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diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
index bd77756..c1bc5df 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/Makefile
@@ -1,22 +1,22 @@
-#
-# Makefile -- Bilder für Kapitel Graphen
-#
-# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-#
-all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf fundamental.pdf
-
-peterson.pdf:	peterson.tex
-	pdflatex peterson.tex
-
-adjazenzu.pdf:	adjazenzu.tex
-	pdflatex adjazenzu.tex
-
-adjazenzd.pdf:	adjazenzd.tex
-	pdflatex adjazenzd.tex
-
-kreis.pdf:	kreis.tex
-	pdflatex kreis.tex
-
-fundamental.pdf:	fundamental.tex
-	pdflatex fundamental.tex
-
+#
+# Makefile -- Bilder für Kapitel Graphen
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	peterson.pdf adjazenzu.pdf adjazenzd.pdf kreis.pdf fundamental.pdf
+
+peterson.pdf:	peterson.tex
+	pdflatex peterson.tex
+
+adjazenzu.pdf:	adjazenzu.tex
+	pdflatex adjazenzu.tex
+
+adjazenzd.pdf:	adjazenzd.tex
+	pdflatex adjazenzd.tex
+
+kreis.pdf:	kreis.tex
+	pdflatex kreis.tex
+
+fundamental.pdf:	fundamental.tex
+	pdflatex fundamental.tex
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
index b7fe9c4..388bdf7 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/images/fundamental.tex
@@ -1,54 +1,54 @@
-%
-% fundamental.tex -- template for standalon tikz images
-%
-% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\documentclass[tikz]{standalone}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{times}
-\usepackage{txfonts}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{csvsimple}
-\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
-\begin{document}
-\def\skala{1}
-\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
-
-\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
-	\draw[color=red,line width=2pt] (1.8,0) -- (1.8,2);
-	\draw[color=red,line width=2pt] (0,0) -- (4,0);
-	\node at (1.8,0) [below] {$i$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-
-	\node at (2,-2.3) [below] {Standarbasis};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}
-	\draw[color=red,line width=1.4pt] 
-		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*sin(\x)});
-	\draw[color=blue,line width=1.4pt] 
-		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*cos(\x)});
-	\node[color=blue] at (1,-1) {$\Re f_i$};
-	\node[color=red] at (2,1) {$\Im f_i$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-	\node at (2,-2.3) [below] {Eigenbasis};
-\end{scope}
-
-\begin{scope}[xshift=4.6cm]
-	\foreach \t in {0.02,0.05,0.1,0.2,0.5}{
-		\draw[color=red,line width=1.0pt]
-			plot[domain=-1.8:2.2,samples=100]
-				({\x+1.8},{exp(-\x*\x/(4*\t))/(sqrt(4*3.1415*\t))});
-	}
-	\fill[color=red] (1.8,0) circle[radius=0.08];
-	\node at (1.8,0) [below] {$\xi$};
-	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
-	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
-	\node at (2,-2.3) [below] {Fundamentallösung};
-\end{scope}
-
-\end{tikzpicture}
-\end{document}
-
+%
+% fundamental.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\begin{scope}[xshift=-4.6cm]
+	\draw[color=red,line width=2pt] (1.8,0) -- (1.8,2);
+	\draw[color=red,line width=2pt] (0,0) -- (4,0);
+	\node at (1.8,0) [below] {$i$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
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+
+	\node at (2,-2.3) [below] {Standarbasis};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}
+	\draw[color=red,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*sin(\x)});
+	\draw[color=blue,line width=1.4pt] 
+		plot[domain=0:360,samples=100] ({\x/90},{2*cos(\x)});
+	\node[color=blue] at (1,-1) {$\Re f_i$};
+	\node[color=red] at (2,1) {$\Im f_i$};
+	\draw[->] (-0.1,0) -- (4.3,0) coordinate[label={$x$}];
+	\draw[->] (0,-2.1) -- (0,2.3) coordinate[label={right:$y$}];
+	\node at (2,-2.3) [below] {Eigenbasis};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=4.6cm]
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+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
index f68c814..72e3519 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/spektral.tex
@@ -1,198 +1,198 @@
-%
-% spektral.tex
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Spektrale Graphentheorie
-\label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}
-\rhead{Spektrale Graphentheorie}
-Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines
-ungerichteten Graphen.
-Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine
-Komponente haben.
-Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen
-Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.
-
-\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$
-\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}
-TODO XXX 
-
-\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen
-\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}
-Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet
-werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.
-Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung
-auf dem Graphen.
-Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten
-zu einem anderen zu fliessen.
-Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto
-grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur
-der beteiligten Knoten.
-Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional
-\[
-\frac{dT_i}{dt}
-=
-\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)
-=
--
-\kappa
-\biggl(
-d_iT_i
--
-\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j
-\biggr)
-\]
-Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 
-Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:
-\begin{equation}
-\frac{dT}{dt}
-=
--\kappa L T.
-\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}
-\end{equation}
-Der Wärmefluss, der durch die
-Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben
-wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.
-Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,
-desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen
-statt.
-Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 
-über den Graphen.
-
-\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
-\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
-Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
-ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
-die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
-Die Lösung ist
-\[
-f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).
-\]
-
-Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich
-ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.
-Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 
-orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.
-Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die
-zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.
-Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung
-der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten
-\begin{align*}
-\frac{d}{dt}f_i(t)
-&=
--\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i
-=
--\kappa\lambda_i f_i(t)
-\\
--\kappa Lf_i(t)
-&=
--\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i
-=
--\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i
-=
--\kappa \lambda_i f_i(t)
-\end{align*}
-von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.
-
-Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen
-Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 
-den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.
-Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.
-Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,
-die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:
-\[
-f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.
-\]
-Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel
-\begin{equation}
-f(t)
-=
-\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)
-=
-\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i
-\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}
-\end{equation}
-ableiten.
-
-\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
-\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
-Graphen.
-\label{buch:graphen:fig:kreis}}
-\end{figure}
-Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
-von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
-Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
-\[
-\left.
-\begin{aligned}
-s_m(k)
-&=
-\sin\frac{2\pi mk}{n}
-\\
-c_m(k)
-&=
-\cos\frac{2\pi mk}{n}
-\end{aligned}
-\;
-\right\}
-\quad
-\Rightarrow
-\quad
-e_m(k)
-=
-e^{2\pi imk/n}
-=
-c_m(k) + is_m(k).
-\]
-Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
-\[
-\langle e_m, e_{m'}\rangle
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-\overline{e^{2\pi i km/n}}
-e^{2\pi ikm'/n}
-=
-\frac1n
-\sum_{k=1}^n
-e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
-=
-\delta_{mm'}
-\]
-Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
-Funktionen auf $G$.
-Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
-die Funktionen
-\[
-c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
-\]
-eine orthonormierte Basis.
-
-
-Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
-Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
-Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
-Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
-Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
-\[
-(Lf)(v)
-=
-\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
-\]
-
-\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
-\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
-Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
-kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
-Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
-\[
-e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
-1\qquad&v=v'\\
-0\qquad&\text{sonst.}
-\end{cases}
-\]
-
-
+%
+% spektral.tex
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Spektrale Graphentheorie
+\label{buch:section:spektrale-graphentheorie}}
+\rhead{Spektrale Graphentheorie}
+Die Laplace-Matrix codiert alle wesentliche Information eines
+ungerichteten Graphen.
+Sie operiert auf Vektoren, die für jeden Knoten des Graphen eine
+Komponente haben.
+Dies eröffnet die Möglichkeit, den Graphen über die linearalgebraischen
+Eigenschaften der Laplace-Matrix zu studieren.
+
+\subsection{Grapheigenschaften und Spektrum von $L$
+\label{buch:subsection:grapheigenschaften-und-spektrum-von-l}}
+TODO XXX 
+
+\subsection{Wärmeleitung auf einem Graphen
+\label{buch:subsection:waermeleitung-auf-einem-graphen}}
+Die Vektoren, auf denen die Laplace-Matrix operiert, können betrachtet
+werden als Funktionen, die jedem Knoten einen Wert zuordnen.
+Eine mögliche physikalische Interpretation davon ist die Temperaturverteilung
+auf dem Graphen.
+Die Kanten zwischen den Knoten erlauben der Wärmeenergie, von einem Knoten
+zu einem anderen zu fliessen.
+Je grösser die Temperaturdifferenz zwischen zwei Knoten ist, desto
+grösser ist der Wärmefluss und desto schneller ändert sich die Temperatur
+der beteiligten Knoten.
+Die zeitliche Änderung der Temperatur $T_i$ im Knoten $i$ ist proportional
+\[
+\frac{dT_i}{dt}
+=
+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} \kappa (T_j-T_i)
+=
+-
+\kappa
+\biggl(
+d_iT_i
+-
+\sum_{\text{$j$ Nachbar von $i$}} T_j
+\biggr)
+\]
+Der Term auf der rechten Seite ist genau die Wirkung der 
+Laplace-Matrix auf dem Vektor $T$ der Temperaturen:
+\begin{equation}
+\frac{dT}{dt}
+=
+-\kappa L T.
