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diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
index 3b1abc1..aa5469f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/chapter.tex
@@ -1,47 +1,47 @@
-%
-% chapter.tex
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\chapter{Matrizengruppen
-\label{buch:chapter:matrizengruppen}}
-\lhead{Matrizengruppen}
-\rhead{}
-Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
-physikalischen Systemen zu beschreiben.
-Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
-auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
-phyisikalischen Grösse über die Zeit.
-Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
-die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
-Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
-werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, 
-sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
-zu sprechen.
-
-Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
-die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
-eine sogenannte Lie-Gruppe.
-Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
-Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
-Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
-Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
-so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
-der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
-Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
-Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten 
-Zusammenhangs darzustellen.
-
-\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex}
-\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex}
-%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex}
-
-\section*{Übungsaufgaben}
-\rhead{Übungsaufgaben}
-\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben}
-\begin{uebungsaufgaben}
-\uebungsaufgabe{6002}
-\uebungsaufgabe{6001}
-\end{uebungsaufgaben}
-
+%
+% chapter.tex
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\chapter{Matrizengruppen
+\label{buch:chapter:matrizengruppen}}
+\lhead{Matrizengruppen}
+\rhead{}
+Matrizen können dazu verwendet werden, Symmetrien von geometrischen oder
+physikalischen Systemen zu beschreiben.
+Neben diskreten Symmetrien wie zum Beispiel Spiegelungen gehören dazu
+auch kontinuierliche Symmetrien wie Translationen oder Invarianz einer
+phyisikalischen Grösse über die Zeit.
+Solche Symmetrien müssen durch Matrizen beschrieben werden können,
+die auf stetige oder sogar differenzierbare Art von der Zeit abhängen.
+Die Menge der Matrizen, die zur Beschreibung solcher Symmetrien benutzt
+werden, muss also eine zusätzliche Struktur haben, die ermöglicht, 
+sinnvoll über Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Matrizen
+zu sprechen.
+
+Die Menge der Matrizen bilden zunächst eine Gruppe,
+die zusätzliche differenziarbare Struktur macht daraus
+eine sogenannte Lie-Gruppe.
+Die Ableitungen nach einem Parameter liegen in der sogenannten
+Lie-Algebra, einer Matrizen-Algebra mit dem antisymmetrischen
+Lie-Klammer-Produkt $[A,B]=AB-BA$, auch Kommutator genannt.
+Lie-Gruppe und Lie-Algebra sind eng miteinander verknüpft,
+so eng, dass sich die meisten Eigenschaften der Gruppe aus den Eigenschaften
+der Lie-Gruppe aus der Lie-Algebra ableiten lassen.
+Die Verbindung wird hergestellt durch die Exponentialabbildung.
+Ziel dieses Kapitels ist, die Grundzüge dieses interessanten 
+Zusammenhangs darzustellen.
+
+\input{chapters/60-gruppen/symmetrien.tex}
+\input{chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex}
+\input{chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex}
+%\input{chapters/60-gruppen/homogen.tex}
+
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+\uebungsaufgabe{6002}
+\uebungsaufgabe{6001}
+\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
index 3ed39e5..8cd824f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/Makefile
@@ -1,25 +1,25 @@
-#
-# Makefile
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
-all:	phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf
-
-phasenraum.pdf:	phasenraum.tex
-	pdflatex phasenraum.tex
-
-kartenkreis.pdf:	kartenkreis.tex
-	pdflatex kartenkreis.tex
-
-torus.png:	torus.pov
-	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov
-
-karten.pdf:	karten.tex torus.png
-	pdflatex karten.tex
-
-sl2.pdf:	sl2.tex 
-	pdflatex sl2.tex
-
-scherungen.pdf:	scherungen.tex 
-	pdflatex scherungen.tex
-
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	phasenraum.pdf kartenkreis.pdf karten.pdf sl2.pdf scherungen.pdf
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+phasenraum.pdf:	phasenraum.tex
+	pdflatex phasenraum.tex
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+kartenkreis.pdf:	kartenkreis.tex
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+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Otorus.png torus.pov
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+scherungen.pdf:	scherungen.tex 
+	pdflatex scherungen.tex
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
index c8eb4a3..67c8d70 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/karten.tex
@@ -1,112 +1,112 @@
-%
-% karten.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}};
-
-\def\s{3}
-
-\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$};
-\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$};
-
-\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3);
-\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$};
-
-\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3);
-\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$};
-
-\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm]
-	\begin{scope}
-		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-		\begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30]
-			\fill[color=gray!20]
-				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-			\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-				\draw[color=darkgreen]
-					({\x*\s},{-0.2*\s})
-					--
-					({\x*\s},{1.2*\s});
-			}
-			\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-				\draw[color=orange]
-					(0,{\y*\s})
-					--
-					({1*\s},{\y*\s});
-			}
-		\end{scope}
-	\end{scope}
-
-	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt]
-			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
-	}
-	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-		\draw[color=red,line width=1.4pt]
-			(0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
-	}
-
-	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
-	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];
-
-	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
-
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm]
-	\begin{scope}
-		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-		% x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196
-		% y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = 
-		\begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30]
-			\fill[color=gray!20]
-				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
-				\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-					\draw[color=blue]
-						({\x*\s},{-0.2*\s})
-						--
-						({\x*\s},{1.2*\s});
-				}
-				\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-					\draw[color=red]
-						(0,{\y*\s})
-						--
-						({1*\s},{\y*\s});
-				}
-		\end{scope}
-	\end{scope}
-
-	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
-			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
-	}
-	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
-	}
-	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
-	\draw[->] (0,{-0.3*\s}) -- (0,{1.3*\s}) coordinate[label={left:$x_2$}];
-	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
-\end{scope}
-
-\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
-\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
-
-\node at (0,-5.9)
-	{$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%
+% karten.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{torus.png}};
+
+\def\s{3}
+
+\node at (-3.5,-0.4) {$U_\alpha$};
+\node at (2.0,-0.4) {$U_\beta$};
+
+\draw[->] (-2,-2.2) -- (-3,-4.3);
+\node at (-2.5,-3.25) [left] {$\varphi_\alpha$};
+
+\draw[->] (1.4,-1.7) -- (3,-4.3);
+\node at (2.5,-3.25) [right] {$\varphi_\beta$};
+
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm,yshift=-8cm]
+	\begin{scope}
+		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+		\begin{scope}[xshift=1.8cm,yshift=0.6cm,rotate=30]
+			\fill[color=gray!20]
+				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+			\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+				\draw[color=darkgreen]
+					({\x*\s},{-0.2*\s})
+					--
+					({\x*\s},{1.2*\s});
+			}
+			\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+				\draw[color=orange]
+					(0,{\y*\s})
+					--
+					({1*\s},{\y*\s});
+			}
+		\end{scope}
+	\end{scope}
+
+	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt]
+			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
+	}
+	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+		\draw[color=red,line width=1.4pt]
+			(0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
+	}
+
+	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
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+
+	\node at ({1*\s},{1.2*\s}) [above right] {$\mathbb{R}^2$};
+
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm,yshift=-8cm]
+	\begin{scope}
+		\clip (0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+		% x = - [ (sqrt(3)/2)*0.6+(1/2)*0.2 ] = -0.6196
+		% y = - [ (-1/2)*0.6 + (sqrt(3)/2)*0.2 ] = 
+		\begin{scope}[xshift=-1.8588cm,yshift=0.3804cm,rotate=-30]
+			\fill[color=gray!20]
+				(0,{-0.2*\s}) rectangle ({1*\s},{1.2*\s});
+				\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+					\draw[color=blue]
+						({\x*\s},{-0.2*\s})
+						--
+						({\x*\s},{1.2*\s});
+				}
+				\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+					\draw[color=red]
+						(0,{\y*\s})
+						--
+						({1*\s},{\y*\s});
+				}
+		\end{scope}
+	\end{scope}
+
+	\foreach \x in {0,0.2,...,1}{
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt]
+			({\x*\s},{-0.2*\s}) -- ({\x*\s},{1.2*\s});
+	}
+	\foreach \y in {-0.2,0,...,1.2}{
+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (0,{\y*\s}) -- ({1*\s},{\y*\s});
+	}
+	\draw[->] ({\s*(-0.1)},0) -- ({1.1*\s},0) coordinate[label={$x_1$}];
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+\end{scope}
+
+\draw[<-,color=white,opacity=0.8,line width=5pt] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
+\draw[<-,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm] (2.5,-6.5) arc (55:100:6.5);
+
+\node at (0,-5.9)
+	{$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
index 4f19937..ff6331e 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.tex
@@ -1,189 +1,189 @@
-%
-% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{3}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1);
-\fill[color=blue!20] (-1.5,-1) rectangle (0,1);
-\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] (-1,0) rectangle (1,1.5);
-\fill[color=orange!40,opacity=0.5] (-1,-1.5) rectangle (1,0);
-\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1];
-
-\fill[color=gray!20]
-	(0,-1.5) -- (0.02,-1.6) -- (0.5,-1.8) -- (0.98,-1.6) -- (1,-1.5)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(0,-1.5) -- (-0.02,-1.6) -- (-0.5,-1.8) -- (-0.98,-1.6) -- (-1,-1.5)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5)
-	-- cycle;
-
-\fill[color=gray!20]
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-\fill[color=gray!20]
-	(-1.5,0) -- (-1.6,0.02) -- (-1.8,0.5) -- (-1.6,0.98) -- (-1.5,1)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1)
-	-- cycle;
-\fill[color=gray!20]
-	(-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1)
-	-- cycle;
-
-\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1);
-\draw[->] (1.8,0.5) arc (-90:0:0.1) arc (0:90:1.3) arc (90:180:0.1);
-\draw[->] (-0.5,1.8) arc (0:90:0.1) arc (90:180:1.3) arc (180:270:0.1);
-\draw[->] (-1.8,-0.5) arc (90:180:0.1) arc (180:270:1.3) arc (270:360:0.1);
-
-\node at (1.01,1.32)
-	[right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$};
-
-\node at (1.01,-1.28)
-	[right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};
-
-\node at (-1.24,1.32)
-	[left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
-\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
-
-\node at (-1.18,-1.28)
-	[left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};
-\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
-
-
-\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{
-	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y);
-	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y);
-	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y);
-	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y);
-}
-\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{
-	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5);
-	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5);
-	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5);
-	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
-		({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);
-}
-
-%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
-\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
-\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};
-
-\def\r{1.02}
-
-\begin{scope}
-	\clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1);
-	\draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r);
-	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
-	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
-	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1);
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r);
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\xdef\r{0.98}
-
-\begin{scope} 
-	\clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1);
-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r);
-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
-	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope} 
-	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0);
-	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (181:\r) arc (181:359:\r);
-	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
-	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=1.5cm]
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0)
-			circle[radius=0.02];
-		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0)
-			circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[yshift=-1.5cm]
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-1,0) circle[radius=0.02];
-		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=1.5cm]
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
-		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
-		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
-		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=-1.5cm]
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}];
-	\begin{scope}
-		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
-		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
-	\end{scope}
-\end{scope}
-
-\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$};
-\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$};
-
-\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$};
-\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$};
-
-\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$};
-\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$};
-
-\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$};
-\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$};
-
-\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}];
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%
+% kartenkreis.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+\begin{document}
+\def\skala{3}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\fill[color=red!20] (0,-1) rectangle (1.5,1);
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+\fill[color=darkgreen!40,opacity=0.5] (-1,0) rectangle (1,1.5);
+\fill[color=orange!40,opacity=0.5] (-1,-1.5) rectangle (1,0);
+\fill[color=white] (0,0) circle[radius=1];
+
+\fill[color=gray!20]
+	(0,-1.5) -- (0.02,-1.6) -- (0.5,-1.8) -- (0.98,-1.6) -- (1,-1.5)
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+\fill[color=gray!20]
+	(0,1.5) -- (0.02,1.6) -- (0.5,1.8) -- (0.98,1.6) -- (1,1.5)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(0,-1.5) -- (-0.02,-1.6) -- (-0.5,-1.8) -- (-0.98,-1.6) -- (-1,-1.5)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(0,1.5) -- (-0.02,1.6) -- (-0.5,1.8) -- (-0.98,1.6) -- (-1,1.5)
+	-- cycle;
+
+\fill[color=gray!20]
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+\fill[color=gray!20]
+	(-1.5,0) -- (-1.6,0.02) -- (-1.8,0.5) -- (-1.6,0.98) -- (-1.5,1)
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+\fill[color=gray!20]
+	(1.5,0) -- (1.6,-0.02) -- (1.8,-0.5) -- (1.6,-0.98) -- (1.5,-1)
+	-- cycle;
+\fill[color=gray!20]
+	(-1.5,0) -- (-1.6,-0.02) -- (-1.8,-0.5) -- (-1.6,-0.98) -- (-1.5,-1)
+	-- cycle;
+
+\draw[->] (0.5,-1.8) arc (-180:-90:0.1) arc (-90:0:1.3) arc (0:90:0.1);
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+
+\node at (1.01,1.32)
+	[right] {$\varphi_3\circ \varphi_1^{-1}(y)=\sqrt{1-y^2}$};
+\node at (1.6,1.6) {$\varphi_{31}$};
+
+\node at (1.01,-1.28)
+	[right] {$\varphi_1\circ \varphi_4^{-1}(x)=-\sqrt{1-x^2}$};
+\node at (1.6,-1.6) {$\varphi_{14}$};
+
+\node at (-1.24,1.32)
+	[left] {$\varphi_2\circ\varphi_3^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2}$};
+\node at (-1.6,1.6) {$\varphi_{23}$};
+
+\node at (-1.18,-1.28)
+	[left] {$\varphi_4\circ\varphi_2^{-1}(y)=-\sqrt{1-y^2}$};
+\node at (-1.6,-1.6) {$\varphi_{42}$};
+
+
+\foreach \y in {0.1,0.3,...,0.9}{
+	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (1.5,\y);
+	\draw[->,color=red,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (1.5,-\y);
+	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-sqrt(1-\y*\y)},{\y}) -- (-1.5,\y);
+	\draw[->,color=blue,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-sqrt(1-\y*\y)},{-\y}) -- (-1.5,-\y);
+}
+\foreach \x in {0.1,0.3,...,0.9}{
+	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},1.5);
+	\draw[->,color=darkgreen,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-\x},{sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},1.5);
+	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x},-1.5);
+	\draw[->,color=orange,shorten >= 0.1cm,shorten <= 0.3cm]
+		({-\x},{-sqrt(1-\x*\x)}) -- ({-\x},-1.5);
+}
+
+%\draw[color=gray!50,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+\draw[color=yellow!30,line width=3pt] (0,0) circle[radius=1];
+\node[color=yellow] at ({1/sqrt(2)},{1/sqrt(2)}) [above right] {$S^1$};
+
+\def\r{1.02}
+
+\begin{scope}
+	\clip (0,-1.1) rectangle (1.1,1.1);
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (-89:\r) arc (-89:89:\r);
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (0,1.1);
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (91:\r) arc (91:269:\r);
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-\r) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\xdef\r{0.98}
+
+\begin{scope} 
+	\clip (-1.1,0) rectangle (1.1,1.1);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1:\r) arc (1:179:\r);
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\begin{scope} 
+	\clip (-1.1,-1.1) rectangle (1.1,0);
+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (181:\r) arc (181:359:\r);
+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (\r,0) circle[radius=0.02];
+	\draw[color=orange,line width=1.4pt] (-\r,0) circle[radius=0.02];
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=1.5cm]
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-0.98,0) -- (0.98,0);
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,0)
+			circle[radius=0.02];
+		\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (1,0)
+			circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[yshift=-1.5cm]
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={below:$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-0.1) rectangle (1,0.1);
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+		\draw[color=orange,line width=1.4pt] (1,0) circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=1.5cm]
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+		\draw[color=red,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-1.5cm]
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={left:$\mathbb{R}$}];
+	\begin{scope}
+		\clip (-0.1,-1) rectangle (0.1,1);
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-0.98) -- (0,0.98);
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,-1) circle[radius=0.02];
+		\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,1) circle[radius=0.02];
+	\end{scope}
+\end{scope}
+
+\node[color=red] at (23:1) [right] {$U_{x>0}$};
+\node[color=red] at (1.25,0) [right] {$\varphi_1$};
+
+\node[color=blue] at (157:1) [left] {$U_{x<0}$};
+\node[color=blue] at (-1.25,0) [left] {$\varphi_2$};
+
+\node[color=darkgreen] at (115:1) [below right] {$U_{y>0}$};
+\node[color=darkgreen] at (0,1.25) [above] {$\varphi_3$};
+
+\node[color=orange] at (-115:1) [above right] {$U_{y<0}$};
+\node[color=orange] at (0,-1.25) [below] {$\varphi_4$};
+
+\draw[->] (-1.1,0) -- (1.15,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,-1.1) -- (0,1.15) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
index 2bccc27..2305b26 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/phasenraum.tex
@@ -1,93 +1,93 @@
-%
-% phasenraum.tex -- 
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\def\m{1}
-\def\K{0.444}
-
-\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)}
-\xdef\o{\pgfmathresult}
-
-\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) }
-
-\foreach \r in {0.5,1,...,6}{
-	\draw plot[domain=0:359,samples=360]
-			({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle;
-}
-
-\def\tangente#1#2{
-		\pgfmathparse{#2/\m}
-		\xdef\u{\pgfmathresult}
-
-		\pgfmathparse{-#1*\K}
-		\xdef\v{\pgfmathresult}
-
-		\pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)}
-		\xdef\l{\pgfmathresult}
-
-		\fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03];
-		\draw[color=blue,line width=0.5pt]
-			({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l})
-			--
-			({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l});
-}
-
-\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{
-	\foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{
-		\tangente{\x}{\y}
-	}
-}
-
-%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{
-%	\tangente{\x}{0}
-%	\tangente{-\x}{0}
-%	\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
-%		\tangente{\x}{\y}
-%		\tangente{-\x}{\y}
-%		\tangente{\x}{-\y}
-%		\tangente{-\x}{-\y}
-%	}
-%}
-%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
-%	\tangente{0}{\y}
-%	\tangente{0}{-\y}
-%}
-
-\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8};
-\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9};
-
-\draw[->,color=red,line width=1.4pt]
-	plot[domain=0:60,samples=360]
-		({4*cos(\x)},{\o*4*sin(\x)});
-
-\draw[->] (-6.5,0) -- (6.7,0) coordinate[label={$x$}];
-\draw[->] (0,-4.5) -- (0,4.7) coordinate[label={right:$p$}];
-
-\fill[color=red] \punkt{60}{4} circle[radius=0.08];
-\node[color=red] at \punkt{60}{4} [above right]
-	{$\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}$};
-
-\fill[color=red] \punkt{0}{4} circle[radius=0.08];
-\node[color=red] at \punkt{0}{4} [above right]
-	{$\begin{pmatrix}x_0\\0\end{pmatrix}$};
-
-\fill[color=white] (4,0) circle[radius=0.05];
-\node at (3.9,0) [below right] {$x_0$};
-\fill (0,{\o*4}) circle[radius=0.05];
-\node at (0.1,{\o*4+0.05}) [below left] {$\omega x_0$};
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%
+% phasenraum.tex -- 
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\m{1}
+\def\K{0.444}
+
+\pgfmathparse{sqrt(\K/\m)}
+\xdef\o{\pgfmathresult}
+
+\def\punkt#1#2{ ({#2*cos(#1)},{\o*#2*sin(#1)}) }
+
+\foreach \r in {0.5,1,...,6}{
+	\draw plot[domain=0:359,samples=360]
+			({\r*cos(\x)},{\o*\r*sin(\x)}) -- cycle;
+}
+
+\def\tangente#1#2{
+		\pgfmathparse{#2/\m}
+		\xdef\u{\pgfmathresult}
+
+		\pgfmathparse{-#1*\K}
+		\xdef\v{\pgfmathresult}
+
+		\pgfmathparse{sqrt(\u*\u+\v*\v)}
+		\xdef\l{\pgfmathresult}
+
+		\fill[color=blue] (#1,#2) circle[radius=0.03];
+		\draw[color=blue,line width=0.5pt]
+			({#1-0.2*\u/\l},{#2-0.2*\v/\l})
+			--
+			({#1+0.2*\u/\l},{#2+0.2*\v/\l});
+}
+
+\foreach \x in {-6.25,-5.75,...,6.3}{
+	\foreach \y in {-4.25,-3.75,...,4.3}{
+		\tangente{\x}{\y}
+	}
+}
+
+%\foreach \x in {0.5,1,...,5.5,6}{
+%	\tangente{\x}{0}
+%	\tangente{-\x}{0}
+%	\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
+%		\tangente{\x}{\y}
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+%		\tangente{\x}{-\y}
+%		\tangente{-\x}{-\y}
+%	}
+%}
+%\foreach \y in {0.5,1,...,4}{
+%	\tangente{0}{\y}
+%	\tangente{0}{-\y}
+%}
+
+\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{60}{4} rectangle \punkt{59}{5.8};
+\fill[color=white,opacity=0.7] \punkt{0}{4} rectangle \punkt{18}{4.9};
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+\draw[->,color=red,line width=1.4pt]
+	plot[domain=0:60,samples=360]
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+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/scherungen.tex
index 893bd12..f6df172 100644
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@@ -1,157 +1,157 @@
-%
-% scherungen.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1}
-\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0}
-\def\s{1.1}
-
-\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
-
-	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2)
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-
-	\foreach \x in {-1,...,3}{
-		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
-		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
-	}
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
-		\foreach \x in {-1,...,3}{
-			\draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3);
-			\draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s});
-		}
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
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-	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
-	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
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-	\node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$};
-
-	\node at (0,0) [below right] {$O$};
-	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Mt}
-		&=
-		\begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-	$};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
-	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2)
-		-- cycle;
-
-	\foreach \x in {-1,...,3}{
-		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
-		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
-	}
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
-		\foreach \x in {-1,...,3}{
-			\draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x);
-			\draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3);
-		}
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
-	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2);
-
-	\node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$};
