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diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc index 954e52c..f769a79 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/Makefile.inc @@ -6,10 +6,12 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/10-matrizenvektoren/linear.tex \ + chapters/10-matrizenvektoren/strukturen.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/gruppen.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/ringe.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/algebren.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/koerper.tex \ + chapters/10-matrizenvektoren/hadamard.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1001.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/uebungsaufgaben/1002.tex \ chapters/10-matrizenvektoren/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex index 821c408..6b355ee 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex @@ -3,5 +3,96 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Algebren -\label{buch:grundlagen:section:algebren}} +\subsection{Algebren +\label{buch:grundlagen:subsection:algebren}} + +\subsubsection{Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$} +Sie $X$ eine Menge und $\Bbbk^X$ die Menge aller Funktionen $X\to \Bbbk$. +Auf $\Bbbk^X$ kann man Addition, Multiplikation mit Skalaren und +Multiplikation von Funktionen punktweise definieren. +Für zwei Funktion $f,g\in\Bbbk^X$ und $\lambda\in\Bbbk$ definiert man +\[ +\begin{aligned} +&\text{Summe $f+g$:} +& +(f+g)(x) &= f(x)+g(x) +\\ +&\text{Skalare $\lambda f$:} +& +(\lambda f)(x) &= \lambda f(x) +\\ +&\text{Produkt $f\cdot g$:} +& +(f\cdot g)(x) &= f(x) g(x) +\end{aligned} +\] +Man kann leicht nachprüfen, dass die Menge der Funktionen $\Bbbk^X$ +mit diesen Verknüfungen die Struktur einer $\Bbbk$-Algebra erhält. + +Die Algebra der Funktionen $\Bbbk^X$ hat auch ein Einselement: +die konstante Funktion +\[ +1\colon [a,b] \to \Bbbk : x \mapsto 1 +\] +mit Wert $1$ erfüllt +\[ +(1\cdot f)(x) = 1(x) f(x) = f(x) +\qquad\Rightarrow\qquad 1\cdot f = f, +\] +die Eigenschaft einer Eins in der Algebra. + +\subsubsection{Die Algebra der stetigen Funktionen $C([a,b])$} +Die Menge der stetigen Funktionen $C([a,b])$ ist natürlich eine Teilmenge +aller Funktionen: $C([a,b])\subset \mathbb{R}^{[a,b]}$ und erbt damit +auch die Algebraoperationen. +Man muss nur noch sicherstellen, dass die Summe von stetigen Funktionen, +das Produkt einer stetigen Funktion mit einem Skalar und das Produkt von +stetigen Funktionen wieder eine stetige Funktion ist. +Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn an jeder Stelle der Grenzwert +mit dem Funktionswert übereinstimmt. +Genau dies garantieren die bekannten Rechenregeln für stetige Funktionen. +Für zwei stetige Funktionen $f,g\in C([a,b])$ und einen Skalar +$\lambda\in\mathbb{R}$ gilt +\[ +\begin{aligned} +&\text{Summe:} +& +\lim_{x\to x_0} (f+g)(x) +&= +\lim_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) += +\lim_{x\to x_0} f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) += +f(x_0)+g(x_0) = (f+g)(x_0) +\\ +&\text{Skalare:} +& +\lim_{x\to x_0} (\lambda f)(x) +&= +\lim_{x\to x_0} (\lambda f(x)) = \lambda \lim_{x\to x_0} f(x) += +\lambda f(x_0) = (\lambda f)(x_0) +\\ +&\text{Produkt:} +& +\lim_{x\to x_0}(f\cdot g)(x) +&= +\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x) += +\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot +\lim_{x\to x_0} g(x) += +f(x_0)g(x_0) += +(f\cdot g)(x_0). +\end{aligned} +\] +für jeden Punkt $x_0\in[a,b]$. +Damit ist $C([a,b])$ eine $\mathbb{R}$-Algebra. +Die Algebra hat auch eine Eins, da die konstante Funktion $1(x)=1$ +stetig ist. + + + + + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex index abe9ba9..e59374c 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/chapter.tex @@ -9,12 +9,11 @@ \rhead{} \input{chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex} -\input{chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex} -\input{chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex} -\input{chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex} -\input{chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex} +\input{chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex} +\input{chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex} \section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} \aufgabetoplevel{chapters/10-vektorenmatrizen/uebungsaufgaben} \begin{uebungsaufgaben} \uebungsaufgabe{1001} diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex index fe77009..1f9db81 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex @@ -3,6 +3,186 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapeprswil % -\section{Gruppen -\label{buch:grundlagen:setion:gruppen}} +\subsection{Gruppen +\label{buch:grundlagen:subsection:gruppen}} \rhead{Gruppen} +Die kleinste sinnvolle Struktur ist die einer Gruppe. +Eine solche besteht aus einer Menge $G$ mit einer Verknüpfung, +die additiv +\begin{align*} +G\times G \to G&: (g,h) = gh +\intertext{oder multiplikativ } +G\times G \to G&: (g,h) = g+h +\end{align*} +geschrieben werden kann. +Ein Element $0\in G$ heisst {\em neutrales Element} bezüglich der additiv +geschriebenen Verknüpfung falls $0+x=x$ für alle $x\in G$. +\index{neutrales Element}% +Ein Element $e\in G$ heisst neutrales Element bezüglich der multiplikativ +geschriebneen Verknüpfung, wenn $ex=x$ für alle $x\in G$. +In den folgenden Definitionen werden wir immer die multiplikative +Schreibweise verwenden, für Fälle additiv geschriebener siehe auch die +Beispiele weiter unten. + +\begin{definition} +\index{Gruppe}% +Ein {\em Gruppe} +\index{Gruppe}% +ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung mit folgenden +Eigenschaften: +\begin{enumerate} +\item +Die Verknüpfung ist assoziativ: $(ab)c=a(bc)$ für alle $a,b,c\in G$. +\item +Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ +\item +Für jedes Element $g\in G$ gibt es ein Element $h\in G$ mit +$hg=e$. +\end{enumerate} +Das Element $h$ heisst auch das Inverse Element zu $g$. +\end{definition} + +Falls nicht jedes Element invertierbar ist, aber wenigstens ein neutrales +Element vorhanden ist, spricht man von einem {\em Monoid}. +\index{Monoid}% +Hat man nur eine Verknüpfung, spricht man oft von einer {\em Halbruppe}. +\index{Halbgruppe}% + +\begin{definition} +Eine Gruppe $G$ heisst abelsch, wenn $ab=ba$ für alle $a,b\in G$. +\end{definition} + +Additiv geschrieben Gruppen werden immer als abelsch angenommen, +multiplikativ geschrieben Gruppen können abelsch oder nichtabelsch sein. + +\subsubsection{Beispiele von Gruppen} + +\begin{beispiel} +Die Menge $\mathbb{Z}$ mit der Addition ist eine additive Gruppe mit +dem neutralen Element $0$. +Das additive Inverse eines Elementes $a$ ist $-a$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die von Null verschiedenen Elemente $\Bbbk^*$ eines Zahlekörpers bilden +bezüglich der Multiplikation eine Gruppe mit neutralem Element $1$. +Das multiplikative Inverse eines Elementes $a\in \Bbbk$ mit $a\ne 0$ +ist $a^{-1}=\frac1{a}$. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Vektoren $\Bbbk^n$ bilden bezüglich der Addition eine Gruppe mit +dem Nullvektor als neutralem Element. +Betrachtet man $\Bbbk^n$ als Gruppe, verliert man die Multiplikation +mit Skalaren aus den Augen. +$\Bbbk^n$ als Gruppe zu bezeichnen ist also nicht falsch, man +verliert dadurch aber +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Menge aller quadratischen $n\times n$-Matrizen $M_n(\Bbbk)$ ist +eine Gruppe bezüglich der Addition mit der Nullmatrix als neutralem +Element. +Bezügich der Matrizenmultiplikation ist $M_n(\Bbbk)$ aber keine +Gruppe, da sich die singulären Matrizen nicht inverieren lassen. +Die Menge der invertierbaren Matrizen +\[ +\operatorname{GL}_n(\Bbbk) += +\{ +A\in M_n(\Bbbk)\;|\; \text{$A$ invertierbar} +\} +\] +ist bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. +Die Gruppe $\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ ist eine echte Teilmenge +von $M_n(\Bbbk)$, die Addition und Multiplikation führen im Allgemeinen +aus der Gruppe heraus, es gibt also keine Mögichkeit, in der Gruppe +$\operatorname{GL}_n(\Bbbk)$ diese Operationen zu verwenden. +\end{beispiel} + +\subsubsection{Einige einfache Rechenregeln in Gruppen} +Die Struktur einer Gruppe hat bereits eine Reihe von +Einschränkungen zur Folge. +Zum Beispiel sprach die Definition des neutralen Elements $e$ nur von +Produkten der Form $ex=x$, nicht von Produkten $xe$. +Und die Definition des inversen Elements $h$ von $g$ hat nur +verlangt, dass $gh=e$, es wurde nichts gesagt über das Produkt $hg$. + +\begin{satz} +\label{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} +Ist $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$, dann gilt +\begin{enumerate} +\item +$xe=x$ für alle $x\in G$ +\item +Es gibt nur ein neutrales Element. +Wenn also $f\in G$ mit $fx=x$ für alle $x\in G$, ist dann folgt $f=e$. +\item +Wenn $hg=e$ gilt, dann auch $gh=e$ und $h$ ist durch $g$ eindeutig bestimmt. +\end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Wir beweisen als Erstes den ersten Teil der Eigenschaft~3. +Sei $h$ die Inverse von $g$, also $hg=e$. +Sei weiter $i$ die Inverse von $h$, also $ih=e$. +Damit folgt jetzt +\[ +g += +eg += +(ih)g += +i(hg) += +ie. +\] +Wende man dies auf das Produkt $gh$ an, folgt +\[ +gh += +(ie)h += +i(eh) += +ih += +e +\] +Es ist also nicht nur $hg=e$ sondern immer auch $gh=e$. + +Für eine Inverse $h$ von $g$ folgt +\[ +ge += +g(hg) += +(gh)g += +eg += +g, +\] +dies ist die Eigenschaft~1. + +Sind $f$ und $e$ neutrale Elemente, dann folgt +\[ +f = fe = e +\] +aus der Eigenschaft~1. + +Schliesslich sei $x$ ein beliebiges Inverses von $g$, dann ist +$xg=e$, dann folgt +$x=xe=x(gh)=(xg)h = eh = h$, es gibt also nur ein Inverses von $g$. +\end{proof} + +Diesem Problem sind wir zum Beispiel auch in +Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gleichungssyteme} +begegnet, wo wir nur gezeigt haben, dass $AA^{-1}=E$ ist. +Da aber die invertierbaren Matrizen eine Gruppe +bilden, folgt jetzt aus dem Satz automatisch, dass auch $A^{-1}A=E$. + + + + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex new file mode 100644 index 0000000..1fd0373 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/hadamard.tex @@ -0,0 +1,307 @@ +% +% hadamard.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Hadamard-Algebra +\label{buch:section:hadamard-algebra}} +\rhead{Hadamard-Algebra} +Das Matrizenprodukt ist nicht die einzige Möglichkeit, ein Produkt auf +Vektoren oder Matrizen zu definieren. +In diesem Abschnitt soll das Hadamard-Produkt beschrieben werden, +welches zu einer kommutativen-Algebra-Struktur führt. + +% +% Definition des Hadamard-Produktes +% +\subsection{Hadamard-Produkt +\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:hadamard-produkt}} +Im Folgenden werden wir $\Bbbk^n =M_{n\times 1}(\Bbbk)$ setzen +und den Fall der Vektoren nicht mehr separat diskutieren. +Die Addition und Multiplikation mit Skalaren ist in +$M_{m\times n}(\Bbbk)$ komponentenweise definiert. +Wir können natürlich auch ein Produkt komponentenweise definieren, +dies ist das Hadamard-Produkt. + +\begin{definition} +Das {\em Hadamard-Produkt} zweier Matrizen +$A,B\in M_{m\times n}(\Bbbk)$ ist definiert als die Matrix +$A\odot B$ +mit den Komponenten +\[ +(A\odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}. +\] +Wir nennen $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit der Multiplikation $\odot$ +auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$. +\end{definition} + +Dies ist jedoch nur interessant, wenn $M_{m\times n}(\Bbbk)$ mit diesem +Produkt eine interessante algebraische Struktur erhält. +Dazu müssen die üblichen Verträglichkeitsgesetze zwischen den +Vektorraumoperationen von $M_{m\times n}(\Bbbk)$ und dem neuen Produkt +gelten, wir erhalten dann eine Algebra. +Da alle Operationen elementweise definiert sind, muss man auch alle +Rechengesetze nur elementweise prüfen. +Es gilt +\begin{align*} +A\odot(B\odot C) &= (A\odot B)\odot C +&&\Leftrightarrow& +a_{ij}(b_{ij}c_{ij}) &= (a_{ij}b_{ij})c_{ij} +\\ +A\odot(B+C) &= A\odot B + A\odot C +&&\Leftrightarrow& +a_{ij}(b_{ij}+c_{ij}) &= a_{ij}b_{ij} + a_{ij}c_{ij} +\\ +(A+B)\odot C&=A\odot C+B\odot C +&&\Leftrightarrow& +(a_{ij}+b_{ij})c_{ij}&=a_{ij}c_{ij} + b_{ij}c_{ij} +\\ +(\lambda A)\odot B &= \lambda (A\odot B) +&&\Leftrightarrow& +(\lambda a_{ij})b_{ij}&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +\\ +A\odot(\lambda B)&=\lambda(A\odot B) +&&\Leftrightarrow& +a_{ij}(\lambda b_{ij})&=\lambda(a_{ij}b_{ij}) +\end{align*} +für alle $i,j$. + +Das Hadamard-Produkt ist kommutativ, da die Multiplikation in $\Bbbk$ +kommuativ ist. +Das Hadamard-Produkt kann auch für Matrizen mit Einträgen in einem +Ring definiert werden, in diesem Fall ist es möglich, dass die entsehende +Algebra nicht kommutativ ist. + +Die Hadamard-Algebra hat auch ein Eins-Elemente, nämlich die Matrix, +die aus lauter Einsen besteht. + +\begin{definition} +Die sogenannte {\em Einsmatrix} $U$ ist die Matrix +\[ +U=\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +\in +M_{m\times n}(\Bbbk) +\] +mit lauter Einträgen $1\in\Bbbk$. +\end{definition} + +Die Hadamard-Algebra ist ein Spezialfall der Algebra der Funktionen +$\Bbbk^X$. +Ordnet man dem Vektor $v\in \Bbbk^n$ mit den Komponenten $v_i$ +die Abbildung +\[ +v\colon [n] \to \Bbbk: i \mapsto v_i +\] +zu, dann geht die Addition von Vektoren in die Addition von +Funktionen über, die Multiplikation von Skalaren mit Vektoren +geht in die Multiplikation von Funktionen mit Skalaren über +und die Hadamard-Multiplikation geht über in das Produkt von +Funktionen. + +Auch die Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\Bbbk)$ kann als Funktionenalgebra +betrachtet werden. +Einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\Bbbk)$ ordnet man die Funktion +\[ +a\colon [m]\times [n] : (i,j) \mapsto a_{ij} +\] +zu. +Dabei gehen die Algebraoperationen von $H_{m\times n}(\Bbbk)$ über +in die Algebraoperationen der Funktionenalgebra $\Bbbk^{[m]\times [n]}$. +Aus der Einsmatrix der Hadamard-Algebra wird dabei zur konstanten +Funktion $1$ auf $[m]\times[n]$. + +\subsection{Hadamard-Produkt und Matrizenalgebra +\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:vertraeglichkeit}} +Es ist nur in Ausnahmefällen, Hadamard-Produkt und Matrizen-Produkt +gleichzeitig zu verwenden. +Das liegt daran, dass die beiden Produkte sich überhaupt nicht +vertragen. + +\subsubsection{Unverträglichkeit von Hadamard- und Matrizen-Produkt} +Das Hadamard-Produkt und das gewöhnliche Matrizenprodukt sind +in keiner Weise kompatibel. +Die beiden Matrizen +\[ +A=\begin{pmatrix}3&4\\4&5\end{pmatrix} +\qquad\text{und}\qquad +B=\begin{pmatrix}-5&4\\4&-3\end{pmatrix} +\] +sind inverse Matrizen bezüglich des Matrizenproduktes, also +$AB=E$. +Für das Hadamard-Produkt gilt dagegen +\[ +A\odot B += +\begin{pmatrix} +-15& 16\\ + 16&-15 +\end{pmatrix}. +\] +Die Inverse einer Matrix $A$ Bezüglich des Hadamard-Produktes hat +die Einträge $a_{ij}^{-1}$. +Die Matrix $E$ ist bezüglich des gewöhnlichen Matrizenproduktes +invertierbar, aber sie ist bezüglich