+\label{buch:graphen:eqn:waermeleitung}
+\end{equation}
+Der Wärmefluss, der durch die
+Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} beschrieben
+wird, codiert ebenfalls wesentliche Informationen über den Graphen.
+Je mehr Kanten es zwischen verschiedenen Teilen eines Graphen gibt,
+desto schneller findet der Wärmeaustausch zwischen diesen Teilen
+statt.
+Die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung liefern also Informationen 
+über den Graphen.
+
+\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren
+\label{buch:subsection:ein-zyklischer-graph}}
+Die Wärmeleitungsgleichung~\eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} 
+ist eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten,
+die mit der Matrixexponentialfunktion gelöst werden.
+Die Lösung ist
+\[
+f(t) = e^{-\kappa Lt}f(0).
+\]
+
+Die Berechnung der Lösung mit der Matrixexponentialreihe ist ziemlich
+ineffizient, da grosse Matrizenprodukte berechnet werden müssen.
+Da die Matrix $L$ symmetrisch ist, gibt es eine Basis aus 
+orthonormierten Eigenvektoren und die Eigenwerte sind reell.
+Wir bezeichnen die Eigenvektoren mit $f_1,\dots,f_n$  und die
+zugehörigen Eigenwerte mit $\lambda_i$.
+Die Funktion $f_i(t)= e^{-\kappa\lambda_it}f_i$ ist dann eine Lösung
+der Wärmeleitungsgleichung, denn die beiden Seiten
+\begin{align*}
+\frac{d}{dt}f_i(t)
+&=
+-\kappa\lambda_ie^{-\kappa\lambda_it}f_i
+=
+-\kappa\lambda_i f_i(t)
+\\
+-\kappa Lf_i(t)
+&=
+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} Lf_i
+=
+-\kappa e^{-\kappa\lambda_it} \lambda_i f_i
+=
+-\kappa \lambda_i f_i(t)
+\end{align*}
+von \eqref{buch:graphen:eqn:waermeleitung} stimmen überein.
+
+Eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu einer beliebigen
+Anfangstemperaturverteilung $f$ kann durch Linearkombination aus 
+den Lösungen $f_i(t)$ zusammengesetzt werden.
+Dazu ist nötig, $f$ aus den Vektoren $f_i$ linear zu kombinieren.
+Da aber die $f_i$ orthonormiert sind, ist dies besonders einfach,
+die Koeffizienten sind die Skalarprodukte mit den Eigenvektoren:
+\[
+f=\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i.
+\]
+Daraus kann man die allgmeine Lösungsformel
+\begin{equation}
+f(t)
+=
+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle f_i(t)
+=
+\sum_{i=1}^n \langle f_i,f\rangle e^{-\kappa\lambda_i t}f_i
+\label{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+\end{equation}
+ableiten.
+
+\subsection{Beispiel: Ein zyklischer Graph}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/kreis.pdf}
+\caption{Beispiel Graph zur Illustration der verschiedenen Basen auf einem
+Graphen.
+\label{buch:graphen:fig:kreis}}
+\end{figure}
+Wir illustrieren die im folgenden entwickelte Theorie an dem Beispielgraphen
+von Abbildung~\ref{buch:graphen:fig:kreis}.
+Besonders interessant sind die folgenden Funktionen:
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+s_m(k)
+&=
+\sin\frac{2\pi mk}{n}
+\\
+c_m(k)
+&=
+\cos\frac{2\pi mk}{n}
+\end{aligned}
+\;
+\right\}
+\quad
+\Rightarrow
+\quad
+e_m(k)
+=
+e^{2\pi imk/n}
+=
+c_m(k) + is_m(k).
+\]
+Das Skalarprodukt dieser Funktionen ist
+\[
+\langle e_m, e_{m'}\rangle
+=
+\frac1n
+\sum_{k=1}^n
+\overline{e^{2\pi i km/n}}
+e^{2\pi ikm'/n}
+=
+\frac1n
+\sum_{k=1}^n
+e^{\frac{2\pi i}{n}(m'-m)k}
+=
+\delta_{mm'}
+\]
+Die Funktionen bilden daher eine Orthonormalbasis des Raums der
+Funktionen auf $G$.
+Wegen $\overline{e_m} = e_{-m}$ folgt, dass für gerade $n$
+die Funktionen
+\[
+c_0, c_1,s_1,c_2,s_2,\dots c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2-1},c_{\frac{n}2}
+\]
+eine orthonormierte Basis.