-
-	\node at (0,0) [below right] {$O$};
-	
-	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
-		\begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Nt}
-		&=
-		\begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-	$};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm]
-	\def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})}
-	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		(0,0) -- \punkt{2}{0} -- \punkt{2}{2} -- \punkt{0}{2} -- cycle;
-
-	\foreach \x in {0,...,4}{
-		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
-	}
-	\foreach \y in {-1,...,3}{
-		\draw[color=blau]  (0,\y) -- (4,\y);
-	}
-
-	\begin{scope}
-		\clip (-0,-1) rectangle (4,3);
-		\foreach \x in {-1,...,6}{
-			\draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6};
-			\draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x};
-		}
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
-	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{2}{0};
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- \punkt{0}{2};
-
-	\node at (0,0) [below right] {$O$};
-	
-	\node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle
-		\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{D\cdot 1}
-		&=
-		\begin{pmatrix}
-			   1.6005 & 0.4114\\
-			  -0.2057 & 0.5719
-		\end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-	$};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%
+% scherungen.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0.8,1}
+\definecolor{blau}{rgb}{0,0.6,0}
+\def\s{1.1}
+
+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
+
+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,\s) -- (2,{2+\s}) -- (0,2)
+		-- cycle;
+
+	\foreach \x in {-1,...,3}{
+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
+		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
+	}
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
+		\foreach \x in {-1,...,3}{
+			\draw[color=orange] (\x,-1) -- (\x,3);
+			\draw[color=orange] (-1,{\x-0.5*\s}) -- (3,{\x+1.5*\s});
+		}
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,\s);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,2);
+
+	\node[color=red] at (2,\s) [below right] {$(1,t)$};
+
+	\node at (0,0) [below right] {$O$};
+	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		M &= \begin{pmatrix}0&0\\1&0 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Mt}
+		&=
+		\begin{pmatrix}1&0\\t&1 \end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+	$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\fill[color=blue!20] (0,0) rectangle (2,2);
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5] (0,0) -- (2,0) -- ({2+\s},2) -- (\s,2)
+		-- cycle;
+
+	\foreach \x in {-1,...,3}{
+		\draw[color=blau]  (\x,-1) -- (\x,3);
+		\draw[color=blau]  (-1,\x) -- (3,\x);
+	}
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-1,-1) rectangle (3,3);
+		\foreach \x in {-1,...,3}{
+			\draw[color=orange] (-1,\x) -- (3,\x);
+			\draw[color=orange] ({\x-0.5*\s},-1) -- ({\x+1.5*\s},3);
+		}
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-1.1,0) -- (3.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-1.1) -- (0,3.5) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
+	\node[color=blue] at (2,0) [below right] {$1$};
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,2);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (2,0);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (\s,2);
+
+	\node[color=red] at (\s,2) [above left] {$(t,1)$};
+
+	\node at (0,0) [below right] {$O$};
+	
+	\node at (1,-1.1) [below] {$\displaystyle
+		\begin{aligned} N &= \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Nt}
+		&=
+		\begin{pmatrix}1&t\\0&1 \end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+	$};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=3.6cm,yshift=0cm]
+	\def\punkt#1#2{({1.6005*(#1)+0.4114*(#2)},{-0.2057*(#1)+0.5719*(#2)})}
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+
+	\foreach \x in {0,...,4}{
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+		\draw[color=blau]  (0,\y) -- (4,\y);
+	}
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-0,-1) rectangle (4,3);
+		\foreach \x in {-1,...,6}{
+			\draw[color=orange] \punkt{\x}{-3} -- \punkt{\x}{6};
+			\draw[color=orange] \punkt{-3}{\x} -- \punkt{6}{\x};
+		}
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+
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
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+	\node[color=blue] at (0,2) [above left] {$1$};
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+	
+	\node at (2,-1.1) [below] {$\displaystyle
+		\begin{aligned} D &= \begin{pmatrix}0.5&0.4\\-0.2&-0.5 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{D\cdot 1}
+		&=
+		\begin{pmatrix}
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+		\end{pmatrix}
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+	$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
index 0e44aa9..c41308c 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/sl2.tex
@@ -1,146 +1,146 @@
-%
-% sl2.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
-
-\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
-	\fill[color=blue!20]
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-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
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-
-	\begin{scope}
-		\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
-		\draw[color=darkgreen]
-			plot[domain=-1:1,samples=100]
-				({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
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-
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1);
-	\node at (0,-3.2) 
-		{$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-		\\
-		e^{At}
-		&=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-		$};
-	
-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}
-	\fill[color=blue!20]
-		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		(33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle;
-
-	\draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4];
-
-	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4);
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);
-
-	\node at (0,-3.2)
-		{$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		B
-		&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Bt}
-		&=
-		\begin{pmatrix}
-		\cos t&-\sin t\\
-		\sin t& \cos t
-		\end{pmatrix}
-		\end{aligned}$};
-\end{scope}
-
-
-\begin{scope}[xshift=4.5cm]
-	\fill[color=blue!20]
-		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
-	\def\x{0.5}
-	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
-		({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x})
-		--
-		({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})
-		--
-		({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})
-		--
-		({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})
-		-- cycle;
-
-	\begin{scope}
-	\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({-1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
-	\draw[color=darkgreen]
-		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{-1.4*cosh(\x)});
-	\end{scope}
-
-	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
-	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
-
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
-	\draw[->,color=red] (0,0) -- ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
-
-	\node at (0,-3.2) {$\displaystyle
-		\begin{aligned}
-		C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-		\\
-		e^{Ct}
-		&=
-		\begin{pmatrix}
-		\cosh t&\sinh t\\
-		\sinh t&\cosh t
-		\end{pmatrix}
-		\end{aligned}
-		$};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%
+% sl2.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+\begin{scope}[xshift=-4.5cm]
+	\fill[color=blue!20]
+		(1.4,0) -- (0,1.4) -- (-1.4,0) -- (0,-1.4) -- cycle;
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		(1.96,0) -- (0,1) -- (-1.96,0) -- (0,-1) -- cycle;
+
+	\begin{scope}
+		\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.3,2.3);
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({-(1/1.4)*exp(\x)},{(1/1.4)*exp(-\x)});
+		\draw[color=darkgreen]
+			plot[domain=-1:1,samples=100]
+				({-(1/1.4)*exp(\x)},{-(1/1.4)*exp(-\x)});
+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (1.96,0);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (0,1);
+	\node at (0,-3.2) 
+		{$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+		\\
+		e^{At}
+		&=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+		$};
+	
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}
+	\fill[color=blue!20]
+		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		(33:1.4) -- (123:1.4) -- (213:1.4) -- (303:1.4) -- cycle;
+
+	\draw[color=darkgreen] (0,0) circle[radius=1.4];
+
+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (1.4,0);
+	\draw[->,color=blue] (0,0) -- (0,1.4);
+
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (33:1.4);
+	\draw[->,color=red] (0,0) -- (123:1.4);
+
+	\node at (0,-3.2)
+		{$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		B
+		&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Bt}
+		&=
+		\begin{pmatrix}
+		\cos t&-\sin t\\
+		\sin t& \cos t
+		\end{pmatrix}
+		\end{aligned}$};
+\end{scope}
+
+
+\begin{scope}[xshift=4.5cm]
+	\fill[color=blue!20]
+		(0:1.4) -- (90:1.4) -- (180:1.4) -- (270:1.4) -- cycle;
+	\def\x{0.5}
+	\fill[color=red!40,opacity=0.5]
+		({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x})
+		--
+		({1.4*sinh(\x},{1.4*cosh(\x)})
+		--
+		({-1.4*cosh(\x)},{-1.4*sinh(\x})
+		--
+		({-1.4*sinh(\x},{-1.4*cosh(\x)})
+		-- cycle;
+
+	\begin{scope}
+	\clip (-2.1,-2.1) rectangle (2.2,2.2);
+	\draw[color=darkgreen]
+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*cosh(\x)},{1.4*sinh(\x)});
+	\draw[color=darkgreen]
+		plot[domain=-1:1,samples=100] ({1.4*sinh(\x)},{1.4*cosh(\x)});
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+	\end{scope}
+
+	\draw[->] (-2.1,0) -- (2.3,0) coordinate[label={$x$}];
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+	\node at (0,-3.2) {$\displaystyle
+		\begin{aligned}
+		C&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+		\\
+		e^{Ct}
+		&=
+		\begin{pmatrix}
+		\cosh t&\sinh t\\
+		\sinh t&\cosh t
+		\end{pmatrix}
+		\end{aligned}
+		$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
index 3a8e327..ee09c36 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/images/torus.pov
@@ -1,189 +1,189 @@
-//
-// diffusion.pov
-//
-// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule
-//
-#version 3.7;
-#include "colors.inc"
-
-global_settings {
-	assumed_gamma 1
-}
-
-#declare imagescale = 0.034;
-#declare N = 100;
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-#declare R = 1;
-
-camera {
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-light_source {
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-sky_sphere {
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-                color rgb<1,1,1>
-        }
-}
-
-#macro rotiere(phi, vv)
-	< cos(phi) * vv.x - sin(phi) * vv.z, vv.y, sin(phi) * vv.x + cos(phi) * vv.z >
-#end
-
-#macro punkt(phi,theta)
-	rotiere(phi, < R + r * cos(theta), r * sin(theta), 0 >)
-#end
-
-mesh {
-	#declare phistep = 2 * pi / N;
-	#declare thetastep = 2 * 2 * pi / N;
-	#declare phi = 0;
-	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
-		#declare theta = 0;
-		#while (theta < 2 * pi - thetastep/2)
-			triangle {
-				punkt(phi          , theta            ), 
-				punkt(phi + phistep, theta            ), 
-				punkt(phi + phistep, theta + thetastep)
-			}
-			triangle {
-				punkt(phi          , theta            ), 
-				punkt(phi + phistep, theta + thetastep), 
-				punkt(phi          , theta + thetastep)
-			}
-			#declare theta = theta + thetastep;
-		#end
-		#declare phi = phi + phistep;
-	#end
-	pigment {
-		color Gray
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-
-#declare thetastart = -0.2;
-#declare thetaend = 1.2;
-#declare phistart = 5;
-#declare phiend = 6;
-
-union {
-	#declare thetastep = 0.2;
-	#declare theta = thetastart;
-	#while (theta < thetaend + thetastep/2)
-		#declare phistep = (phiend-phistart)/N;
-		#declare phi = phistart;
-		#while (phi < phiend - phistep/2)
-			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-			cylinder {
-				punkt(phi,theta),
-				punkt(phi+phistep,theta),
-				0.01
-			}
-			#declare phi = phi + phistep;
-		#end
-		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-		#declare theta = theta + thetastep;
-	#end
-
-	pigment {
-		color Red
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-
-union {
-	#declare phistep = 0.2;
-	#declare phi = phistart;
-	#while (phi < phiend + phistep/2)
-		#declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N;
-		#declare theta = thetastart;
-		#while (theta < thetaend - thetastep/2)
-			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-			cylinder {
-				punkt(phi,theta),
-				punkt(phi,theta+thetastep),
-				0.01
-			}
-			#declare theta = theta + thetastep;
-		#end
-		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
-		#declare phi = phi + phistep;
-	#end
-	pigment {
-		color Blue
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-
-#macro punkt2(a,b)
-	punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2)
-#end
-
-#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>;
-
-#declare astart = 0;
-#declare aend = 1;
-#declare bstart = -0.2;
-#declare bend = 1.2;
-union {
-	#declare a = astart;
-	#declare astep = 0.2;
-	#while (a < aend + astep/2)
-		#declare b = bstart;
-		#declare bstep = (bend - bstart)/N;
-		#while (b < bend - bstep/2)
-			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 }
-			#declare b = b + bstep;
-		#end
-		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-		#declare a = a + astep;
-	#end
-	pigment {
-		color darkgreen
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
-union {
-	#declare b = bstart;
-	#declare bstep = 0.2;
-	#while (b < bend + bstep/2)
-		#declare a = astart;
-		#declare astep = (aend - astart)/N;
-		#while (a < aend - astep/2)
-			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a+astep,b), 0.01 }
-			#declare a = a + astep;
-		#end
-		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
-		#declare b = b + bstep;
-	#end
-	pigment {
-		color Orange
-	}
-	finish {
-		specular 0.9
-		metallic
-	}
-}
+//
+// diffusion.pov
+//
+// (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostscheizer Fachhochschule
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
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+global_settings {
+	assumed_gamma 1
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+#declare imagescale = 0.034;
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+camera {
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+light_source {
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+#macro rotiere(phi, vv)
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+#macro punkt(phi,theta)
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+#end
+
+mesh {
+	#declare phistep = 2 * pi / N;
+	#declare thetastep = 2 * 2 * pi / N;
+	#declare phi = 0;
+	#while (phi < 2 * pi - phistep/2)
+		#declare theta = 0;
+		#while (theta < 2 * pi - thetastep/2)
+			triangle {
+				punkt(phi          , theta            ), 
+				punkt(phi + phistep, theta            ), 
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+			}
+			triangle {
+				punkt(phi          , theta            ), 
+				punkt(phi + phistep, theta + thetastep), 
+				punkt(phi          , theta + thetastep)
+			}
+			#declare theta = theta + thetastep;
+		#end
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color Gray
+	}
+	finish {
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+		metallic
+	}
+}
+
+#declare thetastart = -0.2;
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+
+union {
+	#declare thetastep = 0.2;
+	#declare theta = thetastart;
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+			cylinder {
+				punkt(phi,theta),
+				punkt(phi+phistep,theta),
+				0.01
+			}
+			#declare phi = phi + phistep;
+		#end
+		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+		#declare theta = theta + thetastep;
+	#end
+
+	pigment {
+		color Red
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
+
+union {
+	#declare phistep = 0.2;
+	#declare phi = phistart;
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+		#declare thetastep = (thetaend-thetastart)/N;
+		#declare theta = thetastart;
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+			sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+			cylinder {
+				punkt(phi,theta),
+				punkt(phi,theta+thetastep),
+				0.01
+			}
+			#declare theta = theta + thetastep;
+		#end
+		sphere { punkt(phi,theta), 0.01 }
+		#declare phi = phi + phistep;
+	#end
+	pigment {
+		color Blue
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
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+#macro punkt2(a,b)
+	punkt(5.6+a*sqrt(3)/2-b/2,0.2+a/2 + b*sqrt(3)/2)
+#end
+
+#declare darkgreen = rgb<0,0.6,0>;
+
+#declare astart = 0;
+#declare aend = 1;
+#declare bstart = -0.2;
+#declare bend = 1.2;
+union {
+	#declare a = astart;
+	#declare astep = 0.2;
+	#while (a < aend + astep/2)
+		#declare b = bstart;
+		#declare bstep = (bend - bstart)/N;
+		#while (b < bend - bstep/2)
+			sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+			cylinder { punkt2(a,b), punkt2(a,b+bstep), 0.01 }
+			#declare b = b + bstep;
+		#end
+		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+		#declare a = a + astep;
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+	pigment {
+		color darkgreen
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
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+}
+union {
+	#declare b = bstart;
+	#declare bstep = 0.2;
+	#while (b < bend + bstep/2)
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+			#declare a = a + astep;
+		#end
+		sphere { punkt2(a,b), 0.01 }
+		#declare b = b + bstep;
+	#end
+	pigment {
+		color Orange
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
index cee8510..482ba6f 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-algebren.tex
@@ -1,647 +1,647 @@
-%
-% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Algebren
-\label{buch:section:lie-algebren}}
-\rhead{Lie-Algebren}
-Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
-Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
-Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
-Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
-Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
-Mannigfaltigkeit.
-Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
-
-Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
-innerhalb der Gruppe angesehen werden.
-In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
-Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
-der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
-Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
-erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
-die sogenannte Lie-Algebra.
-Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
-Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
-und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
-Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
-übereinstimmt.
-
-%
-% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-%
-\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
-\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
-Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
-eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
-$e^{At}$ konstruiert werden kann.
-Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
-Tangentialvektor ist.
-Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
-dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
-$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
-
-\subsubsection{Lie-Klammer}
-Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
-$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 
-$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 
-$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
-Die zugehörigen Potenzreihen sind:
-\begin{align*}
-e^{At}
-&=
-I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{Bt}
-&=
-I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
-\\
-e^{At}e^{Bt}
-&=
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\\
-e^{Bt}e^{At}
-&=
-\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
-\\
-&=
-I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
-\intertext{%
-Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
-Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
-sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
-Einparameteruntergruppe von $A+B$}
-e^{(A+B)t}
-&=
-I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
-\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
-e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
-=
-[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
-\\
-e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
-&=
-\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
-+\ldots
-=
-(BA-AB)
-\frac{t^2}{2}
-+\ldots
-=
--[A,B]\frac{t^2}{2}
-\\
-e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
-&=
-(AB-BA)t^2+\ldots
-=
-\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
-\end{align*}
-wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:kommutator}
-Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
-$[A,B]=AB-BA$.
-\end{definition}
-
-Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
-\begin{align*}
-[\lambda A+\mu B,C]
-&=
-\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
-=
-\lambda[A,C]+\mu[B,C]
-\\
-[A,\lambda B+\mu C]
-&=
-\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
-=
-\lambda[A,B]+\mu[A,C]
-\\
-[A,B]
-&=
-AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
-\end{align*}
-Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
-
-Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
-zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
-Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
-Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
-
-
-\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
-Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
-\begin{align*}
-[A,[B,C]]
-+
-[B,[C,A]]
-+
-[C,[A,B]]
-&=
-[A,BC-CB]
-+
-[B,CA-AC]
-+
-[C,AB-BA]
-\\
-&=\phantom{+}
-ABC-ACB-BCA+CBA
-\\
-&\phantom{=}+
-BCA-BAC-CAB+ACB
-\\
-&\phantom{=}+
-CAB-CBA-ABC+BAC
-\\
-&=0.
-\end{align*}
-Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
-bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 
-betrachten kann.
-Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
-$X$ und $Y$ definieren.
-Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
-Identität.
-
-\begin{definition}
-\label{buch:gruppen:def:jacobi}
-Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
-erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
-\[
-[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
-\]
-ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
-\end{definition}
-
-\subsubsection{Lie-Algebra}
-Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
-eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
-
-\begin{definition}
-Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
-\[
-[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
-\]
-welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
-erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
-\end{definition}
-
-Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
-$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
-Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
-ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
-Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
-Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
-
-Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
-sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
-Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
-$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
-die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
-$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra von SO(3)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
-\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
-Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
-$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
-Solche Matrizen haben die Form
-\[
-\Omega
-=
-\begin{pmatrix}
-    0    & \omega_3&-\omega_2\\
--\omega_3&   0     & \omega_1\\
- \omega_2&-\omega_1&    0
-\end{pmatrix}
-\]
-Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
-
-Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
-\[
-(I+t\Omega)
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
--t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
- t\omega_2&-t\omega_1&    1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
-x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
-x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
-\end{pmatrix}
-=
-x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
-=
-x+ tx\times \omega.
-\]
-Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
-um die Achse $\omega$.
-
-Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
-Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
-in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
-mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
-:
-\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}.
-\]
-Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
-konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
-\begin{align*}
-[U,V]
-&=
-UV-VU
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-  0 & v_3&-v_1\\
--v_3&  0 & v_2\\
- v_1&-v_2&  0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-  0 & u_3&-u_1\\
--u_3&  0 & u_2\\
- u_1&-u_2&  0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                & u_3v_2 - u_2v_3
-\\
-u_2v_1 - u_1v_2
-        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
-                & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        & u_1v_3 - u_3v_1
-                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-0
-        & u_1v_2 - u_2v_1
-                &-(u_2v_3-u_3v_2)
-\\
--( u_1v_2 - u_2v_1)
-        & 0
-                & u_3v_1 - u_1v_3
-\\
-u_2v_3 - u_3v_2
-        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
-                & 0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
-Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
-\[
-\vec u\times(\vec v\times w)
-+
-\vec v\times(\vec w\times u)
-+
-\vec w\times(\vec u\times v)
-=0
-\]
-für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
-Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
-mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
-In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
-$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
-Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
-das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
-von Landau und Lifschitz.
-
-Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
-keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
-Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
-es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
-möglich ist.
