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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex index 1f61a29..03e389b 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/eulerchar.tex @@ -10,7 +10,7 @@ Euler hat für dreidimensionale Polyeder eine Invariante gefunden, die unabhängig ist von der Triangulation. \begin{definition} -\label{buch:homologie:def:eulerchar} +\label{buch:homologie:def:eulerchar0} Ist $E$ die Anzahl der Ecken, $K$ die Anzahl der Kanten und $F$ die Anzahl der Flächen eines dreidimensionalen Polyeders $P$, dann heisst @@ -32,6 +32,7 @@ Vektorräume $B_k(C)$ und $Z_k(C)$ grösser werden. Kann man eine Grösse analog zu $\chi(P)$ finden, die sich nicht ändert? \begin{definition} +\label{buch:homologie:def:eulerchar} Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst \[ \chi(C) = \sum_{k=0}^n (-1)^k\dim H_k(C) @@ -39,6 +40,14 @@ Sei $C$ ein Kettenkomplex, dann heisst die Euler-Charakteristik von $C$. \end{definition} +Die Summe in Definition~\ref{buch:homologie:def:eulerchar} erstreckt +sich bis zum Index $n$, der Dimension des Simplexes höchster Dimension +in einem Polyeder. +Für $k>n$ ist $H_k(C)=0$, es ändert sich also nichts, wenn wir +die Summe bis $\infty$ erstrecken, da die zusätzlichen Terme alle +$0$ sind. +Wir werden dies im folgenden zur Vereinfachung der Notation tun. + Die Definition verlangt, dass man erst die Homologiegruppen berechnen muss, bevor man die Euler-Charakteristik bestimmen kann. |