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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex index 31ec208..ab86928 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/basiswahl.tex @@ -134,7 +134,9 @@ z_1 0\\ 0 \end{pmatrix*}, -&z_2 +& +\phantom{\mathstrut_0} +z_2 &= \tiny \begin{pmatrix*}[r] @@ -555,7 +557,9 @@ Es ist also nötig, eine Teilmenge \] von Vektoren auszuwählen, die linear unabhängig sind. -Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$. +Diese bilden eine Basis von $B_k(C)$ und sind als +blaue Dreiecke in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:homoboundaries} +dargestellt. \begin{figure} \centering @@ -585,7 +589,7 @@ Man erhält so die Beziehungen \partial_2e_6^{(2)} &=& & & & & & & & & & &z_6& & &+&z_8& & & & & & & & & & \\ \partial_2e_7^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{10}& & & & & & \\ \partial_2e_8^{(2)} &=& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &z_{11}& & & & \\ -\partial_2e_9^{(2)} &=& &\phantom{+}& &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & & &z_{12}&+&z_{13} +\partial_2e_9^{(2)} &=& &\phantom{+}& &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & &\phantom{+} & & &z_{12}&+&z_{13}. \end{array} \end{equation} Dies reicht jedoch nicht, um herauszufinden, welche der blauen Dreiecke @@ -609,7 +613,7 @@ Vektoren. Diese Auswahl lässt sich sehr leicht mit Hilfe der folgenden Variante des Gauss-Algorithmus realisieren. -Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen Gauss-Tableau zunächst mit den Vektoren +Dazu werden die $n_{k+1}$ Zeilen eines Gauss-Tableaus zunächst mit den Vektoren $\partial_{k+1}{e_i^{(k+1)}}^t$ gefüllt. Führt man in diesem Tableau die Vorwärtsreduktion durch, wobei man entstehende Nullzeilen einfach überspringt, bleiben nur noch Zeilen @@ -783,18 +787,18 @@ also genau ein weisses Dreieck. \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/95-homologie/torus/torus.jpg} \caption{Basis der Homologiegruppen eines Torus $T^2$. Der Algorithmus findet zwei Basisklassen für $H(T^2)$, der eine Zyklus -geht durch das ``Loch'' des Torus (blau), der andere folgt mehr oder -weniger dem Äquator. +geht durch das ``Loch'' des Torus (blau), der andere folgt +dem Äquator. \label{buch:homologie:fig:torus}} \end{figure} -Um den Algorithmus durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau +Um den Algorithmus für das Beispiel durchzuführen, bilden wir daher das Gauss-Tableau in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableau}, bestehend aus den Vektoren $\partial_2e_i^{(2)}$ in den ersten 9 Zeilen und den Zyklen $z_1,\dots,z_{13}$ in den folgenden 13 Zeilen. Das reduzierte Tableau nach der Vorwärtsreduktion ist in Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:gausstableaureduziert} -dargestellt, amn erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, +dargestellt, man erkennt, dass die Zyklen $z_1$ bis $z_4$, $z_7$ und $z_8$, $z_9$ und $z_{10}$ sowie $z_{13}$ weggelassen werden müssen. Es bleiben die folgenden Zyklen: \begin{center} @@ -813,7 +817,7 @@ Abbildung~\ref{buch:homologie:beispiel:homoclasses} zusammengestellt. Jede solche Klasse entspricht genau einem der ``Löcher'', der weissen Dreiecke. Die Homologie kann man also als eine exakte Version der Idee eines -Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polygons verstehen. +Vektorraums erzeugt von den ``Löchern'' eines Polyeders verstehen. \subsubsection{Basis von $H_k(C)$} Die im vorangegangenen Abschnitt konstruierte Basis kann jetzt auch @@ -833,7 +837,7 @@ findet es die beiden in Abbildung~\ref{buch:homologie:fig:torus} dargestellten Zyklen. Sie zeigen schön, wie die Homologieklassen die beiden Arten von ``Löchern'' erkennen. -Zum einen ist da der blaue Zyklus, der das ``Loch'' im inneren des Torus +Zum einen ist da der blaue Zyklus, der das ``Loch'' im Inneren des Torus umschliesst. -Der rote Zyklus dagegen folgt mehr oder weniger dem Äquator und repräsentiert +Der rote Zyklus dagegen folgt ungefähr dem Äquator und repräsentiert damit die ``Ringform'' des Torus. |