-
-Die antisymmetrischen Matrizen
-\[
-\omega_{23}
-=
-\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{31}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
-\quad
-\omega_{12}
-=
-\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
-\]
-haben die Kommutatoren
-\begin{equation}
-\begin{aligned}
-[\omega_{23},\omega_{31}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&-1&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{12}
-\\
-[\omega_{31},\omega_{12}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&1&0\\
--1&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{23}
-\\
-[\omega_{12},\omega_{23}]
-&=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-1&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-\omega_{31}
-\end{aligned}
-\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
-\end{equation}
-
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
-Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
-spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
-Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
-\[
-\operatorname{Spur}([A,B])
-=
-\operatorname{Spur}(AB-BA)
-=
-\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
-=
-0,
-\]
-somit ist 
-\[
-\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
-\}
-\]
-mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
-
-%
-% Die Lie-Algebra von U(n)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
-Die Lie-Gruppe
-\[
-U(n)
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{C}
-\;|\;
-AA^*=I
-\}
-\]
-heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
-das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
-Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
-Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
-derart, dass $\gamma(0)=I$.
-Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
-\begin{align*}
-0
-=
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)\gamma(t)^*
-\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
-+
-\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
-=
-\dot{\gamma}(0)
-+
-\dot{\gamma}(0)^*
-\quad\Rightarrow\quad
-\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
-A&=-A^*
-\end{align*}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
-Matrizen.
-
-Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
-Matrizen wieder anithermitesch ist:
-\begin{align*}
-[A,B]^*
-&=
-(AB-BA)^*
-=
-B^*A^*-A^*B^*
-=
-BA - AB
-=
--[B,A].
-\end{align*}
-
-Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
-für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
-oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
-Der Realteil von $a_{ii}$ ist
-\[
-\Re a_{ii}
-=
-\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
-=
-0,
-\]
-die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
-imaginär.
-
-
-%
-% Die Lie-Algebra SU(2)
-%
-\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
-Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
-spurlosen antihermiteschen Matrizen.
-Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\qquad
-\text{mit}
-\qquad
-\left\{
-\begin{aligned}
-a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
-\\
-b^*&=-c
-\end{aligned}
-\right.
-\]
-Damit hat $A$ die Form
-\begin{align*}
-A=\begin{pmatrix}
-is&u+iv\\
--u+iv&-is
-\end{pmatrix}
-&=
-s
-\begin{pmatrix}
-i&0\\
-0&-i
-\end{pmatrix}
-+
-u
-\begin{pmatrix}
- 0&1\\
--1&0
-\end{pmatrix}
-+
-v
-\begin{pmatrix}
-0&i\\
-i&0
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
-+
-iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
-+
-is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
-\end{align*}
-Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
-\begin{align*}
-[\sigma_1,\sigma_2]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_3,
-\\
-[\sigma_2,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2
-\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_1.
-\\
-[\sigma_1,\sigma_3]
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-=
-2i\sigma_2,
-\end{align*}
-Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
-der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
-in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
-Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
-\begin{align*}
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_1
-\\
-\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
-&=
--{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
-=
--{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
-=
--{\textstyle\frac12}i\sigma_2
-\end{align*}
-Die lineare Abbildung, die
-\begin{align*}
-\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
-\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
-\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
-\end{align*}
-abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
-auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
-Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
-haben also die gleiche Lie-Algebra.
-
-Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
-als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
-Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
-Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
-
-
-
-
-
+%
+% lie-algebren.tex -- Lie-Algebren
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Lie-Algebren
+\label{buch:section:lie-algebren}}
+\rhead{Lie-Algebren}
+Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass alle beschriebenen
+Matrizengruppen als Untermannigfaltigkeiten im $n^2$-dimensionalen
+Vektorraum $M_n(\mathbb{R}9$ betrachtet werden können.
+Die Gruppen haben damit nicht nur die algebraische Struktur einer
+Matrixgruppe, sie haben auch die geometrische Struktur einer 
+Mannigfaltigkeit.
+Insbesondere ist es sinnvoll, von Ableitungen zu sprechen.
+
+Eindimensionale Untergruppen einer Gruppe können auch als Kurven
+innerhalb der Gruppe angesehen werden.
+In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man zu jeder eindimensionalen
+Untergruppe einen Vektor in $M_n(\mathbb{R})$ finden kann derart, dass
+der Vektor als Tangentialvektor an diese Kurve gelten kann.
+Aus einer Abbildung zwischen der Gruppe und diesen Tagentialvektoren
+erhält man dann auch eine algebraische Struktur auf diesen Tangentialvektoren,
+die sogenannte Lie-Algebra.
+Sie ist charakteristisch für die Gruppe.
+Insbesondere werden wir sehen, wie die Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ 
+und $\operatorname{SU}(2)$ die gleich Lie-Algebra haben und dass die
+Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$ mit dem Vektorprodukt in $\mathbb{R}^3$
+übereinstimmt.
+
+%
+% Die Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+%
+\subsection{Lie-Algebra einer Matrizengruppe
+\label{buch:section:lie-algebra-einer-matrizengruppe}}
+Zu jedem Tangentialvektor $A$ im Punkt $I$ einer Matrizengruppe gibt es
+eine Einparameteruntergruppe, die mit Hilfe der Exponentialfunktion
+$e^{At}$ konstruiert werden kann.
+Für die folgende Konstruktion arbeiten wir in der Gruppe
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, in der jede Matrix auch ein
+Tangentialvektor ist.
+Wir werden daraus die Lie-Klammer ableiten und später verifizieren,
+dass diese auch für die Tangentialvektoren der Gruppen
+$\operatorname{SO}(n)$ oder $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ funktioniert.
+
+\subsubsection{Lie-Klammer}
+Zu zwei verschiedenen Tagentialvektoren $A\in M_n(\mathbb{R})$ und
+$B\in M_n(\mathbb{R})$ gibt es zwei verschiedene Einparameteruntergruppen
+$e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+Wenn die Matrizen $A$ und $B$ oder die Einparameteruntergruppen 
+$e^{At}$ und $e^{Bt}$ vertauschbar sind, dann stimmen 
+$e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ nicht überein.
+Die zugehörigen Potenzreihen sind:
+\begin{align*}
+e^{At}
+&=
+I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \frac{A^3t^3}{3!} + \dots
+\\
+e^{Bt}
+&=
+I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \frac{B^3t^3}{3!} + \dots
+\\
+e^{At}e^{Bt}
+&=
+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\\
+&=
+I+(A+B)t + \biggl(\frac{A^2}{2!}+AB+\frac{B^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
+\\
+e^{Bt}e^{At}
+&=
+\biggl(I+Bt + \frac{B^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\biggl(I+At + \frac{A^2t^2}{2!} + \dots\biggr)
+\\
+&=
+I+(B+A)t + \biggl(\frac{B^2}{2!}+BA+\frac{A^2}{2!}\biggr)t^2 +\dots
+\intertext{%
+Die beiden Kurven $e^{At}e^{Bt}$ und $e^{Bt}e^{At}$ haben zwar den gleichen
+Tangentialvektor für $t=0$, sie unterscheiden
+sich aber untereinander, und sie unterscheiden sich von der
+Einparameteruntergruppe von $A+B$}
+e^{(A+B)t}
+&=
+I + (A+B)t + \frac{t^2}{2}(A^2 + AB + BA + B^2) + \ldots
+\intertext{Für die Unterschiede finden wir}
+e^{At}e^{Bt} - e^{(A+B)t}
+&=
+\biggl(AB-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
++\ldots
+=
+(AB-BA) \frac{t^2}{2} + \ldots
+=
+[A,B]\frac{t^2}{2}+\ldots
+\\
+e^{Bt}e^{At} - e^{(A+B)t}
+&=
+\biggl(BA-\frac{AB+BA}2\biggr)t^2
++\ldots
+=
+(BA-AB)
+\frac{t^2}{2}
++\ldots
+=
+-[A,B]\frac{t^2}{2}
+\\
+e^{At}e^{Bt}-e^{Bt}e^{At}
+&=
+(AB-BA)t^2+\ldots
+=
+\phantom{-}[A,B]t^2+\ldots
+\end{align*}
+wobei mit $[A,B]=AB-BA$ abgekürzt wird.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:gruppen:def:kommutator}
+Der Kommutator zweier Matrizen $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ ist die Matrix
+$[A,B]=AB-BA$.
+\end{definition}
+
+Der Kommutator ist bilinear und antisymmetrisch, da
+\begin{align*}
+[\lambda A+\mu B,C]
+&=
+\lambda AC+\mu BC-\lambda CA -\mu CB
+=
+\lambda[A,C]+\mu[B,C]
+\\
+[A,\lambda B+\mu C]
+&=
+\lambda AB + \mu AC - \lambda BA - \mu CA
+=
+\lambda[A,B]+\mu[A,C]
+\\
+[A,B]
+&=
+AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A].
+\end{align*}
+Aus der letzten Bedingung folgt insbesodnere $[A,A]=0$
+
+Der Kommutator $[A,B]$ misst in niedrigster Ordnung den Unterschied
+zwischen den $e^{At}$ und $e^{Bt}$.
+Der Kommutator der Tangentialvektoren $A$ und $B$ bildet also die
+Nichtkommutativität der Matrizen $e^{At}$ und $e^{Bt}$ ab.
+
+
+\subsubsection{Die Jacobi-Identität}
+Der Kommutator hat die folgende zusätzliche algebraische Eigenschaft:
+\begin{align*}
+[A,[B,C]]
++
+[B,[C,A]]
++
+[C,[A,B]]
+&=
+[A,BC-CB]
++
+[B,CA-AC]
++
+[C,AB-BA]
+\\
+&=\phantom{+}
+ABC-ACB-BCA+CBA
+\\
+&\phantom{=}+
+BCA-BAC-CAB+ACB
+\\
+&\phantom{=}+
+CAB-CBA-ABC+BAC
+\\
+&=0.
+\end{align*}
+Diese Eigenschaft findet man auch bei anderen Strukturen, zum Beispiel
+bei Vektorfeldern, die man als Differentialoperatoren auf Funktionen 
+betrachten kann.
+Man kann dann einen Kommutator $[X,Y]$ für zwei Vektorfelder
+$X$ und $Y$ definieren.
+Dieser Kommutator von Vektorfeldern erfüllt ebenfalls die gleiche
+Identität.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:gruppen:def:jacobi}
+Ein bilineares Produkt $[\;,\;]\colon V\times V\to V$ auf dem Vektorraum
+erfüllt die {\em Jacobi-Identität}, wenn 
+\[
+[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]]=0
+\]
+ist für beliebige Vektoren $u,v,w\in V$.
+\end{definition}
+
+\subsubsection{Lie-Algebra}
+Die Tangentialvektoren einer Lie-Gruppe tragen also mit dem Kommutator
+eine zusätzliche Struktur, nämlich die Struktur einer Lie-Algebra.
+
+\begin{definition}
+Ein Vektorraum $V$ mit einem bilinearen, Produkt
+\[
+[\;,\;]\colon V\times V \to V : (u,v) \mapsto [u,v],
+\]
+welches zusätzlich die Jacobi-Identität~\ref{buch:gruppen:def:jacobi}
+erfüllt, heisst eine {\em Lie-Algebra}.
+\end{definition}
+
+Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe $G$ wird mit $LG$ bezeichnet.
+$LG$ besteht aus den Tangentialvektoren im Punkt $I$.
+Die Exponentialabbildung $\exp\colon LG\to G:A\mapsto e^A$
+ist eine differenzierbare Abbildung von $LG$ in die Gruppe $G$.
+Insbesondere kann die Inverse der Exponentialabbildung als eine
+Karte in einer Umgebung von $I$ verwendet werden.
+
+Für die Lie-Algebren der Matrizengruppen, die früher definiert worden
+sind, verwenden wir die als Notationskonvention, dass der Name der
+Lie-Algebra der mit kleinen Buchstaben geschrieben Name der Lie-Gruppe ist.
+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(n)$ ist also
+$L\operatorname{SO}(n) = \operatorname{os}(n)$,
+die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ ist
+$L\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})=\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})$.
+
+
+%
+% Die Lie-Algebra von SO(3)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SO}(3)$
+\label{buch:subsection:die-lie-algebra-von-so3}}
+Zur Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehmatrizen gehört die Lie-Algebra
+$\operatorname{so}(3)$ der antisymmetrischen $3\times 3$-Matrizen.
+Solche Matrizen haben die Form
+\[
+\Omega
+=
+\begin{pmatrix}
+    0    & \omega_3&-\omega_2\\
+-\omega_3&   0     & \omega_1\\
+ \omega_2&-\omega_1&    0
+\end{pmatrix}
+\]
+Der Vektorraum $\operatorname{so}(3)$ ist also dreidimensional.
+
+Die Wirkung von $I+t\Omega$ auf einem Vektor $x$ ist
+\[
+(I+t\Omega)
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+    1     & t\omega_3&-t\omega_2\\
+-t\omega_3&   1      & t\omega_1\\
+ t\omega_2&-t\omega_1&    1
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+x_1-t(-\omega_3x_2+\omega_2x_3)\\
+x_2-t( \omega_3x_1-\omega_1x_3)\\
+x_3-t(-\omega_2x_1+\omega_1x_2)
+\end{pmatrix}
+=
+x- t\begin{pmatrix}\omega_1\\\omega_2\\\omega_3\end{pmatrix}\times x
+=
+x+ tx\times \omega.
+\]
+Die Matrix $\Omega$ ist als die infinitesimale Version einer Drehung
+um die Achse $\omega$.
+
+Wir können die Analogie zwischen Matrizen in $\operatorname{so}(3)$ und
+Vektoren in $\mathbb R^3$ noch etwas weiter treiben. Zu jedem Vektor
+in $\mathbb R^3$ konstruieren wir eine Matrix in $\operatorname{so}(3)$
+mit Hilfe der Abbildung
+\[
+\mathbb R^3\to\operatorname{so}(3)
+:
+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}.
+\]
+Der Kommutator von zwei so aus Vektoren $\vec u$ und $\vec v$
+konstruierten Matrizen $U$ und $V$ ist:
+\begin{align*}
+[U,V]
+&=
+UV-VU
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+  0 & u_3&-u_1\\
+-u_3&  0 & u_2\\
+ u_1&-u_2&  0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+  0 & v_3&-v_1\\
+-v_3&  0 & v_2\\
+ v_1&-v_2&  0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+  0 & u_3&-u_1\\
+-u_3&  0 & u_2\\
+ u_1&-u_2&  0
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+u_3v_3+u_1v_1 - u_3v_3 - u_1v_1
+        & u_1v_2 - u_2v_1
+                & u_3v_2 - u_2v_3
+\\
+u_2v_1 - u_1v_2
+        & -u_3v_3-u_2v_2 + u_3v_3+u_2v_2
+                & u_3v_1 - u_1v_3
+\\
+u_2v_3 - u_3v_2
+        & u_1v_3 - u_3v_1
+                &-u_1v_1-u_2v_2 u_1v_1+u_2v_2
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+0
+        & u_1v_2 - u_2v_1
+                &-(u_2v_3-u_3v_2)
+\\
+-( u_1v_2 - u_2v_1)
+        & 0
+                & u_3v_1 - u_1v_3
+\\
+u_2v_3 - u_3v_2
+        &-( u_3v_1 - u_1v_3)
+                & 0
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrix $[U,V]$ gehört zum Vektor $\vec u\times\vec v$.
+Damit können wir aus der Jacobi-Identität jetzt folgern, dass
+\[
+\vec u\times(\vec v\times w)
++
+\vec v\times(\vec w\times u)
++
+\vec w\times(\vec u\times v)
+=0
+\]
+für drei beliebige Vektoren $\vec u$, $\vec v$ und $\vec w$ ist.
+Dies bedeutet, dass der dreidimensionale Vektorraum $\mathbb R^3$
+mit dem Vektorprodukt zu einer Lie-Algebra wird.
+In der Tat verwenden einige Bücher statt der vertrauten Notation
+$\vec u\times \vec v$ für das Vektorprodukt die aus der Theorie der
+Lie-Algebren entlehnte Notation $[\vec u,\vec v]$, zum Beispiel
+das Lehrbuch der Theoretischen Physik \cite{skript:landaulifschitz1}
+von Landau und Lifschitz.
+
+Die Lie-Algebren sind vollständig klassifiziert worden, es gibt
+keine nicht trivialen zweidimensionalen Lie-Algebren.
+Unser dreidimensionaler Raum ist also auch in dieser Hinsicht speziell:
+es ist der kleinste Vektorraum, in dem eine nichttriviale Lie-Algebra-Struktur
+möglich ist.
+
+Die antisymmetrischen Matrizen
+\[
+\omega_{23}
+=
+\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}
+\quad
+\omega_{31}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}
+\quad
+\omega_{12}
+=
+\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}
+\]
+haben die Kommutatoren
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+[\omega_{23},\omega_{31}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&-1&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{12}
+\\
+[\omega_{31},\omega_{12}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&1&0\\
+-1&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{23}
+\\
+[\omega_{12},\omega_{23}]
+&=
+\begin{pmatrix}
+0&0&-1\\
+0&0&0\\
+1&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+\omega_{31}
+\end{aligned}
+\label{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}
+\end{equation}
+
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$}
+Die Lie-Algebra von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ besteht aus den
+spurlosen Matrizen in $M_n(\mathbb{R})$.
+Der Kommutator solcher Matrizen erfüllt
+\[
+\operatorname{Spur}([A,B])
+=
+\operatorname{Spur}(AB-BA)
+=
+\operatorname{Spur}(AB)-\operatorname{Spur}(BA)
+=
+0,
+\]
+somit ist 
+\[
+\operatorname{sl}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; \operatorname{Spur}(A)=0
+\}
+\]
+mit dem Kommutator eine Lie-Algebra.
+
+%
+% Die Lie-Algebra von U(n)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{U}(n)$}
+Die Lie-Gruppe
+\[
+U(n)
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{C}
+\;|\;
+AA^*=I
+\}
+\]
+heisst die unitäre Gruppe, sie besteht aus den Matrizen, die
+das sesquilineare Standardskalarprodukt auf dem komplexen
+Vektorraum $\mathbb{C}^n$ invariant lassen.
+Sei eine $\gamma(t)$ ein differenzierbare Kurve in $\operatorname{U}(n)$
+derart, dass $\gamma(0)=I$.
+Die Ableitung der Identität $AA^*=I$ führt dann auf 
+\begin{align*}
+0
+=
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)\gamma(t)^*
+\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{\gamma}(0)\gamma(0)^*
++
+\gamma(0)\dot{\gamma}(0)^*
+=
+\dot{\gamma}(0)
++
+\dot{\gamma}(0)^*
+\quad\Rightarrow\quad
+\dot{\gamma}(0)&=-\dot{\gamma}(0)^*.
+A&=-A^*
+\end{align*}
+Die Lie-Algebra $\operatorname{u}(n)$ besteht daher aus den antihermiteschen
+Matrizen.
+
+Wir sollten noch verifizieren, dass der Kommutator zweier antihermiteschen
+Matrizen wieder anithermitesch ist:
+\begin{align*}
+[A,B]^*
+&=
+(AB-BA)^*
+=
+B^*A^*-A^*B^*
+=
+BA - AB
+=
+-[B,A].
+\end{align*}
+
+Eine antihermitesche Matrix erfüllt $a_{ij}=-\overline{a}_{ji}$,
+für die Diagonalelemente folgt daher $a_{ii} = -\overline{a}_{ii}$
+oder $\overline{a}_{ii}=-a_{ii}$.
+Der Realteil von $a_{ii}$ ist
+\[
+\Re a_{ii}
+=
+\frac{a_{ii}+\overline{a}_{ii}}2
+=
+0,
+\]
+die Diagonalelemente einer antihermiteschen Matrix sind daher rein
+imaginär.
+
+
+%
+% Die Lie-Algebra SU(2)
+%
+\subsection{Die Lie-Algebra von $\operatorname{SU}(2)$}
+Die Lie-Algebra $\operatorname{su}(n)$ besteht aus den
+spurlosen antihermiteschen Matrizen.
+Sie erfüllen daher die folgenden Bedingungen:
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\qquad
+\text{mit}
+\qquad
+\left\{
+\begin{aligned}
+a+d&=0&&\Rightarrow& a=is = -d
+\\
+b^*&=-c
+\end{aligned}
+\right.
+\]
+Damit hat $A$ die Form
+\begin{align*}
+A=\begin{pmatrix}
+is&u+iv\\
+-u+iv&-is
+\end{pmatrix}
+&=
+s
+\begin{pmatrix}
+i&0\\
+0&-i
+\end{pmatrix}
++
+u
+\begin{pmatrix}
+ 0&1\\
+-1&0
+\end{pmatrix}
++
+v
+\begin{pmatrix}
+0&i\\
+i&0
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+iv\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_1}
++
+iu\underbrace{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_2}
++
+is\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}_{\displaystyle=\sigma_3}
+\end{align*}
+Diese Matrizen heissen die {\em Pauli-Matrizen}, sie haben die Kommutatoren
+\begin{align*}
+[\sigma_1,\sigma_2]
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2\begin{pmatrix}i&0\\0&-i \end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_3,
+\\
+[\sigma_2,\sigma_3]
+&=
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+2
+\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_1.
