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| -rw-r--r-- | buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex | 23 |
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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex index 935aa2d..4cdc533 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex @@ -399,6 +399,29 @@ zu einem Eigenwert $\lambda$ mit Betrag $|\lambda|=\varrho(A)$ geben, aber a priori wissen wir nicht, ob es einen reellen Eigenwert vom Betrag $\varrho(A)$ gibt, und ob der Eigenvektor dazu reell ist. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/80-wahrscheinlichkeit/images/positiv.pdf} +\caption{Die Iteration einer positiven Matrix bildet den positiven Oktanten +in immer enger werdende Kegel ab, die die Richtung des gesuchten Eigenvektors +gemeinsam haben. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}} +\end{figure} + +In Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:vergleich} kann man sehen, +dass eine positive Abbildung den positiven Oktanten in einen etwas engeren +Kegel hinein abbildet. +Iteriert man dies (Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:figure:positiv}), +wird die Bildmenge immer enger, bis sie nur ein +sehr enger Kegel um die Richtung des Eigenvektors ist. +Tatsächlich kann man aus dieser Idee auch einen topologischen +Beweis des untenstehenden Satzes von Perron-Frobenius konstruieren. +Er beruht darauf, dass eine Abbildung, die Distanzen verkleinert, +einen Fixpunkt hat. +Die Konstruktion einer geeigneten Metrik ist allerdings eher +kompliziert, weshalb wir im Beweise der nachstehenden Aussagen +den konventionellen Weg wählen. + Wir beginnen damit zu zeigen, dass für positive Matrizen $A$, nichtnegative Eigenvektoren zu Eigenwerten $\lambda\ne 0$ automatisch positiv sind. |