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diff --git a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex index 535b359..a1cb747 100644 --- a/buch/chapters/90-crypto/ff.tex +++ b/buch/chapters/90-crypto/ff.tex @@ -7,6 +7,15 @@ \section{Kryptographie und endliche Körper \label{buch:section:kryptographie-und-endliche-koerper}} \rhead{Kryptographie und endliche Körper} +In diesem Abschnitt soll illustriert werden, wie die Arithmetik in +endlichen Körpern Algorithmen zu konstruieren erlaubt, mit denen sich +zum Beispiel sehr effizient kryptographische Schlüssel aushandeln +lassen. +Der klassische Diffie-Hellmann-Algorithmus in einem Galois-Körper +$\mathbb{F}_p$ wird in Abschnitt~\ref{buch:subsection:elliptische-kurven} +verallgemeinert auf eine sogenannte elliptische Kurve. +Diese Version des Algorithmus ist sehr effizient was die Bitlänge der +Schlüssel betrifft. \subsection{Potenzen in $\mathbb{F}_p$ und diskreter Logarithmus \label{buch:subsection:potenzen-diskreter-logarithmus}} @@ -439,6 +448,7 @@ Das Polynom ist \[ p(t) = +XXX \] Nach Division durch $t(t-1)$ erhält man als den Quotienten \begin{align*} @@ -652,13 +662,44 @@ Diese Operationen machen $E_{a,b}(\mathbb{F}_{p^l})$ zu einer endlichen abelschen Gruppe. \end{satz} -\subsubsection{Beispiele} -% XXX -TODO: elliptische Kurven in IPsec: Oakley Gruppen - \subsubsection{Diffie-Hellman in einer elliptischen Kurve} -% XXX -TODO: $g^x$ in einer elliptischen Kurve +Der klassische Diffie-Hellmann-Schlüsselalgorithmus in einem Körper +$\mathbb{F}_p$ basiert darauf, dass man beliebige Potenzen eines +Elementes berechnen kann, und dass es schwierig ist, diese Operation +umzukehren. +Die Addition in $\mathbb{F}_p$ wird für diesen Algorithmus überhaupt +nicht benötigt. + +In einer elliptischen Kurve gibt es ebenfalls eine Multiplikation, +aus der sich mit dem +Algorithmus~\ref{buch:crypto:teile-und-hersche} eine effizienter +Potenzieralgorithmus konstruieren lässt. + +Die im Internet Key Exchange Protokol +in RFC 2409 +\cite{buch:rfc2409} +definierte Oakley-Gruppe 4 +zum Beispiel verwendet einen Galois-Körper $\mathbb{F}_{2^{185}}$ +mit dem Minimalpolynom $m(x)=x^{185}+x^{69}+1\in \mathbb{F}_2[x]$ +und den Koeffizienten +\begin{align*} +a&=0\\ +b&=x^{12}+x^{11} + x^{10} + x^9 + x^7 + x^6 + x^5 + x^3 +1, +\end{align*} +die die elliptische Kurve definieren. + +Als Elemente $g$ für den Diffie-Hellmann-Algorithmus wird ein Punkt +der elliptischen Kurve verwendet, dessen $X$-Koordinaten durch das +Polynom $g_x = x^4+x^3$ gegeben ist. +Der Standard spezifiziert die $Y$-Koordinate nicht, diese kann aus +den gegebenen Daten abgeleitet werden. +Die entstehende Gruppe hat etwa $4.9040\cdot10^{55}$ Elemente, die +für einen brute-force-Angriff durchprobiert werden müssten. + + + + + |