+\\
+[\sigma_1,\sigma_3]
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2i
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+=
+2i\sigma_2,
+\end{align*}
+Bis auf eine Skalierung stimmt dies überein mit den Kommutatorprodukten
+der Matrizen $\omega_{23}$, $\omega_{31}$ und $\omega_{12}$
+in \eqref{buch:gruppen:eqn:so3-kommutatoren}.
+Die Matrizen $-\frac12i\sigma_j$ haben die Kommutatorprodukte
+\begin{align*}
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_1,-{\textstyle\frac12}i\sigma_2\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_1,\sigma_2]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_3
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\\
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_2,-{\textstyle\frac12}i\sigma_3\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_2,\sigma_3]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_1
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_1
+\\
+\bigl[-{\textstyle\frac12}i\sigma_3,-{\textstyle\frac12}i\sigma_1\bigr]
+&=
+-{\textstyle\frac14}[\sigma_3,\sigma_1]
+=
+-{\textstyle\frac14}\cdot 2i\sigma_2
+=
+-{\textstyle\frac12}i\sigma_2
+\end{align*}
+Die lineare Abbildung, die
+\begin{align*}
+\omega_{23}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_1\\
+\omega_{31}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_2\\
+\omega_{12}&\mapsto -{\textstyle\frac12}i\sigma_3
+\end{align*}
+abbildet ist daher ein Isomorphismus der Lie-Algebra $\operatorname{so}(3)$
+auf die Lie-Algebra $\operatorname{su}(2)$.
+Die Lie-Gruppen $\operatorname{SO}(3)$ und $\operatorname{SU}(2)$
+haben also die gleiche Lie-Algebra.
+
+Tatsächlich kann man Hilfe von Quaternionen die Matrix $\operatorname{SU}(2)$
+als Einheitsquaternionen beschreiben und damit eine Darstellung der
+Drehmatrizen in $\operatorname{SO}(3)$ finden.
+Dies wird in Kapitel~\ref{chapter:clifford} dargestellt.
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
index d6fc007..2c88b76 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/lie-gruppen.tex
@@ -1,881 +1,881 @@
-%
-% lie-gruppen.tex -- Lie-Gruppebn
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Lie-Gruppen
-\label{buch:section:lie-gruppen}}
-\rhead{Lie-Gruppen}
-Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich
-durch zusätzliche Eigenschaften aus.
-Die Gruppe
-\[
-\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 
-=
-\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
-\]
-besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
-Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
-in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
-sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
-Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem
-Abschnitt genauer untersucht werden sollen.
-
-\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
-\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
-Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
-wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
-zu finden.
-Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
-andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.
-Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung
-$U_e\subset G$ von $e\in G$.
-Für $g\in G$ ist dann die Abbildung
-\[
-\varphi_g
-\colon
-U_g
-=
-gU_e
-\to
-\mathbb{R}
-:
-h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
-\]
-eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
-schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
-kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
-schreiben.
-
-\subsubsection{Kartenwechsel}
-Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
-und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
-\[
-\varphi_{g_1,g_2}
-=
-\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}
-=
-\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}
-\]
-mit der Ableitung
-\[
-D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}
-=
-D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.
-\]
-Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit
-einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel
-nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation
-$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.
-Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,
-die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
-
-Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine
-Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen
-reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen
-Elementes parametrisieren kann.
-Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.
-Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
-ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,
-wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare
-Abbildung ist.
-Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.
-
-\begin{definition}
-\index{Lie-Gruppe}%
-Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
-\begin{align*}
-G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
-\\
-G\to G &: g \mapsto g^{-1}
-\end{align*}
-differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
-\end{definition}
-
-Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die 
-Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie
-jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer 
-Matrizengruppe verstehen lässt.
-Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
-Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
-zu entwickeln.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
-Die Matrizengruppen sind alle in der
-$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-enthalten.
-Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
-$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
-Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
-Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
-\[
-\frac{d}{dt}
-\gamma(t)
-=
-\begin{pmatrix}
-\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
-\vdots              &\ddots&\vdots              \\
-\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
-\end{pmatrix}
-\]
-gegeben.
-
-Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
-einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
-Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
-transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in 
-Tangentialvektoren im Punkt $g$.
-
-\begin{aufgabe}
-Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
-$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
-für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
-durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
-\end{aufgabe}
-
-Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt}\gamma(t)
-=
-\gamma(t)\cdot A
-\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
-\end{equation}
-erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
-in $e=I$ ist.
-
-Die Matrixexponentialfunktion
-\[
-e^{At}
-=
-1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
-\]
-liefert eine Einparametergruppe
-$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
-\[
-\frac{d}{dt} e^{At}
-=
-\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
-=
-\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
-=
-e^{At} A.
-\]
-Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
-
-\subsection{Drehungen in der Ebene
-\label{buch:gruppen:drehungen2d}}
-Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
-des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
-als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
-Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
-beschrieben werden kann.
-
-\subsubsection{Die Untergruppe
-$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
-Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
-Matrizen der Form
-\[
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-dargestellt werden.
-Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit
-$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
-Die Abbildung
-\[
-D_{\bullet}
-\colon
-\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2)
-:
-\alpha \mapsto D_{\alpha}
-\]
-hat die Eigenschaften
-\begin{align*}
-D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta}
-\\
-D_0&=I
-\\
-D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}.
-\end{align*}
-Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische
-Funktion ist.
-$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
-die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
-
-Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
-$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
-die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
-Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
-$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
-in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die 
-$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
-Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
-mit $k\in \mathbb{Z}$.
-In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
-Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
-von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
-Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
-
-\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
-Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
-Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
-Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
-Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$.
-Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung
-\[
-f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha}
-\]
-hat die Eigenschaften
-\begin{align*}
-f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta)
-\\
-f(0)&=1
-\\
-f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z},
-\end{align*}
-die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ 
-analog sind.
-
-Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form
-$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des
-Einheitskreises in der Ebene.
-Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
-Betrag $1$.
-$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl
-$z,w\in S^1$ gilt
-$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$.
-
-Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache
-von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$.
-Damit kann man jetzt die Abbildung
-\[
-\varphi
-\colon
-S^1\to \operatorname{SO}(2)
-:
-z\mapsto  D_{\alpha(z)}
-\]
-konstruieren.
-Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache
-von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche
-Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher
-wohldefiniert.
-$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen
-\begin{align*}
-\varphi(z_1z_2)
-&=
-D_{\alpha(z_1z_2)}
-=
-D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)}
-=
-D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)}
-=
-\varphi(z_1)\varphi(z_2)
-\\
-\varphi(1)
-&=
-D_{\alpha(1)}
-=
-D_0
-=
-I
-\end{align*}
-Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$
-in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
-Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
-in der komplexen Ebene identifiziert werden.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
-Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
-ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
-mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
-Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt} \gamma(t)
-&=
-\frac{d}{d\alpha}
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
-\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\frac{d\alpha}{dt}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
--\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
- \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\dot{\alpha}(t)
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
-\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-0&-1\\
-1&0
-\end{pmatrix}
-\cdot
-\dot{\alpha}(t)
-=
-D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
-\end{align*}
-Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
-entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
-mit $\dot{\alpha}(t)$.
-
-%
-% Isometrien von R^n
-%
-\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
-\label{buch:gruppen:isometrien}}
-
-\subsubsection{Skalarprodukt}
-Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
-$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
-Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
-bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
-Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
-für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
-$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
-Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
-\[
-\langle Ax,Ay\rangle
-=
-(Ax)^tAy
-=
-x^tA^tAy
-=
-x^ty
-=
-\langle x,y\rangle
-\]
-für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.
-
-Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix
-einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.
-Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion
-des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$.
-Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.
-Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente
-$a_{ij}=e_i^tAe_j$.
-
-\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
-Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
-$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$
-sind diejenigen der Einheitsmatrix,
-die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
-Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
-Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht
-daher aus den Matrizen
-\[
-\operatorname{O}(n)
-=
-\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
-\]
-Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
-die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
-Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.
-Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher
-die Dimension
-\[
-n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
-=
-\frac{2n^2-n^2-n}{2}
-=
-\frac{n(n-1)}2.
-\]
-Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
-
-\subsubsection{Tangentialvektoren}
-Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
-von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 
-kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
-Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
-kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
-von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
-Orthogonal bedeutet 
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-0
-&=
-\frac{d}{dt}I
-=
-\frac{d}{dt}
-(\gamma(t)^t\gamma(t))
-=
-\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
-+
-\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
-\\
-&\Rightarrow&
-0
-&=
-\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
-=
-\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
-=
-A^t+A=0
-\\
-&\Rightarrow&
-A^t&=-A
-\end{aligned}
-\]
-Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
-die antisymmetrischen Matrizen.
-
-Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
-$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
-gezeigt wurde.
-
-Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
-$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
-antisymmetrisch.
-Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
-Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
-$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
-
-Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
-haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
-Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
-zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
-
-\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
-Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
-die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
-Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante
-einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.
-Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.
-
-Die Gruppe
-\[
-\operatorname{SO}(n)
-=
-\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
-\]
-heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
-Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.
-
-\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}
-Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen
-Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.
-Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den
-Drehwinkel.
-Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt
-auf der zweidimensionalen Kugel.
-Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
-
-Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
-aus den Matrizen
-\begin{align*}
-D_{x,\alpha}
-&=
-\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
-0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-0&\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix},
-&
-D_{y,\beta}
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\beta&0&\sin\beta\\
-      0    &1&     0    \\
--\sin\beta&0&\cos\beta
-\end{pmatrix},
-&
-D_{z,\gamma}
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
-\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
-    0     &     0     &1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-e^{A_{23}t}
-&
-&=
-e^{-A_{13}t}
-&
-&=
-e^{A_{21}t}
-\end{align*}
-die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
-beschreiben.
-Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
-drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
-angesehen werden.
-
-%
-% Spezielle lineare Gruppe
-%
-\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
-die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-\label{buch:gruppen:sl}}
-Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
-Orientierung, also auch das Volumen.
-Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
-nicht notwendigerweise erhalten.
-Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
-haben die Determinante $\det A=1$.
-Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
-Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
-
-\begin{definition}
-Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
-\[
-\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
-=
-\{
-A\in M_n(\mathbb{R})
-\;|\;
-\det (A) = 1
-\}
-\]
-sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
-\end{definition}
-
-Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-bestimmen.
-Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
-mit $A(0)=I$.
-Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
-\[
-\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
-\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
-\]
-Für $n=2$ ist
-\begin{align*}
-A(t)
-&=
-\begin{pmatrix}
-a(t)&b(t)\\
-c(t)&d(t)
-\end{pmatrix}
-\in
-\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
-&&\Rightarrow&
-\frac{d}{dt}
-\det A(t)\bigg|_{t=0}
-&=
-\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
--
-\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
-\\
-&&&&
-&=
-\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
-\\
-&&&&
-&=
-\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
-\end{align*}
-Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
-$n\times n$-Matrizen.
-
-\begin{satz}
-Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
-mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis]
-Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
-\[
-\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
-\]
-Die Ableitung nach $t$ ist
-\[
-\frac{d}{dt} \det A(t)
-=
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
-+
-\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
-\]
-An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
-eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
-Summe ist daher der erste.
-In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
-jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
-\begin{equation}
-\frac{d}{dt} \det A(t)
-=
-\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
-+
-\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
-=
-\dot{a}_{11}(0) 
-+
-\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
-\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
-\end{equation}
-Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
-vollständiger Induktion verwendet werden.
-
-Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
-genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
-ist.
-Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
-$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
-\[
-\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
-=
-\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
-\]
-ist, folgt jetzt mit
-\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
-\[
-\frac{d}{dt}A(0)
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
-=
-\dot{a}_{11}(0)
-+
-\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
-=
-\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
-\]
-Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
-\end{proof}
-
-\begin{beispiel}
-Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind 
-die spurlosen Matrizen
-\[
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\quad\Rightarrow\quad
-\operatorname{Spur}A=a+d=0
-\quad\Rightarrow\quad
-A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
-\]
-Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
-Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
-\begin{align*}
-A
-&=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{At}
-&=
-\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
-\\
-B
-&=
-\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{Bt}
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos t & -\sin t\\
-\sin t &  \cos t
-\end{pmatrix}
-\\
-C
-&=
-\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
-&&\Rightarrow&
-e^{Ct}
-&=
-I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
-\\
-&&&&
-&=
-I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
-+
-C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
-\\
-&&&&
-&=
-I\cosh t + C \sinh t
-=
-\begin{pmatrix}
-\cosh t & \sinh t\\
-\sinh t & \cosh t
-\end{pmatrix},
-\end{align*}
-wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
-dass $C^2=I$.
-
-Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
-Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
-Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
-damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
-Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
-Eigenvektoren:
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-&\mapsto
-e^{Ct}
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-(\cosh t +\sinh t)
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-\biggl(
-\frac{e^t+e^{-t}}2
-+
-\frac{e^t-e^{-t}}2
-\biggr)
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-=
-e^t
-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
-\\
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-&\mapsto
-e^{Ct}
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-(\cosh t -\sinh t)
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-\biggl(
-\frac{e^t+e^{-t}}2
--
-\frac{e^t-e^{-t}}2
-\biggr)
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-=
-e^{-t}
-\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
-\end{align*}
-Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
-die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
-Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
-auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
-\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
-für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
-linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
-In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den
-Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
-zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
-In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
-der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
-\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
-\end{figure}%
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}
-\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung 
-Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen,
-die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen.
-\label{buch:gruppen:fig:scherungen}}
-\end{figure}
-\end{beispiel}
-
-%
-% Die Gruppe SU(2)
-%
-\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
-\label{buch:gruppen:su2}}
-Die Menge der Matrizen
-\[
-\operatorname{SU}(2)
-=
-\left\{
-\left.
-A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}
-\;\right|\;
-a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I
-\right\}
-\]
-heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.
-Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist 
-$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.
-Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte
-von $a$ und $b$ weiter ein.
-Aus 
-\[
-A^*
-=
-\begin{pmatrix}
-\overline{a}&\overline{c}\\
-\overline{b}&\overline{d}
-\end{pmatrix}
-\]
-und den Bedingungen führen die Gleichungen
-\[
-\begin{aligned}
-a\overline{a}+b\overline{b}&=1
-&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1
-\\
-a\overline{c}+b\overline{d}&=0
-&&\Rightarrow&
-\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}
-\\
-c\overline{a}+d\overline{b}&=0
-&&\Rightarrow&
-\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}
-\\
-c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1
-\\
-ad-bc&=1
-\end{aligned}
-\]
-Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$
-gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.
-Damit wird die Bedingung an die Determinante zu
-\[
-1
-=
-ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})
-=
-t(|a|^2+|b|^2)
-=
-t,
-\]
-also muss die Matrix $A$ die Form haben
-\[
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-a&b\\
--\overline{b}&\overline{a}
-\end{pmatrix}
-\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.
-\]
-Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,
-dann besteht $SU(2)$  aus den Matrizen der Form
-\[
-A=
-\begin{pmatrix}
- a_1+ia_2&b_1+ib_2\\
--b_1+ib_2&a_1-ia_2
-\end{pmatrix}
-\]
-mit der zusätzlichen Bedingung
-\[
-|a|^2+|b|^2
-=
-a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.
-\]
-Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer
-eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$
-eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.
-Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen
-Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.
-
-
-
+%
+% lie-gruppen.tex -- Lie-Gruppebn
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Lie-Gruppen
+\label{buch:section:lie-gruppen}}
+\rhead{Lie-Gruppen}
+Die in bisherigen Beispielen untersuchten Matrizengruppen zeichnen sich
+durch zusätzliche Eigenschaften aus.
+Die Gruppe
+\[
+\operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) 
+=
+\{ A \in M_n(\mathbb{R})\;|\; \det A \ne 0\}
+\]
+besteht aus den Matrizen, deren Determinante nicht $0$ ist.
+Da die Menge der Matrizen mit $\det A=0$ eine abgeschlossene Menge
+in $M_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{n^2}$ ist, ist
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ eine offene Teilmenge in $\mathbb{R}^{n^2}$,
+sie besitzt also automatisch die Struktur einer $n^2$-Mannigfaltigkeit.
+Dies gilt jedoch auch für alle anderen Matrizengruppen, die in diesem
+Abschnitt genauer untersucht werden sollen.
+
+\subsection{Mannigfaltigkeitsstruktur der Matrizengruppen
+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeitsstruktur-der-matrizengruppen}}
+Eine Matrizengruppe wird automatsich zu einer Mannigfaltigkeit,
+wenn es gelingt, eine Karte für eine Umgebung des neutralen Elements
+zu finden.
+Dazu muss gezeigt werden, dass sich aus einer solchen Karte für jedes
+andere Gruppenelement eine Karte für eine Umgebung ableiten lässt.
+Sei also $\varphi_e\colon U_e\mathbb{R}^N$ eine Karte für die Umgebung
+$U_e\subset G$ von $e\in G$.
+Für $g\in G$ ist dann die Abbildung
+\[
+\varphi_g
+\colon
+U_g
+=
+gU_e
+\to
+\mathbb{R}
+:
+h\mapsto \varphi_e(g^{-1}h)
+\]
+eine Karte für die Umgebung $U_g$ des Gruppenelementes $g$.
+schreibt man $l_{g}$ für  die Abbildung $h\mapsto gh$, dann
+kann man die Kartenabbildung auch $\varphi_g = \varphi_e\circ l_{g^{-1}}$
+schreiben.
+
+\subsubsection{Kartenwechsel}
+Die Kartenwechsel-Abbildungen für zwei Karten $\varphi_{g_1}$
+und $\varphi_{g_2}$ ist die Abbildung
+\[
+\varphi_{g_1,g_2}
+=
+\varphi_{g_1}\circ \varphi_{g_2}^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ (\varphi_e\circ l_{g_2^{-1}})^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2^{-1}}^{-1} \varphi_e^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}} \circ l_{g_2}\varphi_e^{-1}
+=
+\varphi_e\circ l_{g_1^{-1}g_2}\varphi_e^{-1}
+\]
+mit der Ableitung
+\[
+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} D\varphi_e^{-1}
+=
+D\varphi_e\circ Dl_{g_1^{-1}g_2} (D\varphi_e)^{-1}.
+\]
+Die Abbildung $l_{g_1^{-1}g_2}$ ist aber nur die Multiplikation mit
+einer Matrix, also eine lineare Abbildung, so dass der Kartenwechsel
+nichts anderes ist als die Darstellung der Matrix der Linksmultiplikation
+$l_{g_1^{-1}g_2}$ im Koordinatensystem der Karte $U_e$ ist.
+Differenzierbarkeit der Kartenwechsel ist damit sichergestellt,
+die Matrizengruppen sind automatisch differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
+
+Die Konstruktion aller Karten aus einer einzigen Karte für eine
+Umgebung des neutralen Elements zeigt auch, dass es für die Matrizengruppen
+reicht, wenn man die Elemente in einer Umgebung des neutralen
+Elementes parametrisieren kann.
+Dies ist jedoch nicht nur für die Matrizengruppen möglich.
+Wenn eine Gruppe gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
+ist, dann können Karten über die ganze Gruppe transportiert werden,
+wenn die Multiplikation mit Gruppenelementen eine differenzierbare
+Abbildung ist.
+Solche Gruppen heissen auch Lie-Gruppen gemäss der folgenden Definition.
+
+\begin{definition}
+\index{Lie-Gruppe}%
+Eine {\em Lie-Gruppe} ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit ist derart, dass die Abbildungen
+\begin{align*}
+G\times G \to G &: (g_1,g_2)\mapsto g_1g_2
+\\
+G\to G &: g \mapsto g^{-1}
+\end{align*}
+differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind.
+\end{definition}
+
+Die Abstraktheit dieser Definition täuscht etwas über die 
+Tatsache hinweg, dass sich mit Hilfe der Darstellungstheorie
+jede beliebige Lie-Gruppe als Untermannigfaltigkeit einer 
+Matrizengruppe verstehen lässt.
+Das Studium der Matrizengruppen erlaubt uns daher ohne grosse
+Einschränkungen ein Verständnis für die Theorie der Lie-Gruppen
+zu entwickeln.
+
+\subsubsection{Tangentialvektoren und die Exponentialabbildung}
+Die Matrizengruppen sind alle in der
+$n^2$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+enthalten.
+Diffferenzierbare Kurven $\gamma(t)$ in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+haben daher in jedem Punkt Tangentialvektoren, die als Matrizen in
+$M_n(\mathbb{R})$ betrachtet werden können.
+Wenn $\gamma(t)$ die Matrixelemente $\gamma_{ij}(t)$ hat, dann ist der
+Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$ durch
+\[
+\frac{d}{dt}
+\gamma(t)
+=
+\begin{pmatrix}
+\dot{\gamma}_{11}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{1n}(t)\\
+\vdots              &\ddots&\vdots              \\
+\dot{\gamma}_{n1}(t)&\dots &\dot{\gamma}_{nn}(t)
+\end{pmatrix}
+\]
+gegeben.
+
+Im Allgemeinen kann man Tangentialvektoren in verschiedenen Punkten
+einer Mannigfaltigkeit nicht miteinander vergleichen.