des Hadamard-Produktes nicht +invertierbar. + +\subsubsection{Einbettung der Hadamard-Algebra ein eine Matrizenalgebra} +Hadamard-Algebren können als Unteralgebren einer Matrizenalgebra +betrachtet werden. +Der Operator $\operatorname{diag}$ bildet Vektoren ab in Diagonalmatrizen +nach der Regel +\[ +\operatorname{diag} +\colon +\Bbbk^n \to M_n(\Bbbk) +: +\begin{pmatrix} +v_1\\ +\vdots\\ +v_n +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +v_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&v_n +\end{pmatrix} +\] +Das Produkt von Diagonalmatrizen ist besonders einfach. +Für zwei Vektoren $a,b\in\Bbbk^n$ +\[ +a\odot b += +\begin{pmatrix} +a_1b_1\\ +\vdots\\ +a_nb_n +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +a_1b_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&a_nb_n +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +a_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&a_n +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +b_1&\dots&0\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +0&\dots&b_n +\end{pmatrix}. +\] +Das Hadamard-Produkt der Vektoren geht also über in das gewöhnliche +Matrizenprodukt der Diagonalmatrizen. + +Für die Hadamard-Matrix ist die Einbettung etwas komplizierter. +Wir machen aus einer Matrix erst einen Vektor, den wir dann mit +dem $\operatorname{diag}$ in eine Diagonalmatrix umwandeln: +\[ +\begin{pmatrix} +a_{11}&\dots&a_{1n}\\ +\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{m1}&\dots +\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix} +a_{11}\\ +\vdots\\ +a_{1n}\\ +a_{21}\\ +\vdots\\ +a_{2n}\\ +\vdots\\ +a_{nn} +\end{pmatrix} +\] +Bei dieser Abbildung geht die Hadamard-Multiplikation wieder in +das gewöhnliche Matrizenprodukt über. + +% XXX Faltungsmatrizen und Fouriertheorie +\subsubsection{Beispiel: Faltung und Fourier-Theorie} + +\subsection{Weitere Verknüpfungen +\label{buch:vektorenmatrizen:subsection:weitere}} + +\subsubsection{Transposition} +Das Hadamard-Produkt verträgt sich mit der Transposition: +\[ +(A\odot B)^t = A^t \odot B^t. +\] +Insbesondere ist das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen auch +wieder symmetrisch. + +\subsubsection{Frobeniusnorm} +Das Hadamard-Produkt in der Hadamard-Algebra $H_{m\times n}(\mathbb{R})$ +nimmt keine Rücksicht auf die Dimensionen einer Matrix und ist nicht +unterscheidbar von $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit dem Hadamard-Produkt. +Daher darf auch der Begriff einer mit den algebraischen Operationen +verträglichen Norm nicht von von den Dimensionen abhängen. +Dies führt auf die folgende Definition einer Norm. + +\begin{definition} +Die {\em Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}\mathbb{R})$ +mit den Einträgen $(a_{ij})=A$ ist +\[ +\| A\|_F += +\sqrt{ +\sum_{i,j} a_{ij}^2 +}. +\] +Das {\em Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen +$A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{R})$ +ist +\[ +\langle A,B\rangle_F += +\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij} += +\operatorname{Spur} A^t B +\] +und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. +\end{definition} + +Für komplexe Matrizen muss + +\begin{definition} +Die {\em komplexe Frobenius-Norm} einer Matrix $A\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ +ist +\[ +\| A\| += +\sqrt{ +\sum_{i,j} |a_{ij}|^2 +} += +\sqrt{ +\sum_{i,u} \overline{a}_{ij} a_{ij} +} +\] +das {\em komplexe Frobenius-Skalarprodukt} zweier Matrizen +$A,B\in H_{m\times n}(\mathbb{C})$ ist das Produkt +\[ +\langle A,B\rangle_F += +\sum_{i,j}\overline{a}_{ij} b_{ij} += +\operatorname{Spur} (A^* B) +\] +und es gilt $\|A\|_F = \sqrt{\langle A,A\rangle}$. +\end{definition} + +% XXX Frobeniusnorm + +\subsubsection{Skalarprodukt} + +% XXX Skalarprodukt + + + diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex index c9d3a64..888513e 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex @@ -3,8 +3,8 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschwêizer Fachhochschule % -\section{Körper -\label{buch:section:koerper}} +\subsection{Körper +\label{buch:subsection:koerper}} Die Multiplikation ist in einer Algebra nicht immer umkehrbar. Die Zahlenkörper von Kapitel~\ref{buch:chapter:zahlen} sind also sehr spezielle Algebren, man nennt sie Körper. diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex index 4e3454d..23d16a8 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/linear.tex @@ -590,6 +590,16 @@ die zu $A$ {\em inverse Matrix}. \index{inverse Matrix} Sie wird auch $C=A^{-1}$ geschrieben. +Die Definition der inversen Matrix stellt sicher, dass $AA^{-1}=E$ gilt, +daraus folgt aber noch nicht, dass auch $A^{-1}A=E$ ist. +Die Eigenschaften der Matrizenmultiplikation stellen jedoch sicher, +dass die Menge der invertierbaren Matrizen eine Struktur bilden, +die man Gruppe nennt, die in Abschnitt~\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} +genauer untersucht wird. +In diesem Zusammenhang wird dann auf +Seite~\pageref{buch:vektorenmatrizen:satz:gruppenregeln} +die Eigenschaft $A^{-1}A=E$ ganz allgemein gezeigt. + \subsubsection{Determinante} % @@ -839,7 +849,7 @@ Das Bild einer $m\times n$-Matrix $A$ ist die Menge Zwei Vektoren $a,b\in\operatorname{im}$ haben Urbilder $u,w\in V$ mit $f(u)=a$ und $f(w)=b$. -Für Summe und Skalarprodukt folgt +Für Summe und Multiplikation mit Skalaren folgt \[ \begin{aligned} a+b&= f(u)+f(v)=f(u+v) &&\Rightarrow a+b\in\operatorname{im}f\\ diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex index f35c490..e53bde5 100644 --- a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex @@ -3,6 +3,6 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Ringe und Moduln -\label{buch:grundlagen:section:ringe}} +\subsection{Ringe und Moduln +\label{buch:grundlagen:subsection:ringe}} \rhead{Ringe} diff --git a/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex new file mode 100644 index 0000000..6ff4f36 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/10-vektorenmatrizen/strukturen.tex @@ -0,0 +1,28 @@ +% +% strukturen.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Algebraische Strukturen +\label{buch:section:algebraische-Strukturen}} +Im Laufe der Definition der Vektorräume $\Bbbk^n$ und der +Operationen für die Matrizen in $M_{m\times n}(\Bbbk)$ haben +wir eine ganze Reihe von algebraischen Strukturen kennengelernt. +Nicht immer sind alle Operationen verfügbar, in einem Vektorraum +gibt es normalerweise kein Produkt. +Und bei der Konstruktion des Zahlensystems wurde gezeigt, dass +additive oder multiplikative Inverse nicht selbstverständlich +sind. +Sinnvolle Mathematik lässt sich aber erst betreiben, wenn zusammen +mit den vorhandenen Operationen auch einige Regeln erfüllt sind. +Die schränkt die Menge der sinnvollen Gruppierungen von Eigenschaften +ein. +In diesem Abschnitten sollen diesen sinnvollen Gruppierungen von +Eigenschaften Namen gegeben werden. + +\input{chapters/10-vektorenmatrizen/gruppen.tex} +\input{chapters/10-vektorenmatrizen/ringe.tex} +\input{chapters/10-vektorenmatrizen/algebren.tex} +\input{chapters/10-vektorenmatrizen/koerper.tex} + + diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex index ac4163e..d1a38ca 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/parrondo.tex @@ -6,3 +6,728 @@ \section{Das Paradoxon von Parrondo \label{buch:section:paradoxon-von-parrondo}} \rhead{Das Paradoxon von Parrondo} +Das Paradoxon von Parrondo ist ein der Intuition widersprechendes +Beispiel für eine Kombination von Spielen mit negativer Gewinnerwartung, +deren Kombination zu einem Spiel mit positiver Gewinnerwartung