+
+
+Die Laplace-Matrix kann mit der folgenden Definition zu einer linearen
+Abbildung auf Funktionen auf dem Graphen gemacht werden.
+Sei $f\colon V\to \mathbb{R}$ und $L$ die Laplace-Matrix mit
+Matrixelementen $l_{vv'}$ wobei $v,v'\in V$ ist.
+Dann definieren wir die Funktion $Lf$ durch
+\[
+(Lf)(v)
+=
+\sum_{v'\in V} l_{vv'}f(v').
+\]
+
+\subsection{Standardbasis und Eigenbasis
+\label{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis}}
+Die einfachste Basis, aus der siche Funktionen auf dem Graphen linear
+kombinieren lassen, ist die Standardbasis.
+Sie hat für jeden Knoten $v$ des Graphen eine Basisfunktion mit den Werten
+\[
+e_v\colon V\to\mathbb R:v'\mapsto \begin{cases}
+1\qquad&v=v'\\
+0\qquad&\text{sonst.}
+\end{cases}
+\]
+
+
diff --git a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
index 9c88c08..26a9e42 100644
--- a/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
+++ b/buch/chapters/70-graphen/wavelets.tex
@@ -1,125 +1,125 @@
-%
-% wavelets.tex -- Wavelets auf Graphen
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Wavelets auf Graphen
-\label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}
-\rhead{Wavelets auf Graphen}
-In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde
-gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen
-Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen
-beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen
-Graphen entsprechen.
-Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen
-Knoten fast vollständig.
-
-Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
-als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
-die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
-konzentriert hat.
-Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.
-
-\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}
-Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
-der partiellen Differentialgleichung
-\[
-\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
-\]
-Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
-Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
-$\partial^2/\partial x^2$ sind.
-Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die
-Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.
-Die Funktion
-\[
-F(x,t)
-=
-\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}
-\]
-ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an
-der Stelle $0$.
-Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.
-Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion
-\begin{equation}
-f(x,t)
-=
-\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi
-\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}
-\end{equation}
-kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.
-Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch
-deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.
-
-% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}
-\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen
-Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.
-In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte
-abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung
-besonders leicht berechnet werden.
-Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen
-übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an 
-einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral
-\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.
-\label{buch:graphen:fig:fundamental}}
-\end{figure}
-
-\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}
-Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen
-Standardbasisvektor mit Hilfe der
-Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}
-gefunden werden.
-Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die
-Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$
-in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.
-Dies ist aber aus der expliziten Formel
-\begin{equation}
-F_i(t)
-=
-\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j
-=
-\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},
-\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}
-\end{equation}
-nicht unmittelbar erkennbar.
-
-Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,
-dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft
-werden.
-Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe
-beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung
-über grössere Distanzen.
-Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen
-den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.
-Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,
-sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen
-auf die gleiche Art bearbeitet.
-
-Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,
-aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber
-auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste
-Funktionen gefunden werden können.
-
-\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum}
-Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt
-
-
-\subsection{Frequenzspektrum
-\label{buch:subsection:frequenzspektrum}}
-Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches
-wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht.
-
-Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen
-schneller dämpft als die tiefen Frequenzen.
-
-
-\subsection{Wavelet-Basen
-\label{buch:subsection:}}
-
-
-
-
-
+%
+% wavelets.tex -- Wavelets auf Graphen
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Wavelets auf Graphen
+\label{buch:section:wavelets-auf-graphen}}
+\rhead{Wavelets auf Graphen}
+In Abschnitt~\ref{buch:subsection:standardbasis-und-eigenbasis} wurde
+gezeigt dass die Standardbasis den Zusammenhang zwischen den einzelnen
+Teilen des Graphen völlig ignoriert, während die Eigenbasis Wellen
+beschreibt, die mit vergleichbarer Amplitude sich über den ganzen
+Graphen entsprechen.
+Die Eigenbasis unterdrückt also die ``Individualität'' der einzelnen
+Knoten fast vollständig.
+
+Wenn man einen Standardbasisvektor in einem Knoten $i$
+als Anfangstemperaturverteilung verwendet, erwartet man eine Lösung,
+die für kleine Zeiten $t$ die Energie immer in der Nähe des Knotens $i$
+konzentriert hat.
+Weder die Standardbasis noch die Eigenbasis haben diese Eigenschaft.
+
+\subsection{Vergleich mit der Wärmeleitung auf $\mathbb{R}$}
+Ein ähnliches Phänomen findet man bei der Wärmeausbreitung gemäss
+der partiellen Differentialgleichung
+\[
+\frac{\partial T}{\partial t} = -\kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
+\]
+Die von Fourier erfundene Methode, die Fourier-Theorie, verwendet die
+Funktionen $e^{ik x}$, die Eigenvektoren der zweiten Ableitung
+$\partial^2/\partial x^2$ sind.