+Die Multiplikation $l_g$, die den Punkt $e$ in den Punkt $g$ verschiebt,
+transportiert auch die Tangentialvektoren im Punkt $e$ in 
+Tangentialvektoren im Punkt $g$.
+
+\begin{aufgabe}
+Gibt es eine Kurve $\gamma(t)\in\mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ mit
+$\gamma(0)=e$ derart, dass der Tangentialvektor im Punkt $\gamma(t)$
+für $t>0$ derselbe ist wie der Tangentialvektor im Punkt $e$, transportiert
+durch Matrixmultiplikation mit $\gamma(t)$?
+\end{aufgabe}
+
+Eine solche Kurve muss die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt}\gamma(t)
+=
+\gamma(t)\cdot A
+\label{buch:gruppen:eqn:expdgl}
+\end{equation}
+erfüllen, wobei $A\in M_n(\mathbb{R})$ der gegebene Tangentialvektor
+in $e=I$ ist.
+
+Die Matrixexponentialfunktion
+\[
+e^{At}
+=
+1+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\frac{A^4t^4}{4!}+\dots
+\]
+liefert eine Einparametergruppe
+$\mathbb{R}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ mit der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{At}
+=
+\lim_{h\to 0} \frac{e^{A(t+h)}-e^{At}}{h}
+=
+\lim_{h\to 0} e^{At}\frac{e^{Ah}-I}{h}
+=
+e^{At} A.
+\]
+Sie ist also Lösung der Differentialgleichung~\eqref{buch:gruppen:eqn:expdgl}.
+
+\subsection{Drehungen in der Ebene
+\label{buch:gruppen:drehungen2d}}
+Die Drehungen der Ebene sind die orientierungserhaltenden Symmetrien
+des Einheitskreises, der in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+als Mannigfaltigkeit erkannt wurde.
+Sie bilden eine Lie-Gruppe, die auf verschiedene Arten als Matrix
+beschrieben werden kann.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe
+$\operatorname{SO}(2)\subset \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$}
+Drehungen der Ebene können in einer orthonormierten Basis durch
+Matrizen der Form
+\[
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden.
+Wir bezeichnen die Menge der Drehmatrizen in der Ebene mit
+$\operatorname{SO}(2)\subset\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
+Die Abbildung
+\[
+D_{\bullet}
+\colon
+\mathbb{R}\to \operatorname{SO}(2)
+:
+\alpha \mapsto D_{\alpha}
+\]
+hat die Eigenschaften
+\begin{align*}
+D_{\alpha+\beta}&= D_{\alpha}D_{\beta}
+\\
+D_0&=I
+\\
+D_{2k\pi}&=I\qquad \forall k\in\mathbb{Z}.
+\end{align*}
+Daraus folgt zum Beispiel, dass $D_{\bullet}$ eine $2\pi$-periodische
+Funktion ist.
+$D_{\bullet}$ bildet die Menge der Winkel $[0,2\pi)$ bijektiv auf
+die Menge der Drehmatrizen in der Ebene ab.
+
+Für jedes Intervall $(a,b)\subset\mathbb{R}$ mit Länge
+$b-a < 2\pi$ ist die Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ umkehrbar,
+die Umkehrung kann als Karte verwendet werden.
+Zwei verschiedene Karten $\alpha_1\colon U_1\to\mathbb{R}$ und
+$\alpha_2\colon U_2\to\mathbb{R}$ bilden die Elemente $g\in U_1\cap U_2$
+in Winkel $\alpha_1(g)$ und $\alpha_2(g)$ ab, für die 
+$D_{\alpha_1(g)}=D_{\alpha_2(g)}$ gilt.
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $\alpha_1(g)=\alpha_2(g)+2\pi k$
+mit $k\in \mathbb{Z}$.
+In einem Intervall in $U_1\cap U_2$ muss $k$ konstant sein.
+Die Kartenwechselabblidung ist also nur die Addition eines Vielfachen
+von $2\pi$, mit der identischen Abbildung als Ableitung.
+Diese Karten führen also auf besonders einfache Kartenwechselabbildungen.
+
+\subsubsection{Die Untergruppe $S^1\subset\mathbb{C}$}
+Ein alternatives Bild für die Drehungen der Ebene kann man in der komplexen
+Ebene $\mathbb{C}$ erhalten.
+Die Multiplikation mit der komplexen Zahl $e^{i\alpha}$ beschreibt eine
+Drehung der komplexen Ebene um den Winkel $\alpha$.
+Die Zahlen der Form $e^{i\alpha}$ haben den Betrag $1$ und die Abbildung
+\[
+f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}:\alpha \mapsto e^{i\alpha}
+\]
+hat die Eigenschaften
+\begin{align*}
+f(\alpha+\beta) &= f(\alpha)f(\beta)
+\\
+f(0)&=1
+\\
+f(2\pi k)&=1\qquad\forall k\in\mathbb{Z},
+\end{align*}
+die zu den Eigenschaften der Abbildung $\alpha\mapsto D_{\alpha}$ 
+analog sind.
+
+Jede komplexe Zahl $z$ vom Betrag $1$ kann geschrieben werden in der Form
+$z=e^{i\alpha}$, die Abbildung $f$ ist also eine Parametrisierung des
+Einheitskreises in der Ebene.
+Wir bezeichen $S^1=\{z\in\mathbb{C}\;|\; |z|=1\}$ die komplexen Zahlen vom
+Betrag $1$.
+$S^1$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da für jede Zahl
+$z,w\in S^1$ gilt
+$|z^{-1}|=1$ und $|zw|=1$ und damit $z^{-1}\in S^1$ und $zw\in S^1$.
+
+Zu einer komplexen Zahl $z\in S^1$ gibt es einen bis auf Vielfache
+von $2\pi$ eindeutigen Winkel $\alpha(z)$ derart, dass $e^{i\alpha(z)}=z$.
+Damit kann man jetzt die Abbildung
+\[
+\varphi
+\colon
+S^1\to \operatorname{SO}(2)
+:
+z\mapsto  D_{\alpha(z)}
+\]
+konstruieren.
+Da $D_{\alpha}$ $2\pi$-periodisch ist, geben um Vielfache
+von $2\pi$ verschiedene Wahlen von $\alpha(z)$ die gleiche
+Matrix $D_{\alpha(z)}$, die Abbildung $\varphi$ ist daher
+wohldefiniert.
+$\varphi$ erfüllt ausserdem die Bedingungen
+\begin{align*}
+\varphi(z_1z_2)
+&=
+D_{\alpha(z_1z_2)}
+=
+D_{\alpha(z_1)+\alpha(z_2)}
+=
+D_{\alpha(z_1)}D_{\alpha(z_2)}
+=
+\varphi(z_1)\varphi(z_2)
+\\
+\varphi(1)
+&=
+D_{\alpha(1)}
+=
+D_0
+=
+I
+\end{align*}
+Die Abbildung $\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $S^1$
+in die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$.
+Die Menge der Drehmatrizen in der Ebene kann also mit dem Einheitskreis
+in der komplexen Ebene identifiziert werden.
+
+\subsubsection{Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$}
+Da die Gruppe $\operatorname{SO}(2)$ eine eindimensionale Gruppe
+ist, kann jede Kurve $\gamma(t)$ durch den Drehwinkel $\alpha(t)$
+mit $\gamma(t) = D_{\alpha(t)}$ beschrieben werden.
+Die Ableitung in $M_2(\mathbb{R})$ ist
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt} \gamma(t)
+&=
+\frac{d}{d\alpha}
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\frac{d\alpha}{dt}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+-\sin\alpha(t)&-\cos\alpha(t)\\
+ \cos\alpha(t)&-\sin\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha(t) & - \sin\alpha(t)\\
+\sin\alpha(t) &   \cos\alpha(t)
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+0&-1\\
+1&0
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\dot{\alpha}(t)
+=
+D_{\alpha(t)}J\cdot\dot{\alpha}(t).
+\end{align*}
+Alle Tangentialvektoren von $\operatorname{SO}(2)$ im Punkt $D_\alpha$
+entstehen aus $J$ durch Drehung mit der Matrix $D_\alpha$ und Skalierung
+mit $\dot{\alpha}(t)$.
+
+%
+% Isometrien von R^n
+%
+\subsection{Isometrien von $\mathbb{R}^n$
+\label{buch:gruppen:isometrien}}
+
+\subsubsection{Skalarprodukt}
+Lineare Abbildungen des Raumes $\mathbb{R}^n$ können durch
+$n\times n$-Matrizen beschrieben werden.
+Die Matrizen, die das Standardskalarprodukt $\mathbb{R}^n$ erhalten,
+bilden eine Gruppe, die in diesem Abschnitt genauer untersucht werden soll.
+Eine Matrix $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ ändert das Skalarprodukt, wenn
+für jedes beliebige Paar $x,y$ von Vektoren gilt
+$\langle Ax,Ay\rangle = \langle x,y\rangle$.
+Das Standardskalarprodukt kann mit dem Matrixprodukt ausgedrückt werden:
+\[
+\langle Ax,Ay\rangle
+=
+(Ax)^tAy
+=
+x^tA^tAy
+=
+x^ty
+=
+\langle x,y\rangle
+\]
+für jedes Paar von Vektoren $x,y\in\mathbb{R}$.
+
+Mit dem Skalarprodukt kann man auch die Matrixelemente einer Matrix
+einer Abbildung $f$ in der Standardbasis bestimmen.
+Das Skalarprodukt $\langle e_i, v\rangle$ ist die Länge der Projektion
+des Vektors $v$ auf die Richtung $e_i$.
+Die Komponenten von $Ae_j$ sind daher $a_{ij}=\langle e_i,f(e_j)\rangle$.
+Die Matrix $A$ der Abbildung $f$ hat also die Matrixelemente
+$a_{ij}=e_i^tAe_j$.
+
+\subsubsection{Die orthogonale Gruppe $\operatorname{O}(n)$}
+Die Matrixelemente von $A^tA$ sind
+$\langle A^tAe_i, e_j\rangle =\langle e_i,e_j\rangle = \delta_{ij}$
+sind diejenigen der Einheitsmatrix,
+die Matrix $A$ erfüllt $AA^t=I$ oder $A^{-1}=A^t$.
+Dies sind die {\em orthogonalen} Matrizen.
+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der isometrischen Abbildungen besteht
+daher aus den Matrizen
+\[
+\operatorname{O}(n)
+=
+\{ A\in M_n(\mathbb{R})\;|\; AA^t=I\}.
+\]
+Die Matrixgleichung $AA^t=I$ liefert $n(n+1)/2$ unabhängige Bedingungen,
+die die orthogonalen Matrizen innerhalb der $n^2$-dimensionalen
+Menge $M_n(\mathbb{R})$ auszeichnen.
+Die Menge $\operatorname{O}(n)$ der orthogonalen Matrizen hat daher
+die Dimension
+\[
+n^2 - \frac{n(n+1)}{2}
+=
+\frac{2n^2-n^2-n}{2}
+=
+\frac{n(n-1)}2.
+\]
+Im Spezialfall $n=2$ ist die Gruppe $O(2)$ eindimensional.
+
+\subsubsection{Tangentialvektoren}
+Die orthogonalen Matrizen bilden eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
+von $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, nicht jede Matrix $M_n(\mathbb{R})$ 
+kann also ein Tangentialvektor von $O(n)$ sein.
+Um herauszufinden, welche Matrizen als Tangentialvektoren in Frage
+kommen, betrachten wir eine Kurve $\gamma\colon\mathbb{R}\to O(n)$
+von orthogonalen Matrizen mit $\gamma(0)=I$.
+Orthogonal bedeutet 
+\[
+\begin{aligned}
+&&
+0
+&=
+\frac{d}{dt}I
+=
+\frac{d}{dt}
+(\gamma(t)^t\gamma(t))
+=
+\dot{\gamma}(t)^t\gamma(t))
++
+\gamma(t)^t\dot{\gamma}(t))
+\\
+&\Rightarrow&
+0
+&=
+\dot{\gamma}(0)^t \cdot I + I\cdot \dot{\gamma(0)}
+=
+\dot{\gamma}(0)^t + \dot{\gamma}(0)
+=
+A^t+A=0
+\\
+&\Rightarrow&
+A^t&=-A
+\end{aligned}
+\]
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{O}(n)$ sind also genau
+die antisymmetrischen Matrizen.
+
+Für $n=2$ sind alle antisymmetrischen Matrizen Vielfache der Matrix
+$J$, wie in Abschnitt~\ref{buch:gruppen:drehungen2d}
+gezeigt wurde.
+
+Für jedes Paar $i<j$ ist die Matrix $A_{ij}$ mit den Matrixelementen
+$(A_{ij})_{ij}=-1$ und $(A_{ij})_{ji}=1$
+antisymmetrisch.
+Für $n=2$ ist $A_{12}=J$.
+Die $n(n-1)/2$ Matrizen $A_{ij}$ bilden eine Basis des
+$n(n-1)/2$-dimensionale Tangentialraumes von $\operatorname{O}(n)$.
+
+Tangentialvektoren in einem anderen Punkt $g\in\operatorname{O}(n)$
+haben die Form $gA$, wobei $A$ eine antisymmetrische Matrix ist.
+Diese Matrizen sind nur noch in speziellen Fällen antisymmetrisch,
+zum Beispiel im Punkt $-I\in\operatorname{O}(n)$.
+
+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(n)$}
+Die Gruppe $\operatorname{O}(n)$ enhält auch Isometrien, die
+die Orientierung des Raumes umkehren, wie zum Beispiel Spiegelungen.
+Wegen $\det (AA^t)=\det A\det A^t = (\det A)^2=1$ kann die Determinante
+einer orthogonalen Matrix nur $\pm 1$ sein.
+Orientierungserhaltende Isometrien haben Determinante $1$.
+
+Die Gruppe
+\[
+\operatorname{SO}(n)
+=
+\{A\in\operatorname{O}(n)\;|\; \det A=1\}
+\]
+heisst die {\em spezielle orthogonale Gruppe}.
+Die Dimension der Gruppe $\operatorname{O}(n)$ ist $n(n-1)/2$.
+
+\subsubsection{Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$}
+Die Gruppe $\operatorname{SO}(3)$ der Drehungen des dreidimensionalen
+Raumes hat die Dimension $3(3-1)/2=3$.
+Eine Drehung wird festgelegt durch die Richtung der Drehachse und den
+Drehwinkel.
+Die Richtung der Drehachse ist ein Einheitsvektor, also ein Punkt
+auf der zweidimensionalen Kugel.
+Der Drehwinkel ist der dritte Parameter.
+
+Drehungen mit kleinen Drehwinkeln können zusammengesetzt werden
+aus den Matrizen
+\begin{align*}
+D_{x,\alpha}
+&=
+\begin{pmatrix}
+1&0&0\\
+0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+0&\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix},
+&
+D_{y,\beta}
+&=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\beta&0&\sin\beta\\
+      0    &1&     0    \\
+-\sin\beta&0&\cos\beta
+\end{pmatrix},
+&
+D_{z,\gamma}
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\gamma&-\sin\gamma&0\\
+\sin\gamma& \cos\gamma&0\\
+    0     &     0     &1
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+e^{A_{23}t}
+&
+&=
+e^{-A_{13}t}
+&
+&=
+e^{A_{21}t}
+\end{align*}
+die Drehungen um die Koordinatenachsen um den Winkel $\alpha$
+beschreiben.
+Auch die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ können als die
+drei Koordinaten der Mannigkfaltigkeit $\operatorname{SO}(3)$
+angesehen werden.
+
+%
+% Spezielle lineare Gruppe
+%
+\subsection{Volumenerhaltende Abbildungen und
+die Gruppe $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+\label{buch:gruppen:sl}}
+Die Elemente der Gruppe $SO(n)$ erhalten Längen, Winkel und die
+Orientierung, also auch das Volumen.
+Es gibt aber volumenerhaltende Abbildungen, die Längen oder Winkel
+nicht notwendigerweise erhalten.
+Matrizen $A\in M_n(\mathbb{R})$, die das Volumen erhalten,
+haben die Determinante $\det A=1$.
+Wegen $\det(AB)=\det A\det B$ ist das Produkt zweier Matrizen mit
+Determinante $1$ wieder eine solche, sie bilden daher eine Gruppe.
+
+\begin{definition}
+Die volumenerhaltenden Abbildungen bilden die Gruppe
+\[
+\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})
+=
+\{
+A\in M_n(\mathbb{R})
+\;|\;
+\det (A) = 1
+\}
+\]
+sie heisst die {\em spezielle lineare Gruppe}.
+\end{definition}
+
+Wir wollen jetzt die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+bestimmen.
+Dazu sei $A(t)$ eine Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$
+mit $A(0)=I$.
+Für alle $t\in\mathbb{R}$ ist $\det A(t)=1$, daher ist die Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t) = 0
+\quad\text{an der Stelle $t=0$.}
+\]
+Für $n=2$ ist
+\begin{align*}
+A(t)
+&=
+\begin{pmatrix}
+a(t)&b(t)\\
+c(t)&d(t)
+\end{pmatrix}
+\in
+\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})
+&&\Rightarrow&
+\frac{d}{dt}
+\det A(t)\bigg|_{t=0}
+&=
+\dot{a}(0) d(0)+a(0)\dot{d}(0)
+-
+\dot{b}(0) c(0)-b(0)\dot{c}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\dot{a}(0) + \dot{d}(0)
+\\
+&&&&
+&=
+\operatorname{Spur}\frac{dA}{dt}.
+\end{align*}
+Dies gilt nicht nur im Falle $n=2$, sondern ganz allgemein für beliebige
+$n\times n$-Matrizen.
+
+\begin{satz}
+Ist $A(t)$ eine differenzierbare Kurve in $\operatorname{SL}_n(\mathbb{B})$
+mit $A(0)=I$, dann ist $\operatorname{Spur}\dot{A}(0)=0$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Entwicklung der Determinante von $A$ nach der ersten Spalte ist
+\[
+\det A(t) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
+\]
+Die Ableitung nach $t$ ist
+\[
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \dot{a}_{i1}(t) \det A_{i1}(t).
++
+\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}(t) \frac{d}{dt}\det A_{i1}(t).
+\]
+An der Stelle $t=0$ enthält $\det A_{i1}(0)$ für $i\ne 1$
+eine Nullzeile, der einzige nichtverschwindende Term in der ersten
+Summe ist daher der erste.
+In der zweiten Summe ist das einzige nicht verschwindende $a_{i1}(0)$
+jenes für $i=1$, somit ist die Ableitung von $\det A(t)$
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} \det A(t)
+=
+\dot{a}_{11}(t) \det A_{11}(t).
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t)
+=
+\dot{a}_{11}(0) 
++
+\frac{d}{dt}\det A_{11}(t).
+\label{buch:gruppen:eqn:detspur}
+\end{equation}
+Die Beziehung \eqref{buch:gruppen:eqn:detspur} kann für einen Beweis mit
+vollständiger Induktion verwendet werden.
+
+Die Induktionsverankerung für $n=1$ besagt, dass $\det A(t)=a_{11}(t)$
+genau dann konstant $=1$ ist, wenn $\dot{a}_{11}(0)=\operatorname{Spur}A(0)$
+ist.
+Unter der Induktionsannahme, dass für eine $(n-1)\times(n-1)$-Matrix
+$\tilde{A}(t)$ mit $\tilde{A}(0)=I$ die Ableitung der Determinante
+\[
+\frac{d}{dt}\tilde{A}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{\tilde{A}}(0)
+\]
+ist, folgt jetzt mit
+\eqref{buch:gruppen:eqn:detspur}, dass
+\[
+\frac{d}{dt}A(0)
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\frac{d}{dt} \det A_{11}(t)\bigg|_{t=0}
+=
+\dot{a}_{11}(0)
++
+\operatorname{Spur}\dot{A}_{11}(0)
+=
+\operatorname{Spur}\dot{A}(0).
+\]
+Damit folgt jetzt die Behauptung für alle $n$.
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+Die Tangentialvektoren von $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ sind 
+die spurlosen Matrizen
+\[
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\quad\Rightarrow\quad
+\operatorname{Spur}A=a+d=0
+\quad\Rightarrow\quad
+A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}.
+\]
+Der Tangentialraum ist also dreidimensional.
+Als Basis könnte man die folgenden Vektoren verwenden:
+\begin{align*}
+A
+&=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{At}
+&=
+\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
+\\
+B
+&=
+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Bt}
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos t & -\sin t\\
+\sin t &  \cos t
+\end{pmatrix}
+\\
+C
+&=
+\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
+&&\Rightarrow&
+e^{Ct}
+&=
+I + Ct + \frac{C^2t^2}{2!} + \frac{C^3t^3}{3!} + \frac{C^4t^4}{4!}+\dots
+\\
+&&&&
+&=
+I\biggl(1 + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!}+\dots \biggr)
++
+C\biggl(t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!}+\dots \biggr)
+\\
+&&&&
+&=
+I\cosh t + C \sinh t
+=
+\begin{pmatrix}
+\cosh t & \sinh t\\
+\sinh t & \cosh t
+\end{pmatrix},
+\end{align*}
+wobei in der Auswertung der Potenzreihe für $e^{Ct}$ verwendet wurde,
+dass $C^2=I$.