führt. +Die Theorie der Markov-Ketten und der zugehörigen Matrizen ermöglicht +eine sehr einfache Analyse. + +% +% Parrondo Teilspiele +% +\subsection{Die beiden Teilspiele +\label{buch:subsection:teilspiele}} + +\subsubsection{Das Spiel $A$} +Das Spiel $A$ besteht darin, eine Münze zu werfen. +Je nach Ausgang gewinnt oder verliert der Spieler eine Einheit. +Sei $X$ die Zufallsvariable, die den gewonnen Betrag beschreibt. +Für eine faire Münze ist die Gewinnerwartung in diesem Spiel natürlich +$E(X)=0$. +Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn $1+e$ ist, dann muss +die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust $1-e$ sein, und die +Gewinnerwartung ist +\( +E(X) += +1\cdot P(X=1) + (-1)\cdot P(X=-1) += +1+e + (-1)(1-e) += +2e. +\) +Die Gewinnerwartung ist also genau dann negativ, wenn $e<0$ ist. + +\subsubsection{Das Spiel $B$} +Das zweite Spiel $B$ ist etwas komplizierter, da der Spielablauf vom +aktuellen Kapital $K$ des Spielers abhängt. +Wieder gewinnt oder verliert der Spieler eine Einheit, +die Gewinnwahrscheinlichkeit hängt aber vom Dreierrest des Kapitals ab. +Sei $Y$ die Zufallsvariable, die den Gewinn beschreibt. +Ist $K$ durch drei teilbar, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit $\frac1{10}$, +andernfalls ist sie $\frac34$. +Formell ist +\begin{equation} +\begin{aligned} +P(Y=1|\text{$K$ durch $3$ teilbar}) &= \frac{1}{10} +\\ +P(Y=1|\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) &= \frac{3}{4} +\end{aligned} +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Bwahrscheinlichkeiten} +\end{equation} +Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn in zwei der +Fälle recht gross, in einem Fall aber sehr klein. + +\subsubsection{Übergangsmatrix im Spiel $B$} +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\R{2} +\def\r{0.5} +\coordinate (A) at (0,\R); +\coordinate (B) at ({\R*sqrt(3)/2},{-0.5*\R}); +\coordinate (C) at ({-\R*sqrt(3)/2},{-0.5*\R}); + +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (A) -- (B); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (A) -- (C); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (C) -- (B); + +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (B) to[out=90,in=-30] (A); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (C) to[out=90,in=-150] (A); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (B) to[out=-150,in=-30] (C); + +\pgfmathparse{0.93*\R} +\xdef\Rgross{\pgfmathresult} + +\node at (30:\Rgross) {$\frac34$}; +\node at (150:\Rgross) {$\frac14$}; +\node at (-90:\Rgross) {$\frac14$}; + +\pgfmathparse{0.33*\R} +\xdef\Rklein{\pgfmathresult} + +\node at (-90:\Rklein) {$\frac34$}; +\node at (30:\Rklein) {$\frac9{10}$}; +\node at (150:\Rklein) {$\frac1{10}$}; + +\fill[color=white] (A) circle[radius=\r]; +\draw (A) circle[radius=\r]; +\node at (A) {$0$}; + +\fill[color=white] (B) circle[radius=\r]; +\draw (B) circle[radius=\r]; +\node at (B) {$2$}; + +\fill[color=white] (C) circle[radius=\r]; +\draw (C) circle[radius=\r]; +\node at (C) {$1$}; + +\end{tikzpicture} +\caption{Zustandsdiagramm für das Spiel $B$, Zustände sind die +Dreierreste des Kapitals. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB}} +\end{figure}% +Für den Verlauf des Spiels spielt nur der Dreierrest des Kapitals +eine Rolle. +Es gibt daher drei mögliche Zustände $0$, $1$ und $2$. +In einem Spielzug finde ein Übergang in einen anderen Zustand +statt, der Eintrag $b_{ij}$ ist die Wahrscheinlichkeit +\[ +b_{ij} += +P(K\equiv i|K\equiv j), +\] +dass ein Übergang vom Zustand $j$ in den Zustand $i$ stattfindet. +Die Matrix ist +\[ +B= +\begin{pmatrix} +0 &\frac14 &\frac34\\ +\frac1{10} &0 &\frac14\\ +\frac9{10} &\frac34 &0 +\end{pmatrix}. +\] + +\subsubsection{Gewinnerwartung in einem Einzelspiel $B$} +Die Gewinnerwartung einer