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diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex index 159d6d3..4e57fe0 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/positiv.tex @@ -29,16 +29,16 @@ erklärt. \label{buch:subsection:elementare-eigenschaften}} In diesem Abschnitt betrachten wir ausschliesslich reelle Vektoren und Matrizen. -Die Komponenten sind somit immer mit miteinander vergleichbar, daraus +Die Komponenten sind somit immer miteinander vergleichbar, daraus lässt sich auch eine Vergleichsrelation zwischen Vektoren ableiten. \begin{definition} Ein Vektor $v\in\mathbb{R}^n$ heisst {\em positiv}, geschrieben -$v>0$, wenn alle seine Komponenten positiv sind: $v_i>0\forall i$. +$v>0$, wenn alle seine Komponenten positiv sind: $v_i>0\,\forall i$. Ein Vektor $v\in\mathbb{R}^n$ heisst {\em nichtnegativ}, in Formeln $v\ge 0$, wenn alle -seine Komponenten nicht negativ sind: $v_i\ge 0\forall i$. +seine Komponenten nicht negativ sind: $v_i\ge 0\,\forall i$. \index{positiver Vektor}% \index{nichtnegativer Vektor}% \end{definition} @@ -67,9 +67,9 @@ Die Definition funktionieren analog auch für Matrizen: \begin{definition} Eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ heisst {\em positiv}, -wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ positiv sind: $a_{i\!j}>0\forall i,j$. +wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ positiv sind: $a_{i\!j}>0\,\forall i,j$. Eine Matrix $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ heisst {\em nichtnegativ}, -wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ nichtnegativ sind: $a_{i\!j}\ge 0\forall i,j$. +wenn alle ihre Einträge $a_{i\!j}$ nichtnegativ sind: $a_{i\!j}\ge 0\,\forall i,j$. \index{positive Matrix}% \index{nichtnegative Matrix}% Man schreibt $A>B$ bzw.~$A\ge B$ wenn $A-B>0$ bzw.~$A-B\ge 0$. @@ -132,7 +132,7 @@ und dass daher für alle $n\ge 5$ die Matrix $A^n$ positiv ist. Die Eigenschaft der Matrix $A$ von \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusion}, dass $A^n>0$ -für genügend grosses $n$ ist bei Permutationsmatrizen nicht +für genügend grosses $n$ ist, ist bei Permutationsmatrizen nicht vorhanden. Die Zyklen-Zerlegung einer Permutationsmatrix zeigt, welche Unterräume von $\mathbb{R}^n$ die iterierten Bilder eines @@ -144,14 +144,16 @@ Unterräumen statt. \begin{beispiel} Die Matrix \begin{equation} -A=\begin{pmatrix} +A=\left(\begin{array}{ccc|ccc} 0.9&0.1& & & & \\ 0.1&0.8&0.1& & & \\ &0.1&0.9& & & \\ +\hline & & &0.9&0.1& \\ & & &0.1&0.8&0.1\\ & & & &0.1&0.9 -\end{pmatrix} +\end{array} +\right) \label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:diffusionbloecke} \end{equation} besteht aus zwei $3\times 3$-Blöcken. @@ -164,6 +166,7 @@ Teilmatrizen, aber die Matrix $A^n$ ist für alle $n$ nicht positiv. \end{beispiel} \begin{definition} +\label{buch:positiv:def:primitiv} Eine nichtnegative Matrix mit der Eigenschaft, dass $A^n>0$ für ein genügend grosses $n$, heisst {\em primitiv}. \index{primitive Matrix}% @@ -323,6 +326,7 @@ gleiche Richtung haben (rot). Hier dargestellt am Beispiel von Zahlen in der komplexen Zahlenebene. In dieser Form wird die verallgemeinerte Dreiecksungleichung in Satz~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:satz:verallgdreieckC} +angewendet. \label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:dreieck}} \end{figure} @@ -344,7 +348,7 @@ gewöhnliche Dreiecksungleichung. Wir nehmen daher jetzt an, die Aussage sei für $n$ bereits bewiesen, wir müssen sie für $n+1$ beweisen. -Die Summe von $n+1$ Vektoren kann man $u=u_1+\dots+u_n$ und $v=u_{n+1}$ +Die Summe von $n+1$ Vektoren kann man in $u=u_1+\dots+u_n$ und $v=u_{n+1}$ aufteilen. Es gilt nach der gewöhnlichen Dreiecksungleichung, dass \[ @@ -465,8 +469,8 @@ Das ist nur möglich, wenn $\lambda > 0$. Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ ist, dann ist auch jedes Vielfache davon ein Eigenvektor, insbesondere können einzelne Komponenten des Vektors $v$ auch negativ sein. -Der folgende Satz zeigt aber, dass man der Vektor aus den Beträgen -von der Komponenten von $v$ ebenfalls ein Eigenvektor zum +Der folgende Satz zeigt aber, dass der Vektor aus den Beträgen +der Komponenten von $v$ ebenfalls ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert ist. Insbesondere gibt es immer einen nichtnegativen Eigenvektor. |