+
+Die Matrizen $e^{At}$ Streckungen der einen Koordinatenachse und
+Stauchungen der anderen derart, dass das Volumen erhalten bleibt.
+Die Matrizen $e^{Bt}$ sind Drehmatrizen, die Längen und Winkel und
+damit erst recht den Flächeninhalt erhalten.
+Die Matrizen der Form $e^{Ct}$ haben die Vektoren $(1,\pm1)$ als
+Eigenvektoren:
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t +\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
++
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+=
+e^t
+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}
+\\
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+&\mapsto
+e^{Ct}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+(\cosh t -\sinh t)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+\biggl(
+\frac{e^t+e^{-t}}2
+-
+\frac{e^t-e^{-t}}2
+\biggr)
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+=
+e^{-t}
+\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Die Matrizen $e^{Ct}$ strecken die Richtung $(1,1)$ um $e^t$ und
+die dazu orthogonale Richtung $(1,-1)$ um den Faktor $e^{-t}$.
+Dies ist die gegenüber $e^{At}$ um $45^\circ$ verdrehte Situation,
+auch diese Matrizen sind flächenerhaltend.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/sl2.pdf}
+\caption{Tangentialvektoren und die davon erzeugen Einparameteruntergruppen
+für die Lie-Gruppe $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ der flächenerhaltenden
+linearen Abbildungen von $\mathbb{R}^2$.
+In allen drei Fällen wird ein blauer Rhombus mit den Ecken in den
+Standardbasisvektoren von einer Matrix der Einparameteruntergruppe zu
+zum roten Viereck verzerrt, der Flächeninhalt bleibt aber erhalten.
+In den beiden Fällen $B$ und $C$ stellen die grünen Kurven die Bahnen
+der Bilder der Standardbasisvektoren dar.
+\label{buch:gruppen:fig:sl2}}
+\end{figure}%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/scherungen.pdf}
+\caption{Weitere Matrizen mit Spur $0$ und ihre Wirkung 
+Die inken beiden Beispiele $M$ und $N$ sind nilpotente Matrizen,
+die zugehörigen Einparameter-Untergruppen beschreiben Schwerungen.
+\label{buch:gruppen:fig:scherungen}}
+\end{figure}
+\end{beispiel}
+
+%
+% Die Gruppe SU(2)
+%
+\subsection{Die Gruppe $\operatorname{SU}(2)$
+\label{buch:gruppen:su2}}
+Die Menge der Matrizen
+\[
+\operatorname{SU}(2)
+=
+\left\{
+\left.
+A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}
+\;\right|\;
+a,b,c,d\in\mathbb{C},\det(A)=1, AA^*=I
+\right\}
+\]
+heisst die {\em spezielle unitäre Gruppe}.
+Wegen $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$ und $(AB)^*AB=B^*A^*AB=B^*B=I$ ist 
+$\operatorname{SU}(2)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$.
+Die Bedingungen $\det A=1$ und $AA^*=I$ schränken die möglichen Werte
+von $a$ und $b$ weiter ein.
+Aus 
+\[
+A^*
+=
+\begin{pmatrix}
+\overline{a}&\overline{c}\\
+\overline{b}&\overline{d}
+\end{pmatrix}
+\]
+und den Bedingungen führen die Gleichungen
+\[
+\begin{aligned}
+a\overline{a}+b\overline{b}&=1
+&&\Rightarrow&|a|^2+|b|^2&=1
+\\
+a\overline{c}+b\overline{d}&=0
+&&\Rightarrow&
+\frac{a}{b}&=-\frac{\overline{d}}{\overline{c}}
+\\
+c\overline{a}+d\overline{b}&=0
+&&\Rightarrow&
+\frac{c}{d}&=-\frac{\overline{b}}{\overline{a}}
+\\
+c\overline{c}+d\overline{d}&=1&&\Rightarrow&|c|^2+|d|^2&=1
+\\
+ad-bc&=1
+\end{aligned}
+\]
+Aus der zweiten Gleichung kann man ableiten, dass es eine Zahl $t\in\mathbb{C}$
+gibt derart, dass $c=-t\overline{b}$ und $d=t\overline{a}$.
+Damit wird die Bedingung an die Determinante zu
+\[
+1
+=
+ad-bc = at\overline{a} - b(-t\overline{b})
+=
+t(|a|^2+|b|^2)
+=
+t,
+\]
+also muss die Matrix $A$ die Form haben
+\[
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+a&b\\
+-\overline{b}&\overline{a}
+\end{pmatrix}
+\qquad\text{mit}\quad |a|^2+|b|^2=1.
+\]
+Schreibt man $a=a_1+ia_2$ und $b=b_1+ib_2$ mit rellen $a_i$ und $b_i$,
+dann besteht $SU(2)$  aus den Matrizen der Form
+\[
+A=
+\begin{pmatrix}
+ a_1+ia_2&b_1+ib_2\\
+-b_1+ib_2&a_1-ia_2
+\end{pmatrix}
+\]
+mit der zusätzlichen Bedingung
+\[
+|a|^2+|b|^2
+=
+a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 1.
+\]
+Die Matrizen von $\operatorname{SU}(2)$ stehen daher in einer
+eins-zu-eins-Beziehung zu den Vektoren $(a_1,a_2,b_1,b_2)\in\mathbb{R}^4$
+eines vierdimensionalen reellen Vektorraums mit Länge $1$.
+Geometrisch betrachtet ist also $\operatorname{SU}(2)$ eine dreidmensionalen
+Kugel, die in einem vierdimensionalen Raum eingebettet ist.
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
index 7364c85..c0a0fb8 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/symmetrien.tex
@@ -1,725 +1,725 @@
-%
-% symmetrien.tex -- Geometrische Beschreibung von Symmetrien, O(n), SO(n),
-%                   Spiegelungen
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Symmetrien
-\label{buch:section:symmetrien}}
-\rhead{Symmetrien}
-Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines
-geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst
-abgebildet wird.
-Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}
-bedeutet.
-Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,
-dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen
-der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch
-Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des
-Begriffs verständlich macht.
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}
-\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen
-Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.
-Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes
-ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
-in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
-\label{buch:lie:bild:castlehoward}}
-\end{figure}
-In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
-Bedeutung gegeben.
-Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
-verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
-Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den
-den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,
-eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des
-Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
-eine Symmetrie des Systems.
-
-Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
-Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
-ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
-Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
-durch Matrizen beschrieben weren.
-Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine
-Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der
-invertierbaren Matrizen.
-Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,
-denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.
-Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine
-zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit.
-Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}
-eingeführt.
-Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der
-Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,
-die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.
-
-Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
-Mannigfaltigkeit ist.
-Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren
-ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht
-und verstanden werden können.
-Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu
-schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}
-durchgeführt werden soll.
-
-\subsection{Algebraische Symmetrien
-\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}
-Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem
-oder in einem physikalischen System beschreiben.
-Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die
-Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,
-wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen
-\[
-\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x
-\qquad\text{oder}\qquad
-\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :
-\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
-\]
-dargestellt werden.
-Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit
-das Skalarprodukt erhalten sind.
-Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen
-zu unterscheiden.
-Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle
-Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.
-Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die
-Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und
-ihre Normale erhalten.
-Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
-auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
-
-Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 
-ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir
-sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.
-Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$
-u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,
-ebenfalls Symmetrien.
-Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle
-$n\in\mathbb{Z}$.
-Wir erhalten so eine Abbildung
-$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$
-mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und
-$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$.
-$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}.
-
-\subsection{Kontinuierliche Symmetrien
-\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}}
-Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien.
-Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter
-abhängen.
-Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den
-Winkel $\alpha$ durch Matrizen 
-\[
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-beschrieben werden.
-Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.
-Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant
-unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant.
-Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter
-allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um
-den Nullpunkt.
-
-\begin{definition}
-Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
-von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe
-heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-\end{definition}
-
-Die Abbildung 
-\[
-\varphi
-\colon
-\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
-:
-\alpha \mapsto
-D_{\alpha}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha&-\sin\alpha\\
-\sin\alpha& \cos\alpha
-\end{pmatrix}
-\]
-ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
-
-\subsubsection{Der harmonische Oszillator}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf}
-\caption{Die Lösungen der
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.
-\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}
-\end{figure}
-Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$
-schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung
-\[
-m\frac{d^2}{dt^2} x(t) =  -Kx(t).
-\]
-Die Kreisfrequenz der Schwingung ist
-\[
-\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}.
-\]
-Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den 
-Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden.
-Die zweidimensionale Differentialgleichung ist
-\begin{equation}
-\left.
-\begin{aligned}
-\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\
-\dot{p}(t) &= -Kx(t) 
-\end{aligned}
-\quad
-\right\}
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{d}{dt}
-\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&\frac{1}{m}\\
--K&0
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}.
-\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-\end{equation}
-Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und
-$p(0)=0$ ist
-\[
-x(t)
-=
-\cos \omega t
-\qquad\Rightarrow\qquad
-p(t)
-=
--\omega \sin\omega t,
-\]
-die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist
-\[
-x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t,
-\qquad
-p(t) = \cos \omega t.
-\]
-In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$
-und $p(0)=p_0$
-\begin{equation}
-\begin{pmatrix}
-x(t)\\
-p(t)
-\end{pmatrix}
-=
-\underbrace{
-\begin{pmatrix}
- \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
--\omega \sin\omega t & \cos\omega t
-\end{pmatrix}
-}_{\displaystyle =\Phi_t}
-\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix}
-\label{buch:gruppen:eqn:phi}
-\end{equation}
-schreiben.
-Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von
-$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da
-\begin{align*}
-\Phi_s\Phi_t
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\
--\omega \sin\omega s & \cos\omega s
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
--\omega \sin\omega t & \cos\omega t
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t 
-& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t)
-\\
--\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t )
-& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t 
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
- \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\
--\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t)
-\end{pmatrix}
-=
-\Phi_{s+t}
-\end{align*}
-gilt.
-Die Lösungen der 
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum}
-Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie
-des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator
-beschreibt.
-
-\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}
-Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
-Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
-Der Grund dafür ist, dass die
-Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
-linear ist.
-Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
-die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
-Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
-aus der Formel
-\[
-\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2.
-\]
-Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss.
-
-Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung
-$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist.
-Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung
-\begin{equation}
-\frac{dx}{dt}
-=
-f(t,x)
-\qquad\text{mit}\qquad
-f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
-\label{buch:gruppen:eqn:dgl}
-\end{equation}
-gegeben.
-Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine
-gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$.
-Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch
-bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von
-$x_0$ abhängt.
-Dies erlaubt eine Abbildung
-\[
-\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
-:
-(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
-\]
-zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar
-abhängt.
-Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass
-also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist.
-
-Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass
-$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt.
-$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt
-und sich während der Zeit $t$ entwickelt.
-$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ 
-beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt.
-Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei
-$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt.
-In Formeln bedeutet dies
-\[
-\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t.
-\]
-Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus
-von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren
-Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$.
-
-\begin{definition}
-Die Abbildung
-\[
-\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n
-:
-(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
-\]
-heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung
-\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl},
-wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$
-eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$.
-\end{definition}
-
-Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also
-der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.
-
-\subsection{Mannigfaltigkeiten
-\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}
-Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}
-stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der
-Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$.
-Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve
-\[
-x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h)
-\]
-für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$.
-Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von
-$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft.
-
-Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine
-Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte
-$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche
-liegen.
-Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig
-ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.
-Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
-Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.
-Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor 
-nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert
-werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als
-in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.
-
-Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche
-konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung
-auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche
-in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist.
-Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit}
-löst dieses Problem.
-
-\subsubsection{Karten}
-Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem
-der geographischen Länge und Breite.
-Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an
-den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind
-nicht mehr eindeutig.
-Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger 
-geographischer Länge beschreiben den Nordpol.
-Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr.
-Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol,
-springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven
-Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein.
-Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar,
-da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen.
-
-Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet,
-kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet
-um den Pol erstellt.
-Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch
-ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,
-wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
-umrechnen will.
-Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss
-er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem
-umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
-Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten
-auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.
-
-Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
-Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,
-die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren
-verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.
-Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge
-$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.
-Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}
-\caption{Karten
-$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$
-und
-$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$
-auf einem Torus.
-Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$
-ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert
-und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
-entstehen soll.
-\label{buch:gruppen:fig:karten}}
-\end{figure}
-
-\begin{definition}
-Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung
-$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch
-Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).
-Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$
-derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
-überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen
-\[
-\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
-\colon
-\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
-\to
-\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
-\]
-als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
-ist.
-Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
-Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
-\end{definition}
-
-Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale
-Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.
-
-\begin{beispiel}
-$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn 
-die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein
-Atlas von $M$.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf}
-\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$.
-\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}}
-\end{figure}
-Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
-Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,
-da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie
-gibt.
-Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
-vier Karten:
-\begin{align*}
-\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto y
-\\
-\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto y
-\\
-\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto x
-\\
-\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
-:
-(x,y) \mapsto x
-\end{align*}
-Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten
-auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie.
-
-Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt,
-hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen
-zu können.
-Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
-
-Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben
-jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.
-Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung
-ist je nach Quadrant durch
-\begin{align*}
-&\text{1.~Quadrant}&
-\varphi_{31}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{31}
-&=
--\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{2.~Quadrant}&
-\varphi_{24}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{24}
-&=
--\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{3.~Quadrant}&
-\varphi_{42}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{42}
-&=
-\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
-\\
-&\text{4.~Quadrant}&
-\varphi_{14}
-&=
-\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
-&
-D\varphi_{14}
-&=
-\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
-\end{align*}
-gegeben.
-Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
-Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen
-$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten
-nicht vorkommen können.
-Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für
-die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich
-für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre
-\[
-S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
-\]
-immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
-\[
-\varphi_{i,\pm}
-\colon
-U_{i,\pm}
-=
-\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}
-\to
-\mathbb{R}^n
-:
-p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1})
-\]
-konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.
-\end{beispiel}
-
-\subsubsection{Tangentialraum}
-Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$
-kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten 
-$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. 
-Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein
-soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,
-wird von der Karte in eine Kurve
-$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ 
-abgebildet,
-deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.
-
-Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve
-mit der Parametrisierung
-$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ 
-und einem anderen Tangentialvektor.
-Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der
-Koordinatenwechsel-Abbildung
-$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon
-\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$
-ineinander umgerechnet werden.
-Aus
-\[
-\gamma_\beta
-=
-\varphi_\beta\circ \gamma
-=
-(
-\varphi_\beta
-\circ
-\varphi_\alpha^{-1}
-)
-\circ
-\varphi_\alpha\circ\gamma
-=
-\varphi_{\beta\alpha}
-\circ
-\varphi_\alpha\circ\gamma
-=
-\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha
-\]
-folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
-\[
-\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
-=
-D\varphi_{\beta\alpha}
-\cdot
-\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
-\]
-Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ 
-an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
-einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der
-Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.
-
-Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen
-$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung
-eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen
-Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der
-Mannigfaltigkeit führt.
-Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,
-mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
-Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
-ohne Singularitäten umgangen werden kann.
-
-\begin{beispiel}
-Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
-zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden
-aussehen können.
-Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt
-$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ 
-und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
-
-Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt
-$t\in (0,\frac{\pi}2)$.
-in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,
-in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.
-Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix
-\[
-D\varphi_{31}(\gamma(t))
-=
--\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}
-=
--\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
-=
--\frac{\sin t}{\cos t}
-=
--\tan t.
-\]
-Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
-\[
-\dot{x}(t)
-=
-D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
-\dot{y}(t)
-\]
-wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
-\[
-D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
-\cdot
-\dot{y}(t)
-=
--\tan t\cdot \cos t
-=
--\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t
-=
--\sin t
-=
-\dot{x}(t).
-\qedhere
-\]
-\end{beispiel}
-
-Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,
-dann ist der Tangentialvektor durch
-$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.
-Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,
-entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion
-von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.
-
-Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können
-im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.
-Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie
-in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren
-durch Translation miteinander vergleichen lassen.
-Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, 
-betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,
-für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht
-der Fall.
-
-Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem
-Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht
-darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.
-Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
-nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
-in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
-Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
-Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.
-
-Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, 
-einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie
-Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit
-transportiert werden können.
-Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich
-zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.
-Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer
-Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.
-Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter
-Riemannscher Mannigfaltigkeiten.
-
-\subsection{Der Satz von Noether
-\label{buch:subsection:noether}}
-
-
-
-
-
-
-
+%
+% symmetrien.tex -- Geometrische Beschreibung von Symmetrien, O(n), SO(n),
+%                   Spiegelungen
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Symmetrien
+\label{buch:section:symmetrien}}
+\rhead{Symmetrien}
+Der geometrische Begriff der Symmetrie meint die Eigenschaft eines
+geometrischen Objektes, dass es bei einer Bewegung auf sich selbst
+abgebildet wird.
+Das Wort stammt aus dem altgriechischen, wo es {\em Gleichmass}
+bedeutet.
+Spiegelsymmetrische Objekte zeichnen sich zum Beispiel dadurch aus,
+dass Messungen von Strecken die gleichen Werte ergeben wie die Messungen
+der entsprechenden gespiegelten Strecken (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:lie:bild:castlehoward}, was die Herkunft des
+Begriffs verständlich macht.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/60-gruppen/images/castle.jpeg}
+\caption{Das Castle Howard in Yorkshire war in dieser ausgeprägt symmetrischen
+Form geplant, wurde dann aber in modifizeirter Form gebaut.
+Messungen zwischen Punkten in der rechten Hälfte des Bildes
+ergeben die gleichen Werte wie Messungen entsprechenden Strecken
+in der linken Hälfte, was den Begriff Symmetrie rechtfertigt.
+\label{buch:lie:bild:castlehoward}}
+\end{figure}
+In der Physik wird dem Begriff der Symmetrie daher auch eine erweiterte
+Bedeutung gegeben.
+Jede Transformation eines Systems, welche bestimmte Grössen nicht
+verändert, wird als Symmetrie bezeichnet.
+Die Gesetze der Physik sind typischerweise unabhängig davon, wo man den
+den Nullpunkt der Zeit oder das räumlichen Koordinatensystems ansetzt,
+eine Transformation des Zeitnullpunktes oder des Ursprungs des
+Koordinatensystems ändert daher die Bewegungsgleichungen nicht, sie ist
+eine Symmetrie des Systems.
+
+Umgekehrt kann man fragen, welche Symmetrien ein System hat.
+Da sich Symmetrien zusammensetzen und umkehren lassen, kann man in davon
+ausgehen, dass die Symmetrietransformationen eine Gruppe bilden.
+Besonders interessant ist dies im Falle von Transformationen, die
+durch Matrizen beschrieben weren.
+Eine unter der Symmetrie erhaltene Eigenschaft definiert so eine
+Untergruppe der Gruppe $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ der
+invertierbaren Matrizen.
+Die erhaltenen Eigenschaften definieren eine Menge von Gleichungen,
+denen die Elemente der Untergruppe genügen müssen.
+Als Lösungsmenge einer Gleichung erhält die Untergruppe damit eine
+zusätzliche geometrische Struktur, man nennt sie eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit.
+Dieser Begriff wird im Abschnitt~\ref{buch:subsection:mannigfaltigkeit}
+eingeführt.
+Es wird sich zum Beispiel zeigen, dass die Menge der Drehungen der
+Ebene mit den Punkten eines Kreises parametrisieren lassen,
+die Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=1$ sind.
+
+Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die gleichzeitig eine differenzierbare
+Mannigfaltigkeit ist.
+Die Existenz von geometrischen Konzepten wie Tangentialvektoren
+ermöglicht zusätzliche Werkzeuge, mit denen diese Gruppe untersucht
+und verstanden werden können.
+Ziel dieses Abschnitts ist, die Grundlagen für diese Untersuchung zu
+schaffen, die dann im Abschnitt~\ref{buch:section:lie-algebren}
+durchgeführt werden soll.
+
+\subsection{Algebraische Symmetrien
+\label{buch:subsection:algebraische-symmetrien}}
+Mit Matrizen lassen sich Symmetrien in einem geometrischen Problem
+oder in einem physikalischen System beschreiben.
+Man denkt dabei gerne zuerst an geometrische Symmetrien wie die
+Symmetrie unter Punktspiegelung oder die Spiegelung an der $x_1$-$x_2$-Ebene,
+wie sie zum Beispiel durch die Abbildungen
+\[
+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 : x\mapsto -x
+\qquad\text{oder}\qquad
+\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 :
+\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}-x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}
+\]
+dargestellt werden.
+Beide haben zunächst die Eigenschaft, dass Längen und Winkel und damit
+das Skalarprodukt erhalten sind.
+Diese Eigenschaft allein erlaubt aber noch nicht, die beiden Transformationen
+zu unterscheiden.
+Die Punktspiegelung zeichnet sich dadurch aus, das alle Geraden und alle
+Ebenen durch den Ursprung auf sich selbst abgebildet werden.
+Dies funktioniert für die Ebenenspiegelung nicht, dort bleibt nur die
+Spiegelungsebene (die $x_1$-$x_2$-Ebene im vorliegenden Fall) und
+ihre Normale erhalten.
+Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie solche Symmetriedefinitionen
+auf algebraische Bedingungen an die Matrixelemente führen.
+
+Zu jeder Abbildung $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, unter der 
+ein geometrisches Objekt in $\mathbb{R}^n$ symmetrisch ist, können wir
+sofort weitere Abbildungen angeben, die ebenfalls Symmetrien sind.
+Zum Beispiel sind die iterierten Abbildungen $f\circ f$, $f\circ f\circ f$
+u.~s.~w., die wir auch $f^n$ mit $n\in\mathbb{N}$ schreiben werden,
+ebenfalls Symmetrien.
+Wenn die Symmetrie auch umkehrbar ist, dann gilt dies sogar für alle
+$n\in\mathbb{Z}$.
+Wir erhalten so eine Abbildung
+$\varphi\colon \mathbb{Z}\to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}):n\mapsto f^n$
+mit den Eigenschaften $\varphi(0)=f^0 = I$ und
+$\varphi(n+m)=f^{n+m}=f^n\circ f^m = \varphi(n)\circ\varphi(m)$.
+$\varphi$ ist ein Homomorphismus der Gruppe $\mathbb{Z}$ in die Gruppe
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+Wir nennen dies eine {\em diskrete Symmetrie}.
+
+\subsection{Kontinuierliche Symmetrien
+\label{buch:subsection:kontinuierliche-symmetrien}}
+Von besonderem Interesse sind kontinuierliche Symmetrien.
+Dies sind Abbildungen eines Systems, die von einem Parameter
+abhängen.
+Zum Beispiel können wir Drehungen der Ebene $\mathbb{R}^2$ um den
+Winkel $\alpha$ durch Matrizen 
+\[
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+beschrieben werden.
+Ein Kreis um den Nullpunkt bleibt unter jeder dieser Drehungen invariant.
+Im Gegensatz dazu sind alle $3n$-Ecke mit Schwerpunkt $0$ nur invariant
+unter der einen Drehung $D_{\frac{2\pi}3}$ invariant.
+Die kleinste Menge, die einen vorgegebenen Punkt enthält und unter
+allen Drehungen $D_\alpha$ invariant ist, ist immer ein Kreis um
+den Nullpunkt.
+
+\begin{definition}
+Ein Homomorphismus $\varphi\colon\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$
+von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in die allgemeine lineare Gruppe
+heisst eine {\em Einparameter-Untergruppe} von
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+\end{definition}
+
+Die Abbildung 
+\[
+\varphi
+\colon
+\mathbb{R}\to\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})
+:
+\alpha \mapsto
+D_{\alpha}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha&-\sin\alpha\\
+\sin\alpha& \cos\alpha
+\end{pmatrix}
+\]
+ist also eine Einparameter-Untergruppe von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$.
+
+\subsubsection{Der harmonische Oszillator}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/phasenraum.pdf}
+\caption{Die Lösungen der
+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+im Phasenraum sind Ellipsen mit Halbachsenverhältnis $\omega^{-1}$.
+\label{chapter:gruppen:fig:phasenraum}}
+\end{figure}
+Eine Masse $m$ verbunden mit einer Feder mit der Federkonstanten $K$
+schwingt um die Ruhelage $x=0$ entsprechend der Differentialgleichung
+\[
+m\frac{d^2}{dt^2} x(t) =  -Kx(t).
+\]
+Die Kreisfrequenz der Schwingung ist
+\[
+\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}.
+\]
+Das System kann als zweidimensionales System im Phasenraum mit den 
+Koordinaten $x_1=x$ und $x_2=p=m\dot{x}$ beschrieben werden.
+Die zweidimensionale Differentialgleichung ist
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+\dot{x}(t) &= \frac{1}{m}p(t)\\
+\dot{p}(t) &= -Kx(t) 
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{d}{dt}
+\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&\frac{1}{m}\\
+-K&0
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}x(t)\\p(t)\end{pmatrix}.
+\label{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+\end{equation}
+Die Lösung der Differentialgleichung für die Anfangsbedingung $x(0)=1$ und
+$p(0)=0$ ist
+\[
+x(t)
+=
+\cos \omega t
+\qquad\Rightarrow\qquad
+p(t)
+=
+-\omega \sin\omega t,
+\]
+die Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ und $p(0)=1$ ist
+\[
+x(t) = \frac{1}{\omega} \sin\omega t,
+\qquad
+p(t) = \cos \omega t.
+\]
+In Matrixform kann man die allgemeine Lösung zur Anfangsbedingun $x(0)=x_0$
+und $p(0)=p_0$
+\begin{equation}
+\begin{pmatrix}
+x(t)\\
+p(t)
+\end{pmatrix}
+=
+\underbrace{
+\begin{pmatrix}
+ \cos \omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
+-\omega \sin\omega t & \cos\omega t
+\end{pmatrix}
+}_{\displaystyle =\Phi_t}
+\begin{pmatrix}x_0\\p_0\end{pmatrix}
+\label{buch:gruppen:eqn:phi}
+\end{equation}
+schreiben.
+Die Matrizen $\Phi_t$ bilden eine Einparameter-Untergruppe von
+$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$, da
+\begin{align*}
+\Phi_s\Phi_t
+&=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\omega s & \frac{1}{\omega} \sin\omega s \\
+-\omega \sin\omega s & \cos\omega s
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+ \cos\omega t & \frac{1}{\omega} \sin\omega t \\
+-\omega \sin\omega t & \cos\omega t
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+\cos\omega s \cos\omega t - \sin\omega s \sin\omega t 
+& \frac{1}{\omega} ( \cos\omega s \sin\omega t + \sin\omega s \cos \omega t)
+\\
+-\omega (\sin\omega s \cos\omega t + \cos\omega s \sin\omega t )
+& \cos\omega s \cos\omega t -\sin\omega s \sin\omega t 
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+ \cos\omega(s+t) & \frac{1}{\omega}\sin\omega(s+t) \\
+-\omega \sin\omega(s+t) & \cos\omega(s+t)
+\end{pmatrix}
+=
+\Phi_{s+t}
+\end{align*}
+gilt.
+Die Lösungen der 
+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+sind in Abbildung~\ref{chapter:gruppen:fig:phasenraum}
+Die Matrizen $\Phi_t$ beschreiben eine kontinuierliche Symmetrie
+des Differentialgleichungssystems, welches den harmonischen Oszillator
+beschreibt.
+
+\subsubsection{Fluss einer Differentialgleichung}
+Die Abbildungen $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} sind jeweils
+Matrizen in $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
+Der Grund dafür ist, dass die
+Differentialgleichung~\eqref{chapter:gruppen:eqn:phasenraumdgl}
+linear ist.
+Dies hat zur Folge, dass für zwei Anfangsbedingungen $x_1,x_2\in\mathbb{R}^2$
+die Lösung für Linearkombinationen $\lambda x_1+\mu x_2$ durch
+Linearkombination der Lösungen erhalten werden kann, also
+aus der Formel
+\[
+\Phi_t (\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda \Phi_t x_1 + \mu \Phi_t x_2.
+\]
+Dies zeigt, dass $\Phi_t$ für jedes $t$ eine lineare Abbildung sein muss.
+
+Für eine beliebige Differentialgleichung kann man immer noch eine Abbildung
+$\Phi$ konstruieren, die aber nicht mehr linear ist.
+Sei dazu die Differentialgleichung erster Ordnung
+\begin{equation}
+\frac{dx}{dt}
+=
+f(t,x)
+\qquad\text{mit}\qquad
+f\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
+\label{buch:gruppen:eqn:dgl}
+\end{equation}
+gegeben.
+Für jeden Anfangswert $x_0\in\mathbb{R}^n$ kann man mindestens für eine
+gewisse Zeit $t <\varepsilon$ eine Lösung $x(t,x_0)$ finden mit $x(t,x_0)=x_0$.
+Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist auch
+bekannt, dass $x(t,x_0)$ mindestens in der Nähe von $x_0$ differenzierbar von
+$x_0$ abhängt.
+Dies erlaubt eine Abbildung
+\[
+\Phi\colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
+:
+(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
+\]
+zu definieren, die sowohl von $t$ als auch von $x_0$ differenzierbar
+abhängt.
+Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\Phi_0(x_0)=x_0$ ist, dass
+also $\Phi_0$ die identische Abbildung von $\mathbb{R}^n$ ist.
+
+Aus der Definition lässt sich auch ableiten, dass
+$\Phi_{s+t}=\Phi_s\circ\Phi_t$ gilt.
+$\Phi_t(x_0)=x(t,x_0)$ ist der Endpunkt der Bahn, die bei $x_0$ beginnt
+und sich während der Zeit $t$ entwickelt.
+$\Phi_s(x(t,x_0))$ ist dann der Endpunkt der Bahn, die bei $x(t,x_0)$ 
+beginnt und sich während der Zeit $s$ entwickelt.
+Somit ist $\Phi_s\circ \Phi_t(x_0)$ der Endpunkt der Bahn, die bei
+$x_0$ beginnt und sich über die Zeit $s+t$ entwickelt.
+In Formeln bedeutet dies
+\[
+\Phi_{s+t} = \Phi_s\circ \Phi_t.
+\]
+Die Abbildung $t\mapsto \Phi_t$ ist also wieder ein Homomorphismus
+von der additiven Gruppe $\mathbb{R}$ in eine Gruppe von differenzierbaren
+Abbildungen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$.
+
+\begin{definition}
+Die Abbildung
+\[
+\Phi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n
+:
+(t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0) = x(t,x_0)
+\]
+heisst der {\em Fluss} der Differentialgleichung
+\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl},
+wenn für jedes $x_0\in\mathbb{R}^n$ die Kurve $t\mapsto \Phi_t(x_0)$
+eine Lösung der Differentialgleichung ist mit Anfangsbedingung $x_0$.
+\end{definition}
+
+Die Abbildung $\Phi_t$ von \eqref{buch:gruppen:eqn:phi} ist also
+der Fluss der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators.
+
+\subsection{Mannigfaltigkeiten
+\label{buch:subsection:mannigfaltigkeit}}
+Eine Differentialgleichung der Form~\eqref{buch:gruppen:eqn:dgl}
+stellt einen Zusammenhang her zwischen einem Punkt $x$ und der
+Tangentialrichtung einer Bahnkurve $f(t,x)$.
+Die Ableitung liefert die lineare Näherung der Bahkurve
+\[
+x(t_0+h) = x(t_0) + h f(t_0,x_0) + o(h)
+\]
+für $h$ in einer kleinen Umgebung von $0$.
+Das funktioniert auch, weil $f(t_0,x_0)$ selbst ein Vektor von
+$\mathbb{R}^n$ ist, in dem die Bahnkurve verläuft.
+
+Diese Idee funktioniert nicht mehr zum Beispiel für eine
+Differentialgleichung auf einer Kugeloberfläche, weil alle Punkte
+$x(t_0)+hf(t_0,x_0)$ für alle $h\ne 0$ nicht mehr auf der Kugeloberfläche
+liegen.
+Physikalisch äussert sich das ein einer zusätzlichen Kraft, die nötig
+ist, die Bahn auf der Kugeloberfläche zu halten.
+Diese Kraft stellt zum Beispiel sicher, dass die Vektoren $f(t,x)$ für
+Punkte $x$ auf der Kugeloberfläche immer tangential an die Kugel sind.
+Trotzdem ist der Tangentialvektor oder der Geschwindigkeitsvektor 
+nicht mehr ein Objekt, welches als Teil der Kugeloberfläche definiert
+werden kann, er kann nur definiert werden, wenn man sich die Kugel als
+in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen kann.
+
+Um die Idee der Differentialgleichung auf einer beliebigen Fläche
+konsistent zu machen ist daher notwendig, die Idee einer Tagentialrichtung
+auf eine Art zu definieren, die nicht von der Einbettung der Fläche
+in den $n$-dimensionalen Raum abhängig ist.
+Das in diesem Abschnitt entwickelte Konzept der {\em Mannigfaltigkeit}
+löst dieses Problem.
+
+\subsubsection{Karten}
+Die Navigation auf der Erdoberfläche verwendet das Koordinatensystem
+der geographischen Länge und Breite.
+Dieses Koordinatensystem funktioniert gut, solange man sich nicht an
+den geographischen Polen befindet, denn deren Koordinaten sind
+nicht mehr eindeutig.
+Alle Punkte mit geographischer Breite $90^\circ$ und beliebiger 
+geographischer Länge beschreiben den Nordpol.
+Auch die Ableitung funktioniert dort nicht mehr.
+Bewegt man sich mit konstanter Geschwindigkeit über den Nordpol,
+springt die Ableitung der geographischen Breite von einem positiven
+Wert auf einen negativen Wert, sie kann also nicht differenzierbar sein.
+Diese Einschränkungen sind in der Praxis nur ein geringes Problem dar,
+da die meisten Reisen nicht über die Pole erfolgen.
+
+Der Polarforscher, der in unmittelbarer Umgebung des Poles arbeitet,
+kann das Problem lösen, indem er eine lokale Karte für das Gebiet
+um den Pol erstellt.
+Dafür kann er beliebige Koordinaten verwenden, zum Beispiel auch
+ein kartesisches Koordinatensystem, er muss nur eine Methode haben,
+wie er seine Koordinaten wieder auf geographische Länge und Breite
+umrechnen will.
+Und wenn er über Geschwindigkeiten kommunizieren will, dann muss
+er auch Ableitungen von Kurven in seinem kartesischen Koordinatensystem
+umrechnen können auf die Kugelkoordinaten.
+Dazu muss seine Umrechnungsformel von kartesischen Koordinaten
+auf Kugelkoordinaten differenzierbar sein.
+
+Diese Idee wird durch das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert.
+Eine $n$-dimensionale {\em Mannigfaltigkeit} ist eine Menge $M$ von Punkten,
+die lokal, also in der Umgebung eines Punktes, mit möglicherweise mehreren
+verschiedenen Koordinatensystemen versehen werden kann.
+Ein Koordinatensystem ist eine umkehrbare Abbildung einer offenen Teilmenge
+$U\subset M$ in den Raum $\mathbb{R}^n$.
+Die Komponenten dieser Abbildung heissen die {\em Koordinaten}.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/karten.pdf}
+\caption{Karten
+$\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to \mathbb{R}^2$
+und
+$\varphi_\beta\colon U_\beta\to \mathbb{R}^2$
+auf einem Torus.
+Auf dem Überschneidungsgebiet $\varphi_\alpha^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$
+ist der Kartenwechsel $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ wohldefiniert
+und muss differnzierbar sein, wenn eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
+entstehen soll.
+\label{buch:gruppen:fig:karten}}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}
+Eine Karte auf $M$ ist eine umkehrbare Abbildung
+$\varphi\colon U\to \mathbb{R}^n$ (siehe auch
+Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:karten}).
+Ein differenzierbarer Atlas ist eine Familie von Karten $\varphi_\alpha$
+derart, dass die Definitionsgebiete $U_\alpha$ die ganze Menge $M$
+überdecken, und dass die Kartenwechsel Abbildungen
+\[
+\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}
+\colon
+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)
+\to
+\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
+\]
+als Abbildung von offenen Teilmengen von $\mathbb{R}^n$ differenzierbar
+ist.
+Eine {$n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit} ist eine
+Menge $M$ mit einem differenzierbaren Atlas.
+\end{definition}
+
+Karten und Atlanten regeln also nur, wie sich verschiedene lokale
+Koordinatensysteme ineinander umrechnen lassen.
+
+\begin{beispiel}
+$M=\mathbb{R}^n$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit denn 
+die identische Abbildung $M\to \mathbb{R}^n$ ist eine Karte und ein
+Atlas von $M$.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/60-gruppen/images/kartenkreis.pdf}
+\caption{Karten für die Kreislinie $S^1\subset\mathbb{R}^2$.
+\label{buch:gruppen:fig:kartenkreis}}
+\end{figure}
+Die Kreislinie in in der Ebene ist eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit.
+Natürlich kann sie nicht mit einer einzigen Karte beschrieben werden,
+da es keine umkehrbaren Abbildungen zwischen $\mathbb{R}$ und der Kreislinie
+gibt.
+Die Projektionen auf die einzelnen Koordinaten liefern die folgenden
+vier Karten:
+\begin{align*}
+\varphi_1&\colon U_{x>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x>0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto y
+\\
+\varphi_2&\colon U_{x<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge x<0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto y
+\\
+\varphi_3&\colon U_{y>0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y>0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto x
+\\
+\varphi_4&\colon U_{y<0}\{(x,y)\;|\;x^2+y^2=1\wedge y<0\} \to\mathbb{R}
+:
+(x,y) \mapsto x
+\end{align*}
+Die Werte der Kartenabbildungen sind genau die $x$- und $y$-Koordinaten
+auf der in den Raum $\mathbb{R}^2$ eingebetteten Kreislinie.
+
+Für $\varphi_1$ und $\varphi_2$ sind die Definitionsgebiete disjunkt,
+hier gibt es also keine Notwendigkeit, Koordinatenumrechnungen vornehmen
+zu können.
+Dasselbe gilt für $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
+
+Die nichtleeren Schnittmengen der verschiedenen Kartengebiete beschreiben
+jeweils die Punkte der Kreislinie in einem Quadranten.
+Die Umrechnung zwischen den Koordinaten und ihre Ableitung
+ist je nach Quadrant durch
+\begin{align*}
+&\text{1.~Quadrant}&
+\varphi_{31}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{31}
+&=
+-\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{2.~Quadrant}&
+\varphi_{24}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto\phantom{-}\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{24}
+&=
+-\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{3.~Quadrant}&
+\varphi_{42}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon y\mapsto-\sqrt{1-y^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{42}
+&=
+\phantom{-}\frac{y}{\sqrt{1-y^2\mathstrut}}
+\\
+&\text{4.~Quadrant}&
+\varphi_{14}
+&=
+\varphi_3\circ\varphi_1^{-1}\colon x\mapsto-\sqrt{1-x^2\mathstrut}
+&
+D\varphi_{14}
+&=
+\phantom{-}\frac{x}{\sqrt{1-x^2\mathstrut}}
+\end{align*}
+gegeben.
+Diese Abbildungen sind im offenen Intervall $(-1,1)$ differenzierbar,
+Schwierigkeiten mit der Ableitungen ergeben sich nur an den Stellen
+$x=\pm1$ und $y=\pm 1$, die in einem Überschneidungsgebiet von Karten
+nicht vorkommen können.
+Somit bilden die vier Karten einen differenzierbaren Atlas für
+die Kreislinie (Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}).
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Ganz analog zum vorangegangenen Beispiel über die Kreisline lässt sich
+für eine $n$-di\-men\-sio\-nale Sphäre
+\[
+S^n = \{ (x_1,\dots,x_{n+1})\;|\; x_0^2+\dots+x_n^2=1\}
+\]
+immer ein Atlas aus $2^{n+1}$ Karten mit den Koordinatenabbildungen
+\[
+\varphi_{i,\pm}
+\colon
+U_{i,\pm}
+=
+\{p\in S^n\;|\; \pm x_i >0\}
+\to
+\mathbb{R}^n
+:
+p\mapsto (x_1,\dots,\hat{x}_i,\dots,x_{n+1})
+\]
+konstruieren, der $S^n$ zu einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit macht.
+\end{beispiel}
+
+\subsubsection{Tangentialraum}
+Mit Hilfe einer Karte $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$
+kann das Geschehen in einer Mannigfaltigkeit in den vertrauten 
+$n$-dimensionalen Raum $\mathbb{B}^n$ transportiert werden. 
+Eine Kurve $\gamma\colon \mathbb{R}\to M$, die so parametrisiert sein
+soll, dass $\gamma(t)\in U_\alpha$ für $t$ in einer Umgebung $I$ von $0$ ist,
+wird von der Karte in eine Kurve
+$\gamma_\alpha=\varphi_\alpha\circ\gamma\colon I\to \mathbb{R}^n$ 
+abgebildet,
+deren Tangentialvektor wieder ein Vektor in $\mathbb{R}^n$ ist.
+
+Eine zweite Karte $\varphi_\beta$ führt auf eine andere Kurve
+mit der Parametrisierung
+$\gamma_\beta=\varphi_\beta\circ\gamma\colon I \to \mathbb{R}^n$ 
+und einem anderen Tangentialvektor.
+Die beiden Tangentialvektoren können aber mit der Ableitung der
+Koordinatenwechsel-Abbildung
+$\varphi_{\beta\alpha}=\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon
+\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to \mathbb{R}^n$
+ineinander umgerechnet werden.
+Aus
+\[
+\gamma_\beta
+=
+\varphi_\beta\circ \gamma
+=
+(
+\varphi_\beta
+\circ
+\varphi_\alpha^{-1}
+)
+\circ
+\varphi_\alpha\circ\gamma
+=
+\varphi_{\beta\alpha}
+\circ
+\varphi_\alpha\circ\gamma
+=
+\varphi_{\beta\alpha}\circ\gamma_\alpha
+\]
+folgt durch Ableitung nach dem Kurvenparameter $t$, dass
+\[
+\frac{d}{dt}\gamma_\beta(t)
+=
+D\varphi_{\beta\alpha}
+\cdot
+\frac{d}{dt}\gamma_\alpha(t).