+Diese haben das gleiche Problem, der Betrag von $e^{ikx}$ ist $1$, die
+Entfernung von einem Punkt spielt überhaupt keine Rolle.
+Die Funktion
+\[
+F(x,t)
+=
+\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/4\kappa t}
+\]
+ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit einem Maximum an
+der Stelle $0$.
+Sie heisst die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung.
+Durch Überlagerung von Translaten in eine Funktion
+\begin{equation}
+f(x,t)
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(\xi) F(x-\xi,t)\,d\xi
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung}
+\end{equation}
+kann man die allgemeine Lösung aus Fundamentallösungen zusammensetzen.
+Die Fundamentallösungen $f(x-\xi,t)$ sind für kleine Zeiten immer noch
+deutlich in einer Umgebung von $\xi$ konzentriert.
+
+% XXX Ausbreitung der Fundamentallösung illustrieren
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/70-graphen/images/fundamental.pdf}
+\caption{Vergleich der verschiedenen Funktionenfamilien, mit denen
+Lösungenfunktionen durch Linearkombination erzeugt werden können.
+In der Standarbasis (links) ist es am einfachsten, die Funktionswerte
+abzulesen, in der Eigenbasis (Mitte) kann die zeitliche Entwicklung
+besonders leicht berechnet werden.
+Dazuwischen liegen die Fundamentallösungen (rechts), die eine einigermassen
+übersichtliche Zeitentwicklung haben, die Berechnung der Temperatur an 
+einer Stelle $x$ zur Zeit $t$ ist aber erst durch das Integral
+\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalueberlagerung} gegeben.
+\label{buch:graphen:fig:fundamental}}
+\end{figure}
+
+\subsection{Fundamentallösungen auf einem Graphen}
+Die Wärmeleitungsgleichung auf einem Graphen kann für einen
+Standardbasisvektor mit Hilfe der
+Lösungsformel~\eqref{buch:graphen:eqn:eigloesung}
+gefunden werden.
+Aus physikalischen Gründen ist aber offensichtlich, dass die
+Wärmeenergie Fundamentallösungen $F_i(t)$ für kurze Zeiten $t$
+in der Nähe des Knoten $i$ konzentriert ist.
+Dies ist aber aus der expliziten Formel
+\begin{equation}
+F_i(t)
+=
+\sum_{j=1}^n \langle f_j,e_i\rangle e^{-\kappa \lambda_i t} f_j
+=
+\sum_{j=1}^n \overline{f}_{ji} e^{-\kappa \lambda_i t},
+\label{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph}
+\end{equation}
+nicht unmittelbar erkennbar.
+
+Man kann aber aus~\eqref{buch:graphen:eqn:fundamentalgraph} ablesen,
+dass für zunehmende Zeit die hohen Frequenzen sehr schnell gedämpft
+werden.
+Die hohen Frequenzen erzeugen also den scharfen Peak für Zeiten nahe
+beim Knoten $i$, die zu kleineren $\lambda_i$ beschreiben die Ausbreitung
+über grössere Distanzen.
+Die Fundamentallösung interpoliert also in einem gewissen Sinne zwischen
+den Extremen der Standardbasis und der Eigenbasis.
+Die ``Interpolation'' geht von der Differentialgleichung aus,
+sie ist nicht einfach nur ein Filter, der die verschiedenen Frequenzen
+auf die gleiche Art bearbeitet.
+
+Gesucht ist eine Methode, eine Familie von Vektoren zu finden,
+aus der sich alle Vektoren linear kombinieren lassen, in der aber
+auch auf die für die Anwendung interessante Längenskala angepasste
+Funktionen gefunden werden können.
+
+\subsection{Wavelets und Frequenzspektrum}
+Eine Wavelet-Basis der Funktionen auf $\mathbb{R}$ zerlegt
+
+
+\subsection{Frequenzspektrum
+\label{buch:subsection:frequenzspektrum}}
+Die Fundamentallösung der Wärmeleitunsgleichung haben ein Spektrum, welches
+wie $e^{-k^2}$ gegen $0$ geht.
+
+Die Fundamentallösung entsteht dadurch, dass die hohen Frequenzen
+schneller dämpft als die tiefen Frequenzen.
+
+
+\subsection{Wavelet-Basen
+\label{buch:subsection:}}
+
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+
+
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