda_j,t_j)$. +\item +Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$. +\item +Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$, +berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a). +\item +Rechnen Sie nach, dass +\[ +s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix} +,\qquad +t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix} +\] +Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind. +\item +Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden +Einparameteruntergruppen. +\item +Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$ +\end{teilaufgaben} + +\begin{loesung} +\begin{teilaufgaben} +\item +Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach +\[ +(\lambda_1,t_1) +(\lambda_2,t_2) +\cdot +x += +(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2) += +\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1) += +\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1), +\] +also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$. +\item +Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die +Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst: +\[ +y=\lambda x+t +\qquad\Rightarrow\qquad +\lambda^{-1}(y-t) += +\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t. +\] +Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$ +ist. +\item +Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$ +kann man den Kommutator leichter berechnen +\begin{align*} +g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2) +\\ +g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1) +\\ +(g_2g_1)^{-1} +&= +(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}, + -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1)) +\\ +g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1} +&= +(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2) +(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}, + -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1)) +\\ +&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2( + -\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1)) +) +\\ +&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1) += +(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)). +\end{align*} +Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist. +\item +Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen: +\begin{align*} +\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix} +& +\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix} +\end{align*} +\item +Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der +Matrixdarstellung nach dem Parameter +\begin{align*} +S +&= +\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0} += +\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +\\ +T +&= +\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0} += +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +\end{align*} +\item Der Kommutator ist +\[ +[S,T] += +\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} += +T. +\qedhere +\] +\end{teilaufgaben} +\end{loesung} + |