+\]
+Die Ableitung $D\varphi_{\beta\alpha}$ von $\varphi_{\beta\alpha}$ 
+an der Stelle $\gamma_\alpha(t)$ berechnet also aus dem Tangentialvektor
+einer Kurve in der Karte $\varphi_\alpha$ den Tangentialvektor der
+Kurve in der Karte $\varphi_\beta$.
+
+Die Forderung nach Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen
+$\varphi_{\beta\alpha}$ stellt also nur sicher, dass die Beschreibung
+eines Systemes mit Differentialgleichungen in verschiedenen
+Koordinatensystemen auf die gleichen Lösungskurven in der
+Mannigfaltigkeit führt.
+Insbesondere ist die Verwendung von Karten ist also nur ein Werkzeug,
+mit dem die Unmöglichkeit einer globalen Besschreibung einer
+Mannigfaltigkeit $M$ mit einem einzigen globalen Koordinatensystem
+ohne Singularitäten umgangen werden kann.
+
+\begin{beispiel}
+Das Beispiel des Kreises in Abbildung~\ref{buch:gruppen:fig:kartenkreis}
+zeigt, dass die Tangentialvektoren je nach Karte sehr verschieden
+aussehen können.
+Der Tangentialvektor der Kurve $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ im Punkt
+$\gamma(t)$ ist $\dot{y}(t)$ in den Karten $\varphi_1$ und $\varphi_2$ 
+und $\dot{x}(t)$ in den Karten $\varphi_3$ und $\varphi_4$.
+
+Die spezielle Kurve $\gamma(t) = (\cos t,\sin t)$ hat in einem Punkt
+$t\in (0,\frac{\pi}2)$.
+in der Karte $\varphi_1$ den Tangentialvektor $\dot{y}(t)=\cos t$,
+in der Karte $\varphi_3$ aber den Tangentialvektor $\dot{x}=-\sin t$.
+Die Ableitung des Kartenwechsels in diesem Punkt ist die $1\times 1$-Matrix
+\[
+D\varphi_{31}(\gamma(t))
+=
+-\frac{y(t)}{\sqrt{1-y(t)^2}}
+=
+-\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}
+=
+-\frac{\sin t}{\cos t}
+=
+-\tan t.
+\]
+Die Koordinatenumrechnung ist gegeben durch
+\[
+\dot{x}(t)
+=
+D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
+\dot{y}(t)
+\]
+wird für die spezielle Kurve $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ wird dies zu
+\[
+D\varphi_{31}(\gamma(t)) 
+\cdot
+\dot{y}(t)
+=
+-\tan t\cdot \cos t
+=
+-\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \cos t
+=
+-\sin t
+=
+\dot{x}(t).
+\qedhere
+\]
+\end{beispiel}
+
+Betrachtet man die Kreislinie als Kurve in $\mathbb{R}^2$,
+dann ist der Tangentialvektor durch
+$\dot{\gamma}(t)=(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ gegeben.
+Da die Karten Projektionen auf die $x$- bzw.~$y$-Achsen sind,
+entsteht der Tangentialvektor in der Karte durch Projektion
+von $(\dot{x}(t),\dot{y}(t))$ auf die entsprechende Komponente.
+
+Die Tangentialvektoren in zwei verschiedenen Punkten der Kurve können
+im Allgemeinen nicht miteinander verglichen werden.
+Darüber hinweg hilft auch die Tatsache nicht, dass die Kreislinie
+in den Vektorraum $\mathbb{R}^2$ eingebettet sind, wo sich Vektoren
+durch Translation miteinander vergleichen lassen.
+Ein nichtverschwindender Tangentialvektor im Punkt $(1,0)$ hat, 
+betrachtet als Vektor in $\mathbb{R}^2$ verschwindende $x$-Komponente,
+für Tangentialvektoren im Inneren eines Quadranten ist dies nicht
+der Fall.
+
+Eine Möglichkeit, einen Tangentialvektor in $(1,0)$ mit einem
+Tangentialvektor im Punkt $(\cos t,\sin t)$ zu vergleichen, besteht
+darin, den Vektor um den Winkel $t$ zu drehen.
+Dies ist möglich, weil die Kreislinie eine kontinuierliche Symmetrie,
+nämlich die Drehung um den Winkel $t$ hat, die es erlaubt, den Punkt $(1,0)$
+in den Punkt $(\cos t,\sin t)$ abzubilden.
+Erst diese Symmetrie ermöglicht den Vergleich.
+Dieser Ansatz ist für alle Matrizen erfolgreich, wie wir später sehen werden.
+
+Ein weiterer Ansatz, Tangentialvektoren zu vergleichen, ist die Idee, 
+einen sogenannten Zusammenhang zu definieren, eine Vorschrift, wie
+Tangentialvektoren infinitesimal entlang von Kurven in der Mannigfaltigkeit
+transportiert werden können.
+Auf einer sogenannten {\em Riemannschen Mannigfaltigkeit} ist zusätzlich
+zur Mannigfaltigkeitsstruktur die Längenmessung definiert.
+Sie kann dazu verwendet werden, den Transport von Vektoren entlang einer
+Kurve so zu definieren, dass dabei Längen und Winkel erhalten bleiben.
+Dieser Ansatz ist die Basis der Theorie der Krümmung sogenannter
+Riemannscher Mannigfaltigkeiten.
+
+\subsection{Der Satz von Noether
+\label{buch:subsection:noether}}
+
+
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
index 2acf6f6..5c973fd 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6001.tex
@@ -1,233 +1,233 @@
-Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$
-um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$
-ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.
-Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht
-darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation
-schreiben.
-Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,
-indem zunächst die Ebene mit
-\[
-\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
-:
-\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
-\mapsto
-\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
-\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad
-\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.
-Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form
-\[
-\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-\]
-als Matrizenoperation geschrieben werden.
-Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher
-die Gruppe
-\[
-G
-=
-\left\{
-\left.
-A
-=
-\begin{pmatrix}
-D_\alpha&\vec{t}\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\
-\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\
-     0     &       0     &  1
-\end{pmatrix}
-\;
-\right|
-\;
-\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
-\right\}
-\]
-Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 
-$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$
-wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie
-$\alpha$ und $\vec{t}_j$.
-\item
-Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.
-\item
-Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$
-und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},
-\quad
-t_x\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},
-\qquad
-t_y\mapsto
-\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $G$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,
-die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.
-\item
-Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-\\
-&=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1
-\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\
-0&1
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.
-\end{align*}
-Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher
-\[
-(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)
-=
-(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)
-\]
-geschrieben werden.
-\item
-Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$
-kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$
-auflöst:
-\begin{align*}
-\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}
-&&\Rightarrow&
-D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}
-\\
-&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})
-\end{align*}
-Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.
-\item
-Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,
-ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.
-Für die beiden anderen gilt
-\[
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
-\quad\text{und}\quad
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)
-=
-\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),
-\]
-also sind dies auch Einparameteruntergruppen.
-\item
-Die Ableitungen sind
-\begin{align*}
-D
-&=
-\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}
-=
-\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&-1&0\\
-1& 0&0\\
-0& 0&0
-\end{pmatrix}
-\\
-X
-&=
-\frac{d}{dt_x}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_x=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-&
-Y
-&=
-\frac{d}{dt_y}
-\left.
-\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
-\right|_{t_y=0}
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Vertauschungsrelationen sind
-\begin{align*}
-[D,X]
-&=
-DX-XD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&1\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
-Y
-\\
-[D,Y]
-&=
-DY-YD
-=
-\begin{pmatrix}
-0&0&-1\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}
-0&0&0\\
-0&0&0\\
-0&0&0
-\end{pmatrix}
-=
--X
-\\
-[X,Y]
-&=
-XY-YX
-=
-0-0=0
-\qedhere
-\end{align*}
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
+Eine Drehung eines Vektors $\vec{x}$ der Ebene $\mathbb{R}^2$
+um den Winkel $\alpha$ gefolgt von einer Translation um $\vec{t}$
+ist gegeben durch $D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$.
+Darauf lässt sich jedoch die Theorie der Matrizengruppen nicht
+darauf anwenden, weil die Operation nicht die Form einer Matrixmultiplikation
+schreiben.
+Die Drehung und Translation kann in eine Matrix zusammengefasst werden,
+indem zunächst die Ebene mit
+\[
+\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
+:
+\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
+\mapsto
+\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}
+\qquad\text{oder in Vektorschreibweise }\qquad
+\vec{x}\mapsto\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
+\]
+in den dreidimensionalen Raum eingebettet wird.
+Die Drehung und Verschiebung kann damit in der Form
+\[
+\begin{pmatrix}D_\alpha\vec{x}+\vec{t}\\1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}D_\alpha&\vec{t}\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
+\]
+als Matrizenoperation geschrieben werden.
+Die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen der Ebene ist daher
+die Gruppe
+\[
+G
+=
+\left\{
+\left.
+A
+=
+\begin{pmatrix}
+D_\alpha&\vec{t}\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\alpha & -\sin\alpha & t_x \\
+\sin\alpha &  \cos\alpha & t_y \\
+     0     &       0     &  1
+\end{pmatrix}
+\;
+\right|
+\;
+\alpha\in\mathbb{R},\vec{t}\in\mathbb{R}^2
+\right\}
+\]
+Wir kürzen die Elemente von $G$ auch als $(\alpha,\vec{t})$ ab.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Verifizieren Sie, dass das Produkt zweier solcher Matrizen 
+$(\alpha_1,\vec{t}_1)$ und $(\alpha_2,\vec{t}_2)$
+wieder die selbe Form $(\alpha,\vec{t})$ hat und berechnen Sie
+$\alpha$ und $\vec{t}_j$.
+\item
+Bestimmen Sie das inverse Element zu $(\alpha,\vec{t}) \in G$.
+\item
+Die Elemente der Gruppe $G$ sind parametrisiert durch den Winkel $\alpha$
+und die Translationskomponenten $t_x$ und $t_y$.
+Rechnen Sie nach, dass
+\[
+\alpha\mapsto \begin{pmatrix} D_{\alpha}&0\\0&1\end{pmatrix},
+\quad
+t_x\mapsto
+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix},
+\qquad
+t_y\mapsto
+\begin{pmatrix} I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
+\]
+Einparameteruntergruppen von $G$ sind.
+\item
+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $D$, $X$ und $Y$,
+die zu den Einparameteruntergruppen von c) gehören.
+\item
+Berechnen Sie die Lie-Klammer für alle Paare von Tangentialvektoren.
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die Wirkung beider Gruppenelemente auf dem Vektor $\vec{x}$ ist
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}&\vec{t}_2\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}
+&=
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_1}&\vec{t}_1\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+D_{\alpha_1}(D_{\alpha_2}\vec{x}+\vec{t}_2)+\vec{t}_1\\1
+\end{pmatrix}
+\\
+&=
+\begin{pmatrix}
+D_{\alpha_1}D_{\alpha_2}\vec{x} + D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\1
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+D_{\alpha_1+\alpha_2}&D_{\alpha_1}\vec{t}_2+\vec{t}_1\\
+0&1
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}\vec{x}\\1\end{pmatrix}.
+\end{align*}
+Das Produkt in der Gruppe $G$ kann daher
+\[
+(\alpha_1,\vec{t}_1) (\alpha_2,\vec{t}_2)
+=
+(\alpha_1+\alpha_2,\vec{t}_1+D_{\alpha_1}\vec{t}_2)
+\]
+geschrieben werden.
+\item
+Die Inverse der Abbildung $\vec{x}\mapsto \vec{y}=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}$
+kann gefunden werden, indem man auf der rechten Seite nach $\vec{x}$
+auflöst:
+\begin{align*}
+\vec{y}&=D_\alpha\vec{x}+\vec{t}
+&&\Rightarrow&
+D_{\alpha}^{-1}( \vec{y}-\vec{t}) &= \vec{x}
+\\
+&&&& \vec{x} &= D_{-\alpha}\vec{y} + (-D_{-\alpha}\vec{t})
+\end{align*}
+Die Inverse von $(\alpha,\vec{t})$ ist also $(-\alpha,-D_{-\alpha}\vec{t})$.
+\item
+Da $D_\alpha$ eine Einparameteruntergruppe von $\operatorname{SO}(2)$ ist,
+ist $\alpha\mapsto (D_\alpha,0)$ ebenfalls eine Einparameteruntergruppe.
+Für die beiden anderen gilt
+\[
+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}\\0\end{pmatrix}\biggr)
+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
+=
+\biggl(I,\begin{pmatrix}t_{x1}+t_{x2}\\0\end{pmatrix}\biggr)
+\quad\text{und}\quad
+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}\end{pmatrix}\biggr)
+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y2}\end{pmatrix}\biggr)
+=
+\biggl(I,\begin{pmatrix}0\\t_{y1}+t_{y2}\end{pmatrix}\biggr),
+\]
+also sind dies auch Einparameteruntergruppen.
+\item
+Die Ableitungen sind
+\begin{align*}
+D
+&=
+\frac{d}{d\alpha}\begin{pmatrix}D_\alpha&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{\alpha=0}
+=
+\begin{pmatrix}J&0\\0&0\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&-1&0\\
+1& 0&0\\
+0& 0&0
+\end{pmatrix}
+\\
+X
+&=
+\frac{d}{dt_x}
+\left.
+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}t_x\\0\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
+\right|_{t_x=0}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&1\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+&
+Y
+&=
+\frac{d}{dt_y}
+\left.
+\begin{pmatrix}I&\begin{pmatrix}0\\t_y\end{pmatrix}\\0&1\end{pmatrix}
+\right|_{t_y=0}
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item
+Die Vertauschungsrelationen sind
+\begin{align*}
+[D,X]
+&=
+DX-XD
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&1\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+Y
+\\
+[D,Y]
+&=
+DY-YD
+=
+\begin{pmatrix}
+0&0&-1\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}
+0&0&0\\
+0&0&0\\
+0&0&0
+\end{pmatrix}
+=
+-X
+\\
+[X,Y]
+&=
+XY-YX
+=
+0-0=0
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
index 14fbe2b..25ac535 100644
--- a/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
+++ b/buch/chapters/60-gruppen/uebungsaufgaben/6002.tex
@@ -1,162 +1,162 @@
-Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von
-$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$
-beschrieben werden,
-wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:
-\[
-(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.
-\]
-Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.
-Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung
-\[
-\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}
-\]
-in $\mathbb{R}^2$ ein.
-Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann
-\[
-\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.
-\]
-Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer 
-$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.
-Die Abbildung
-\[
-G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
-:
-(\lambda,t)
-\mapsto
-\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente
-$g_j=(\lambda_j,t_j)$.
-\item 
-Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.
-\item
-Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,
-berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).
-\item
-Rechnen Sie nach, dass
-\[
-s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}
-,\qquad
-t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}
-\]
-Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.
-\item
-Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden
-Einparameteruntergruppen.
-\item
-Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$
-\end{teilaufgaben}
-
-\begin{loesung}
-\begin{teilaufgaben}
-\item
-Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach
-\[
-(\lambda_1,t_1)
-(\lambda_2,t_2)
-\cdot
-x
-=
-(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)
-=
-\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)
-=
-\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),
-\]
-also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.
-\item
-Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die
-Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:
-\[
-y=\lambda x+t
-\qquad\Rightarrow\qquad
-\lambda^{-1}(y-t)
-=
-\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.
-\]
-Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$
-ist.
-\item
-Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$
-kann man den Kommutator leichter berechnen
-\begin{align*}
-g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
-\\
-g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)
-\\
-(g_2g_1)^{-1}
-&=
-(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
-	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-\\
-g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}
-&=
-(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
-(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
-	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-\\
-&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(
-	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
-)
-\\
-&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)
-=
-(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).
-\end{align*}
-Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.
-\item
-Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
-\begin{align*}
-\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
-&
-\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
-&=
-\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item
-Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
-Matrixdarstellung nach dem Parameter
-\begin{align*}
-S
-&=
-\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}
-=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\\
-T
-&=
-\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
-=
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\end{align*}
-\item Der Kommutator ist
-\[
-[S,T]
-=
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
--
-\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
-=
-T.
-\qedhere
-\]
-\end{teilaufgaben}
-\end{loesung}
-
+Die Elemente der Gruppe $G$ der Translationen und Streckungen von
+$\mathbb{R}$ kann durch Paare $(\lambda,t)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}$
+beschrieben werden,
+wobei $\lambda$ durch Streckung und $t$ durch Translation wirkt:
+\[
+(\lambda,t)\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\mapsto \lambda x+t.
+\]
+Dies ist allerdings noch keine Untergruppe einer Matrizengruppe.
+Dazu bettet man $\mathbb{R}$ mit Hilfe der Abbildung
+\[
+\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : x\mapsto \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}
+\]
+in $\mathbb{R}^2$ ein.
+Die Wirkung von $(\lambda,t)$ ist dann
+\[
+\begin{pmatrix}(\lambda,t)\cdot x\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix} \lambda x + t\\1\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.
+\]
+Die Wirkung des Paares $(\lambda,t)$ kann also mit Hilfe einer 
+$2\times 2$-Matrix beschrieben werden.
+Die Abbildung
+\[
+G\to \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})
+:
+(\lambda,t)
+\mapsto
+\begin{pmatrix}\lambda&t\\0&1\end{pmatrix}
+\]
+bettet die Gruppe $G$ in $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ ein.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Berechnen Sie das Produkt $g_1g_2$ zweier Elemente
+$g_j=(\lambda_j,t_j)$.
+\item 
+Bestimmen Sie das inverse Elemente von $(\lambda,t)$ in $G$.
+\item
+Der sogenannte Kommutator zweier Elemente ist $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$,
+berechnen Sie den Kommutator für die Gruppenelemente von a).
+\item
+Rechnen Sie nach, dass
+\[
+s\mapsto \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}
+,\qquad
+t\mapsto \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}
+\]
+Einparameteruntergruppen von $\operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ sind.
+\item
+Berechnen Sie die Tangentialvektoren $S$ und $T$ dieser beiden
+Einparameteruntergruppen.
+\item
+Berechnen Sie den Kommutator $[S,T]$
+\end{teilaufgaben}
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die beiden Gruppenelemente wirken auf $x$ nach
+\[
+(\lambda_1,t_1)
+(\lambda_2,t_2)
+\cdot
+x
+=
+(\lambda_1,t_1)(\lambda_2x+t_2)
+=
+\lambda_1(\lambda_2x+t_2)+t_1)
+=
+\lambda_1\lambda_2 x + (\lambda_1t_2+t_1),
+\]
+also ist $g_1g_2=(\lambda_1\lambda_2,\lambda_1t_2+t_1)$.
+\item
+Die Inverse von $(\lambda,t)$ kann erhalten werden, indem man die
+Abbildung $x\mapsto y=\lambda x +t$ nach $x$ auflöst:
+\[
+y=\lambda x+t
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\lambda^{-1}(y-t)
+=
+\lambda^{-1}y - \lambda^{-1}t.
+\]
+Daraus liest man ab, dass $(\lambda,t)^{-1}=(\lambda^{-1},-\lambda^{-1}t)$
+ist.
+\item
+Mit Hilfe der Identität $g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}=g_1g_2(g_2g_1)^{-1}$
+kann man den Kommutator leichter berechnen
+\begin{align*}
+g_1g_2&=(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
+\\
+g_2g_1&= (\lambda_2\lambda_1,t_2+\lambda_2t_1)
+\\
+(g_2g_1)^{-1}
+&=
+(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
+\\
+g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}
+&=
+(\lambda_1\lambda_2,t_1+\lambda_1t_2)
+(\lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1},
+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
+\\
+&=(1,t_1+\lambda_1t_2 + \lambda_1\lambda_2(
+	-\lambda_2^{-1}\lambda_1^{-1}(t_2+\lambda_2t_1))
+)
+\\
+&=(1, t_1+\lambda_1t_2 - t_2 -\lambda_2t_1)
+=
+(1,(1-\lambda_2)(t_1-t_2)).
+\end{align*}
+Der Kommutator ist also das neutrale Element, wenn $\lambda_2=1$ ist.
+\item
+Dies ist am einfachsten in der Matrixform nachzurechnen:
+\begin{align*}
+\begin{pmatrix} e^{s_1}&0\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} e^{s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
+&=
+\begin{pmatrix}e^{s_1+s_2}&0\\0&1\end{pmatrix}
+&
+\begin{pmatrix} 1&t_1\\0&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 1&t_2\\0&1\end{pmatrix}
+&=
+\begin{pmatrix} 1&t_1+t_2\\0&1\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item
+Die Tangentialvektoren werden erhalten durch ableiten der
+Matrixdarstellung nach dem Parameter
+\begin{align*}
+S
+&=
+\frac{d}{ds} \begin{pmatrix}e^s&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{s=0}
+=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+\\
+T
+&=
+\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\bigg|_{t=0}
+=
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\end{align*}
+\item Der Kommutator ist
+\[
+[S,T]
+=
+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+-
+\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
+=
+T.
+\qedhere
+\]
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}
+