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diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex index 073deab..c453eb9 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex @@ -18,7 +18,11 @@ Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$ als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung, die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$ konzentriert hat. -Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft. +Es werden daher mit der Zeit immer stärkere benachbarte Standardbasisvektoren +in der Lösung auftreten. +Auch die Eigenbasis hilft nicht, dieses Lösungsverhalten aufzuzeigen: +sie sind im Definitionsgebiet stark delokalisiert und daher die allmählich +abnehmende Lokalisierung der Lösung nicht wiedergeben. \subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$} Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss @@ -29,7 +33,7 @@ der partiellen Differentialgleichung Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung $\partial^2/\partial x^2$ sind. -Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die +Diese haben das gleiche Problem: Der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle. Die Funktion \[ @@ -90,7 +94,7 @@ wenigstens ablesen, dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft werden. Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe -beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung +beim Knoten $i$, die kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung über grössere Distanzen. Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis. @@ -142,7 +146,7 @@ Es stellt sich daher die Frage, ob man für eine beliebige Menge \( T= \{ t_1,t_2,\dots\} \) -von Streckungsfaktoren eine Familie von Funktionen $\chi_j$ zu finden +von Streckungsfaktoren eine Familie von Funktionen $\chi_j$ finden derart, dass man sich die $\chi_j$ in einem gewissen Sinn als aus $\chi_0$ durch Dilatation entstanden vorstellen kann. @@ -174,8 +178,8 @@ die in der Umgebung eines Knotens wie die konstante Funktion aussehen. Das Mutter-Wavelet einer Wavelet-Analyse definiert, in welchem Mass sich Funktionen im Orts- und im Frequenzraum lokalisieren lassen. Die Standardbasis der Funktionen auf einem Graphen repräsentieren die -perfekte örtliche Lokalisierung, Eigenbasis der Laplace-Matrix $L$ repräsentiert -die perfekte Lokalisierung im Frequenzraum. +perfekte örtliche Lokalisierung, die Eigenbasis der Laplace-Matrix +$L$ repräsentiert die perfekte Lokalisierung im Frequenzraum. Sei $g(\lambda)\ge 0$ eine Funktion im Frequenzraum, die für $\lambda\to0$ und $\lambda\to\infty$ rasch abfällt mit einem Maximum irgendwo dazwischen (Abbildung~\ref{buch:graphs:fig:lokalisierung}). @@ -190,11 +194,13 @@ Natürlich sind vor allem die Werte auf den Eigenwerten $\lambda_0 < \lambda_1\le \dots\le \lambda_n$ der Laplace-Matrix von Interesse. -Die Matrix $g(L)$ kann mit Hilfe der Spektraltheorie berechnet werden, +Die Matrix $g(L)$ kann mit Hilfe der Spektraltheorie +von Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} +berechnet werden, was im vorliegenden Fall naheliegend ist, weil ja die Eigenvektoren der Laplace-Matrix bereits bekannt sind. Die Matrix $\chi^t$ bildet die Standardbasisvektoren in die -Eigenbasis-Vektoren ab, also in eine Zerlegung im Frequenzraum ab, +Eigenbasis-Vektoren ab, also in eine Zerlegung im Frequenzraum, $\chi$ vermittelt die Umkehrabbildung. Mit der Spektraltheorie findet man für die Abbildung $g(L)$ die Matrix \begin{equation} @@ -255,7 +261,7 @@ Wir erhalten daher in den Spalten von $h(L)$ Vektoren, die um die einzelnen Knoten lokalisiert sind. \subsubsection{Rekonstruktion} -Die Operatoren $h(L)$ und $g_i(L)$ erzeugen analysieren eine Funktion +Die Operatoren $h(L)$ und $g_i(L)$ analysieren eine Funktion nach den verschiedenen Frequenzen mit den Skalierungsfaktoren $a_i$, aber die Rekonstruktion ist noch nicht klar. Diese wäre einfacher, wenn die Operatoren zusammen die identische |