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index e19f76f..6ee51cf 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -204,7 +204,7 @@ eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
\begin{definition}
Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
\[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
+[\;\,,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
\]
welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
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index c67a304..fb1b4ae 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
Doch auch alle anderen Matrizengruppen,
die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden sollen,
-stellens ich als Untermannigfaltigkeiten von
+stellen sich als Untermannigfaltigkeiten von
$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ heraus.
\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
@@ -181,8 +181,8 @@ Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
-Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
-beschrieben werden kann.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrizen
+beschrieben werden können.
\subsubsection{Die Untergruppe
$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
@@ -882,7 +882,7 @@ Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
In allen drei Fällen wird das blaue Quadrat mit den Ecken in den
-Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
+Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe
zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 3db4873..640c73f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -289,7 +289,7 @@ Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
Matrizen in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
Der Grund dafür ist, dass die
Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear zu sein braucht.
+linear sind.
Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
@@ -468,8 +468,8 @@ derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
\to
\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
\]
-als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
-ist.
+als Abbildungen von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
+sind.
Eine {\em $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
\index{Atlas}%
@@ -698,6 +698,7 @@ Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
\dot{x}(t)
=
D\varphi_{31}(\gamma(t))
+\cdot
\dot{y}(t).
\]
Für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu