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Betrag beschreibt. +Für eine faire Münze ist die Gewinnerwartung in diesem Spiel natürlich +$E(X)=0$. +Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $1+e$ ist, dann muss +die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust $1-e$ sein, und die +Gewinnerwartung ist +\( +E(X) += +1\cdot P(X=1) + (-1)\cdot P(X=-1) += +1+e + (-1)(1-e) += +2e. +\) +Die Gewinnerwartung ist also genau dann negativ, wenn $e<0$ ist. + +\subsubsection{Das Spiel $B$} +Das zweite Spiel $B$ ist etwas komplizierter, da der Spielablauf vom +aktuellen Kapital $K$ des Spielers abhängt. +Wieder gewinnt oder verliert der Spieler eine Einheit, +die Gewinnwahrscheinlichkeit hängt aber vom Dreierrest des Kapitals ab. +Sei $Y$ die Zufallsvariable, die den Gewinn beschreibt. +Ist $K$ durch drei teilbar, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit $\frac1{10}$, +andernfalls ist sie $\frac34$. +Formell ist +\begin{equation} +\begin{aligned} +P(Y=1|\text{$K$ durch $3$ teilbar}) &= \frac{1}{10} +\\ +P(Y=1|\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) &= \frac{3}{4} +\end{aligned} +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Bwahrscheinlichkeiten} +\end{equation} +Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn in zwei der +Fälle recht gross, in einem Fall aber sehr klein. + +\subsubsection{Übergangsmatrix im Spiel $B$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/spielB.pdf} +\caption{Zustandsdiagramm für das Spiel $B$, Zustände sind die +Dreierreste des Kapitals. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB}} +\end{figure}% +Für den Verlauf des Spiels spielt nur der Dreierrest des Kapitals +eine Rolle. +Es gibt daher drei mögliche Zustände $0$, $1$ und $2$. +In einem Spielzug finde ein Übergang in einen anderen Zustand +statt, der Eintrag $b_{ij}$ ist die Wahrscheinlichkeit +\[ +b_{ij} += +P(K\equiv i|K\equiv j), +\] +dass ein Übergang vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ stattfindet. +Die Matrix ist +\[ +B= +\begin{pmatrix} +0 &\frac14 &\frac34\\ +\frac1{10} &0 &\frac14\\ +\frac9{10} &\frac34 &0 +\end{pmatrix}. +\] + +\subsubsection{Gewinnerwartung in einem Einzelspiel $B$} +Die Gewinnerwartung einer einzelnen Runde des Spiels $B$ hängt natürlich +ebenfalls vom Ausgangskapital ab. +Mit den Wahrscheinlichkeiten von +\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Bwahrscheinlichkeiten} +findet man die Gewinnerwartung +\begin{equation} +\begin{aligned} +E(Y| \text{$K$ durch $3$ teilbar}) +&= +1\cdot P(Y=1|K\equiv 0\mod 3) ++ +(-1)\cdot P(Y=-1|K\equiv 0\mod 3) +\\ +&= +\frac1{10} +- +\frac{9}{10} += +-\frac{8}{10} +\\ +E(Y| \text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) +&= +1\cdot P(Y=1|K\not\equiv 0\mod 3) ++ +(-1)\cdot P(Y=-1|K\not\equiv 0\mod 3) +\\ +&= +\frac34-\frac14 += +\frac12. +\end{aligned} +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Berwartungen} +\end{equation} +Falls $K$ durch drei teilbar ist, muss der Spieler +also mit einem grossen Verlust rechnen, andernfalls mit einem +moderaten Gewinn. + +Ohne weiteres Wissen über das Anfangskapital ist es zulässig anzunehmen, +dass die drei möglichen Reste die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. +Die Gewinnerwartung in diesem Fall ist dann +\begin{align} +E(Y) +&= +E(Y|\text{$K$ durch $3$ teilbar}) \cdot \frac13 ++ +E(Y|\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) \cdot \frac23 +\notag +\\ +&= +-\frac{8}{10}\cdot\frac{1}{3} ++ +\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} += +-\frac{8}{30}+\frac{10}{30} += +\frac{2}{30} += +\frac{1}{15}. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Beinzelerwartung} +\end{align} +Unter der Annahme, dass alle Reste die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, +ist das Spiel also ein Gewinnspiel. + +Die Berechnung der Gewinnerwartung in einem Einzelspiel kann man +wie folgt formalisieren. +Die Matrix $B$ gibt die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen +verschiedenen Zuständen. +Die Matrix +\[ +G=\begin{pmatrix} + 0&-1& 1\\ + 1& 0&-1\\ +-1& 1& 0 +\end{pmatrix} +\] +gibt die Gewinne an, die bei einem Übergang anfallen. +Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des Hadamard-Produktes +$G\odot B$ +von $G$ mit $B$ enthält in den Spalten die Gewinnerwartungen +für die einzelnen Übergänge aus einem Zustand. +Die Summe der Elemente der Spalte $j$ enthält die Gewinnerwartung +\[ +E(Y|K\equiv j) += +\sum_{i=0}^2 g_{ij}b_{ij} +\] +für einen Übergang aus dem Zustand $j$. +Man kann dies auch als einen Zeilenvektor schreiben, der durch Multiplikation +der Matrix $G\odot B$ mit dem Zeilenvektor +$U^t=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$ +entsteht: +\[ +\begin{pmatrix} +E(Y|K\equiv 0)& +E(Y|K\equiv 1)& +E(Y|K\equiv 2) +\end{pmatrix} += +U^t +G\odot B. +\] +Die Gewinnerwartung ist dann das Produkt +\[ +E(Y) += +\sum_{i=0}^2 +E(Y|K\equiv i) p_i += +U^t +(G\odot B)p. +\] +Tatsächlich ist +\[ +G\odot B += +\begin{pmatrix} + 0 &-\frac14 & \frac34\\ + \frac1{10} & 0 &-\frac14\\ +-\frac9{10} & \frac34 & 0 +\end{pmatrix} +\quad\text{und}\quad +U^t G\odot B += +\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix}. +\] +Dies stimmt mit den Erwartungswerten in +\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Berwartungen} +überein. +Die gesamte Geinnerwartung ist dann +\begin{equation} +(G\odot B) +\begin{pmatrix}\frac13\\\frac13\\\frac13\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix} +\frac13U += +\frac13\biggl(-\frac{8}{10}+\frac12+\frac12\biggr) += +\frac13\cdot\frac{2}{10} += +\frac{1}{15}, +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:BodotEinzelerwartung} +\end{equation} +dies stimmt mit \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Beinzelerwartung} +überrein. + +\subsubsection{Das wiederholte Spiel $B$} +Natürlich spielt man das Spiel nicht nur einmal, sondern man wiederholt es. +Es ist verlockend anzunehmen, dass die Dreierreste $0$, $1$ und $2$ des +Kapitals immer noch gleich wahrscheinlich sind. +Dies braucht jedoch nicht so zu sein. +Wir prüfen die Hypothese daher, indem wir die Wahrscheinlichkeit +für die verschiedenen Dreierreste des Kapitals in einem interierten +Spiels ausrechnen. + +Das Spiel kennt die Dreierreste als die drei für das Spiel ausschlaggebenden +Zuständen. +Das Zustandsdiagramm~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB} zeigt +die möglichen Übergänge und ihre Wahrscheinlichkeiten, die zugehörige +Matrix ist +\[ +B += +\begin{pmatrix} +0 &\frac14 &\frac34\\ +\frac1{10} &0 &\frac14\\ +\frac9{10} &\frac34 &0 +\end{pmatrix} +\] +Die Matrix $B$ ist nicht negativ und man kann nachrechnen, dass $B^2>0$ ist. +Damit ist die Perron-Frobenius-Theorie von +Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen} +anwendbar. + +Ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ kann mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +gefunden werden: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +-1 &\frac14 &\frac34 \\ +\frac1{10} &-1 &\frac14 \\ +\frac9{10} &\frac34 &-1 \\ +\hline +\end{tabular} +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 &-\frac14 &-\frac34 \\ +0 &-\frac{39}{40} & \frac{13}{40} \\ +0 & \frac{39}{40} &-\frac{13}{40} \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 &-\frac14 &-\frac34 \\ +0 & 1 &-\frac13 \\ +0 & 0 & 0 \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 & 0 &-\frac56 \\ +0 & 1 &-\frac13 \\ +0 & 0 & 0 \\ +\hline +\end{tabular} +\end{align*} +Daraus liest man einen möglichen Lösungsvektor mit den Komponenten +$5$, $2$ und $6$ ab. +Wir suchen aber einen Eigenvektor, der als Wahrscheinlichkeitsverteilung +dienen kann. +Dazu müssen sich die Komponente zu $1$ summieren, was man durch normieren +in der $l^1$-Norm erreichen kann: +\begin{equation} +p += +\begin{pmatrix} +P(K\equiv 0)\\ +P(K\equiv 1)\\ +P(K\equiv 2) +\end{pmatrix} += +\frac{1}{5+2+6} +\begin{pmatrix} +5\\2\\6 +\end{pmatrix} += +\frac{1}{13} +\begin{pmatrix} +5\\2\\6 +\end{pmatrix} +\approx +\begin{pmatrix} + 0.3846 \\ + 0.1538 \\ + 0.4615 +\end{pmatrix}. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:spielBP} +\end{equation} +Die Hypothese, dass die drei Reste gleich wahrscheinlich sind, ist +also nicht zutreffend. + +Die Perron-Frobenius-Theorie sagt, dass sich die +Verteilung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:spielBP} nach einiger Zeit +einstellt. +Wir können jetzt auch die Gewinnerwartung in einer einzelnen +Runde des Spiels ausgehend von dieser Verteilung der Reste des Kapitals +berechnen. +Dazu brauchen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten für Gewinn oder +Verlust, die wir mit dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit +nach +\begin{align*} +P(Y=+1) +&= +P(Y=+1|K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) ++ +P(Y=+1|K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) ++ +P(Y=+1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) +\\ +&= +\frac{1}{10}\cdot\frac{5}{13} ++ +\frac{3}{4} \cdot\frac{2}{13} ++ +\frac{3}{4} \cdot\frac{6}{13} +\\ +&= +\frac1{13}\biggl( +\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{9}{2} +\biggr) += +\frac{13}{26} += +\frac12 +\\ +P(Y=-1) +&= +P(Y=-1|K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) ++ +P(Y=-1|K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) ++ +P(Y=-1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) +\\ +&= +\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{13} ++ +\frac{1}{4} \cdot\frac{2}{13} ++ +\frac{1}{4} \cdot\frac{6}{13} +\\ +&= +\frac{1}{13}\biggl( +\frac{9}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} +\biggr) += +\frac{1}{2} +\end{align*} +berechnen können. +Gewinn und Verlust sind also gleich wahrscheinlich, das Spiel $B$ ist also +ebenfalls fair. + +Auch diese Gewinnwahrscheinlichkeit kann etwas formeller mit dem +Hadamard-Produkt berechnet werden: +\[ +U^t (G\odot B) p += +\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix} +\frac{1}{13} +\begin{pmatrix} +5\\2\\6 +\end{pmatrix} += +-\frac{8}{10}\cdot\frac{5}{13} ++\frac{1}{2} \cdot\frac{2}{13} ++\frac{1}{2} \cdot\frac{6}{13} += +\frac{1}{26}(-8 + 2+ 6) += +0, +\] +wie erwartet. + +\subsubsection{Das modifizierte Spiel $\tilde{B}$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/spielBtilde.pdf} +\caption{Zustandsdiagramm für das modifizerte Spiel $\tilde{B}$, +Zustände sind die Dreierreste des Kapitals. +Gegenüber dem Spiel $B$ +(Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB}) +sind die Wahrscheinlichkeiten für Verlust +um $\varepsilon$ vergrössert und die Wahrscheinlichkeiten für Gewinn um +$\varepsilon$ verkleinert worden. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielBtile}} +\end{figure} +% +Wir modifizieren jetzt das Spiel $B$ derart, dass die Wahrscheinlichkeiten +für Gewinn um $\varepsilon$ verringert werden und die Wahrscheinlichkeiten +für Verlust um $\varepsilon$ vergrössert werden. +Die Übergangsmatrix des modifzierten Spiels $\tilde{B}$ ist +\[ +\tilde{B} += +\begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{4}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon \\ +\frac{1}{10}-\varepsilon & 0 & \frac{1}{4}+\varepsilon \\ +\frac{9}{10}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon & 0 +\end{pmatrix} += +B ++ +\varepsilon +\underbrace{ +\begin{pmatrix} + 0& 1&-1\\ +-1& 0& 1\\ + 1&-1& 0 +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle F} +\] +Wir wissen bereits, dass der Vektor $p$ +von \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:spielBP} +als stationäre Verteilung +Eigenvektor zum Eigenwert +$B$ ist, wir versuchen jetzt in erster Näherung die modifizierte +stationäre Verteilung $p_{\varepsilon}=p+\varepsilon p_1$ des modifizierten +Spiels zu bestimmen. + +\subsubsection{Gewinnerwartung im modifizierten Einzelspiel} +Die Gewinnerwartung aus den verschiedenen Ausgangszuständen kann mit Hilfe +des Hadamard-Produktes berechnet werden. +Wir berechnen dazu zunächst +\[ +G\odot \tilde{B} += +G\odot (B+\varepsilon F) += +G\odot B + \varepsilon G\odot F +\quad\text{mit}\quad +G\odot F = \begin{pmatrix} +0&1&1\\ +1&0&1\\ +1&1&0 +\end{pmatrix}. +\] +Nach der früher dafür gefundenen Formel ist +\begin{align*} +\begin{pmatrix} +E(Y|K\equiv 0)& +E(Y|K\equiv 1)& +E(Y|K\equiv 2) +\end{pmatrix} +&= +U^t (G\odot \tilde{B}) +\\ +&= +U^t (G\odot B) ++ +\varepsilon +U^t (G\odot F) +\\ +&= +\begin{pmatrix} -\frac{8}{10}&\frac12&\frac12 \end{pmatrix} ++ +2\varepsilon U^t +\\ +&= +\begin{pmatrix} -\frac{8}{10}+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon \end{pmatrix}. +\end{align*} +Unter der Annahme gleicher Wahrscheinlichkeiten für die Ausgangszustände, +erhält man die Gewinnerwartung +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t(G\odot \tilde{B}) +\begin{pmatrix} +\frac13\\ +\frac13\\ +\frac13 +\end{pmatrix} +\\ +&= +U^t +(G\odot B) +\frac13 U ++ +\varepsilon +U^t +(G\odot F) +\frac13 U +\\ +&= +\frac1{15} ++ +2\varepsilon +\end{align*} +unter Verwendung der in +\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:BodotEinzelerwartung} +berechneten Gewinnerwartung für das Spiel $B$. + +\subsubsection{Iteration des modifizierten Spiels} +Der Gaussalgorithmus liefert nach einiger Rechnung, die man am besten +mit einem Computeralgebrasystem durchführt, +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +-1 & \frac{1}{4}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon \\ +\frac{1}{10}-\varepsilon & -1 & \frac{1}{4}+\varepsilon \\ +\frac{9}{10}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon & -1 \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +% [ 2 ] +% [ 80 epsilon + 12 epsilon + 78 ] +%(%o15) Col 1 = [ ] +% [ 0 ] +% [ ] +% [ 0 ] +% [ 0 ] +% [ ] +% Col 2 = [ 2 ] +% [ 80 epsilon + 12 epsilon + 78 ] +% [ ] +% [ 0 ] +% [ 2 ] +% [ (- 80 epsilon ) + 40 epsilon - 65 ] +% [ ] +% Col 3 = [ 2 ] +% [ (- 80 epsilon ) - 12 epsilon - 26 ] +% [ ] +% [ 0 ] +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1&0&-\frac{65-40\varepsilon+80\varepsilon^2}{78+12\varepsilon+80\varepsilon^2}\\ +0&0&-\frac{26+12\varepsilon+80\varepsilon^2}{78+12\varepsilon+80\varepsilon^2}\\ +0&0&0\\ +\hline +\end{tabular}, +\] +woraus man die Lösung +\[ +p += +\begin{pmatrix} +65-40\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +26+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +78+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +\end{pmatrix} +\] +ablesen kann. +Allerdings ist dies keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, +wir müssen dazu wieder normieren. +Die Summe der Komponenten ist +\[ +\|p\|_1 += +169 - 16 \varepsilon + 240 \varepsilon^2. +\] +Damit bekommen wir für die Lösung bis zur ersten Ordnung +\[ +p_\varepsilon += +\frac{1}{ 169 - 16 \varepsilon + 240 \varepsilon^2} +\begin{pmatrix} +65-40\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +26+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +78+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +\end{pmatrix} += +% [ 2 3 ] +% [ 5 440 epsilon 34080 epsilon 17301120 epsilon ] +% [ -- - ----------- - -------------- + ----------------- + . . . ] +% [ 13 2197 371293 62748517 ] +% [ ] +% [ 2 3 ] +%(%o19)/T/ [ 2 188 epsilon 97648 epsilon 6062912 epsilon ] +% [ -- + ----------- + -------------- - ---------------- + . . . ] +% [ 13 2197 371293 62748517 ] +% [ ] +% [ 2 3 ] +% [ 6 252 epsilon 63568 epsilon 11238208 epsilon ] +% [ -- + ----------- - -------------- - ----------------- + . . . ] +% [ 13 2197 371293 62748517 ] +\frac{1}{13} +\begin{pmatrix} 5\\2\\6 \end{pmatrix} ++ +\frac{\varepsilon}{2197} +\begin{pmatrix} +-440\\188\\252 +\end{pmatrix} ++ +O(\varepsilon^2). +\] +Man beachte, dass der konstante Vektor der ursprüngliche Vektor $p$ +für das Spiel $B$ ist. +Der lineare Term ist ein Vektor, dessen Komponenten sich zu $1$ summieren, +in erster Ordnung ist also die $l^1$-Norm des Vektors wieder +$\|p_\varepsilon\|_1=0+O(\varepsilon^2)$. + +Mit den bekannten Wahrscheinlichkeiten kann man jetzt die +Gewinnerwartung in einem einzeln Spiel ausgehend von der Verteilung +$p_{\varepsilon}$ berechnen. +Dazu braucht man das Hadamard-Produkt +\[ +G\odot \tilde{B} += +G=\begin{pmatrix} + 0&-1& 1\\ + 1& 0&-1\\ +-1& 1& 0 +\end{pmatrix} +\odot +\begin{pmatrix} +0 &\frac14+\varepsilon & \frac34-\varepsilon \\ +\frac{1}{10}-\varepsilon & 0 & \frac14+\varepsilon \\ +\frac{9}{10}+\varepsilon &\frac34-\varepsilon & 0 +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} + 0 &-\frac14-\varepsilon & \frac34-\varepsilon \\ + \frac{1}{10}-\varepsilon & 0 &-\frac14-\varepsilon \\ +-\frac{9}{10}-\varepsilon & \frac34-\varepsilon & 0 +\end{pmatrix} +\] +Wie früher ist der erwartete Gewinn +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t (G\odot \tilde{B}) p_{\varepsilon} +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\frac{3}{10}-2\varepsilon & \frac12-2\varepsilon & \frac12-2\varepsilon +\end{pmatrix} +p_{\varepsilon} +\\ +% 3 2 +% 480 epsilon - 48 epsilon + 294 epsilon +%(%o50) - ---------------------------------------- +% 2 +% 240 epsilon - 16 epsilon + 169 +&= +- +\varepsilon\cdot +\frac{ +294-48\varepsilon+480\varepsilon^2 +}{ +169-16\varepsilon+240\varepsilon^2 +} += +-\frac{294}{169}\varepsilon + O(\varepsilon^2). +\end{align*} +Insbesondere ist also die Gewinnerwartung negativ für nicht zu grosse +$\varepsilon>0$. +Das Spiel ist also ein Verlustspiel. + +% +% Die Kombination +% +\subsection{Kombination der Spiele +\label{buch:subsection:kombination}} +Jetzt werden die beiden Spiele $A$ und $B$ zu einem neuen +Spiel kombiniert. +Für das Spiel $A$ haben wir bis jetzt keine Übergansmatrix aufgestellt, +da das Kapital darin keine Rolle spielt. +Um die beiden Spiele kombinieren zu können brauchen wir aber die Übergansmatrix +für die drei Zustände $K\equiv 0,1,2$. +Sie ist +\[ +A=\begin{pmatrix} +0&\frac12&\frac12\\ +\frac12&0&\frac12\\ +\frac12&\frac12&0 +\end{pmatrix}. +\] + +\subsubsection{Das Spiel $C$} +In jeder Durchführung des Spiels wird mit einem Münzwurf entschieden, +ob Spiel $A$ oder Spiel $B$ gespielt werden soll. +Mit je Wahrscheinlichkeit $\frac12$ werden also die Übergansmatrizen +$A$ oder $B$ verwendet: +\[ +P(K\equiv i|K\equiv j) += +A\cdot P(\text{Münzwurf Kopf}) ++ +B\cdot P(\text{Münzwurf Kopf}) += +\frac12(A+B) += +\begin{pmatrix} +0 & \frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\ +\frac{3}{10} & 0 & \frac{3}{8} \\ +\frac{7}{10} & \frac{5}{8} & 0 +\end{pmatrix} +\] +Die Gewinnerwartung in einem Einzelspiel ist +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t +(G\odot C) +\frac13U +\\ +&= +U^t +\begin{pmatrix} + 0 &-\frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\ + \frac{3}{10} & 0 &-\frac{3}{8} \\ +-\frac{7}{10} & \frac{5}{8} & 0 +\end{pmatrix} +\frac13U +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\frac{2}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} +\end{pmatrix} +\frac13U += +\frac13\biggl(-\frac{2}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\biggr) += +-\frac{1}{30} +\end{align*} +Das Einzelspiel ist also ein Verlustspiel. + +\subsubsection{Das iterierte Spiel $C$} +Für das iterierte Spiel muss man wieder den Eigenvektor von $C$ zum +Eigenwert $1$ finden, die Rechnung mit dem Gauss-Algorithmus liefert +\[ +p= +\frac{1}{709} +\begin{pmatrix} +245\\180\\84 +\end{pmatrix}. +\] +Damit kann man jetzt die Gewinnwahrscheinlichkeit im iterierten Spiel +berechnen, es ist +\begin{align*} +E(Y) +&= +U^t +(G\odot C) p +\\ +&= +\begin{pmatrix} +-\frac{2}{5} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} +\end{pmatrix} +\frac{1}{709} +\begin{pmatrix} +245\\180\\84 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\frac{ +-2\cdot 49 + 45 + 71 +}{709} += +\frac{18}{709}, +\end{align*} +Das iteriert Spiel $B$ ist also ein Gewinnspiel! +Obwohl die Spiele $A$ und $B$ für sich alleine in der iterierten Form +keine Gewinnspiele sind, ist das kombinierte Spiel, wo man zufällig +die beiden Spiel verbindet immer ein Gewinnspiel. + +Man kann statt des Spiels $B$ auch das modifizierte Spiel $\tilde{B}$ +verwenden, welches für kleine $\varepsilon>0$ ein Verlustspiel ist. +Die Analyse lässt sich in der gleichen Weise durchführen und liefert +wieder, dass für nicht zu grosses $\varepsilon$ das kombinierte Spiel +ein Gewinnspiel ist. + + + + |