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diff --git a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex index cba09ee..905ecc3 100644 --- a/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex +++ b/buch/chapters/95-homologie/homologie.tex @@ -62,6 +62,8 @@ Die Elemente von \[ Z_k = +Z_k^C += \{z\in C_k\;|\; \partial_k z = 0\} = \ker \partial_k @@ -84,6 +86,8 @@ Die Elemente von \[ B_k = +B_k^C += \{\partial_{k+1}z\;|\; C_{k+1}\} = \operatorname{im} \partial_{k+1} @@ -101,8 +105,10 @@ Wir definieren daher \begin{definition} Die $k$-dimensionale Homologiegruppe des Kettenkomplexes $C_*$ ist \[ -H_k = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}. +H_k(C) = Z_k/B_k = \ker \partial_k / \operatorname{im} \partial_{k+1}. \] +Wenn nur von einem Kettenkomplex die Rede ist, kann auch $H_k(C)=H_k$ +abgekürzt werden. \end{definition} Die folgenden zwei ausführlichen Beispiele sollen zeigen, wie die @@ -309,5 +315,40 @@ Hohlraum an. \subsection{Induzierte Abbildung \label{buch:subsection:induzierte-abbildung}} +Früher haben wurde eine Abbildung $f_*$ zwischen Kettenkomplexen $C_*$ und +$D_*$ so definiert, +dass sie mit den Randoperatoren verträglich sein muss. +Diese Forderung bewirkt, dass sich auch eine lineare Abbildung +\[ +H_k(f) \colon H_k(C) \to H_k(D) +\] +zwischen den Homologiegruppen ergibt, wie wir nun zeigen wollen. + +Um eine Abbildung von $H_k(C)$ nach $H_k(D)$ zu definieren, müssen wir +zu einem Element von $H_k(C)$ ein Bildelement konstruieren. +Ein Element in $H_k(C)$ ist eine Menge von Zyklen in $Z^C_k$, die sich +nur um einen Rand in $B_k$ unterscheiden. +Wir wählen also einen Zyklus $z\in Z_k$ und bilden ihn auf $f_k(z)$ ab. +Wegen $\partial^D_kf(z)=f\partial^C_kz = f(0) =0 $ ist auch $f_k(z)$ +ein Zyklus. +Wir müssen jetzt aber noch zeigen, dass eine andere Wahl des Zyklus +das gleiche Element in $H_k(D)$ ergibt. +Dazu genügt es zu sehen, dass sich $f(z)$ höchstens um einen Rand +ändert, wenn man $z$ um einen Rand ändert. +Sei also $b\in B^C_k$ ein Rand, es gibt also ein $w\in C_{k+1}$ mit +$\partial^C_{k+1}w=b$. +Dann gilt aber auch +\[ +f_k(z+b) += +f_k(z) + f_k(b) += +f_k(z) + f_k(\partial^C_{k+1}w) += +f_k(z) + \partial^D_{k+1}(f_k(w)). +\] +Der letzte Term ist ein Rand in $D_k$, somit ändert sich $f_k(z)$ nur +um diesen Rand, wenn man $z$ um einen Rand ändert. +$f_k(z)$ und $f_k(z+b)$ führen auf die selbe Homologieklasse. |