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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..eaa56c4 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/95-homologie/chapter.tex @@ -0,0 +1,49 @@ +% +% chapter.tex -- Homologie +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\chapter{Homologie +\label{buch:chapter:homologie}} +\lhead{Homologie} +\rhead{} +Mit der Inzidenzmatrix war es möglich, einen Graphen zu beschreiben +und verschiedene interessante Eigenschaften desselben zu berechnen. +Damit können aber nur eindimensionale Strukturen analysiert werden: +Es ist zum Beispiel nicht möglich, ein Dreieck vom Rand eines +Dreiecks zu unterscheiden~\ref{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/95-homologie/images/dreieck.pdf} +\caption{Ein Dreieck $\triangle$ (rechts) und der Rand des Dreicks +(links) sind mit den Methoden +der Graphentheorie nicht unterschiedbar. +Als topologische Räume sind das Dreieck und sein Rand aber ganz klar +unterschiedbar: In einem Dreieck ist jeder geschlossene Pfad in einen +Punkt zusammenziehbar, aber die Randkurve ist nicht mehrzusammenziehbar, +sobald man das innere des Dreiecks entfernt. +\label{buch:homologie:figure:zusammenziehbar}} +\end{figure} +Die Randkurve ist in einem Dreieck zusammenziehbar, aber sobald man +das innere des Dreiecks entfernt, ist die Randkurve nicht mehr +zusammenziehbar. +Dreieck und der Rand des Dreiecks sind also grundsätzlich verschieden. + +Die Inzidenzmatrix ordnet jeder Kante ihre beiden Endpunkte zu. +Die Homologietheorie verallgemeinert diese Idee. +Der sogenannte Randoperator ordnet jedem Dreieck, Tetraeder oder allgemein +jedem Simplex seinen Rand zu. +Damit wird es möglich, das Dreieck vom Rand des Dreiecks zu unterschieden. + +\input{chapters/95-homologie/simplex.tex} +\input{chapters/95-homologie/komplex.tex} +\input{chapters/95-homologie/homologie.tex} +\input{chapters/95-homologie/mayervietoris.tex} +\input{chapters/95-homologie/fixpunkte.tex} + + + + + + + |