einzelnen Runde des Spiels $B$ hängt natürlich +ebenfalls vom Ausgangskapital ab. +Mit den Wahrscheinlichkeiten von +\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Bwahrscheinlichkeiten} +findet man die Gewinnerwartung +\begin{equation} +\begin{aligned} +E(Y| \text{$K$ durch $3$ teilbar}) +&= +1\cdot P(Y=1|K\equiv 0\mod 3) ++ +(-1)\cdot P(Y=-1|K\equiv 0\mod 3) +\\ +&= +\frac1{10} +- +\frac{9}{10} += +-\frac{8}{10} +\\ +E(Y| \text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) +&= +1\cdot P(Y=1|K\not\equiv 0\mod 3) ++ +(-1)\cdot P(Y=-1|K\not\equiv 0\mod 3) +\\ +&= +\frac34-\frac14 += +\frac12. +\end{aligned} +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Berwartungen} +\end{equation} +Falls $K$ durch drei teilbar ist, muss der Spieler +also mit einem grossen Verlust rechnen, andernfalls mit einem +moderaten Gewinn. + +Ohne weiteres Wissen über das Anfangskapital ist es zulässig anzunehmen, +dass die drei möglichen Reste die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. +Die Gewinnerwartung in diesem Fall ist dann +\begin{align} +E(Y) +&= +E(Y|\text{$K$ durch $3$ teilbar}) \cdot \frac13 ++ +E(Y|\text{$K$ nicht durch $3$ teilbar}) \cdot \frac23 +\notag +\\ +&= +-\frac{8}{10}\cdot\frac{1}{3} ++ +\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} += +-\frac{8}{30}+\frac{10}{30} += +\frac{2}{30} += +\frac{1}{15}. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Beinzelerwartung} +\end{align} +Unter der Annahme, dass alle Reste die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, +ist das Spiel also ein Gewinnspiel. + +Die Berechnung der Gewinnerwartung in einem Einzelspiel kann man +wie folgt formalisieren. +Die Matrix $B$ gibt die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen +verschiedenen Zuständen. +Die Matrix +\[ +G=\begin{pmatrix} + 0&-1& 1\\ + 1& 0&-1\\ +-1& 1& 0 +\end{pmatrix} +\] +gibt die Gewinne an, die bei einem Übergang anfallen. +Die Matrixelemente $g_{ij}b_{ij}$ des elementweisen Produktes +$G\odot B$ +von $G$ mit $B$ enthält in den Spalten die Gewinnerwartungen +für die einzelnen Übergänge aus einem Zustand. +Die Summe der Elemente der Spalte $j$ enthält die Gewinnerwartung +\[ +E(Y|K\equiv j) += +\sum_{i=0}^2 g_{ij}b_{ij} +\] +für einen Übergang aus dem Zustand $j$. +Man kann dies auch als einen Zeilenvektor schreiben, der durch Multiplikation +der Matrix $G\odot B$ mit dem Zeilenvektor +$\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}$ +entsteht: +\[ +\begin{pmatrix} +E(Y|K\equiv 0)& +E(Y|K\equiv 1)& +E(Y|K\equiv 2) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} +G\odot B. +\] +Die Gewinnerwartung ist dann das Produkt +\[ +E(Y) += +\sum_{i=0}^2 +E(Y|K\equiv i) p_i += +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} +(G\odot B)p. +\] +Tatsächlich ist +\[ +G\odot B += +\begin{pmatrix} + 0 &-\frac14 & \frac34\\ + \frac1{10} & 0 &-\frac14\\ +-\frac9{10} & \frac34 & 0 +\end{pmatrix} +\quad\text{und}\quad +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B += +\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix}. +\] +Dies stimmt mit den Erwartungswerten in +\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Berwartungen} +überein. +Die gesamte Geinnerwartung ist dann +\begin{equation} +(G\odot B) +\begin{pmatrix}\frac13&\frac13&\frac13\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix}-\frac{8}{10}&\frac12&\frac12\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\frac13&\frac13&\frac13\end{pmatrix} += +\frac13\biggl(-\frac{8}{10}+\frac12+\frac12\biggr) += +\frac13\cdot\frac{2}{10} += +\frac{1}{15}, +\label{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:BodotEinzelerwartung} +\end{equation} +dies stimmt mit \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:Beinzelerwartung} +überrein. + +\subsubsection{Das wiederholte Spiel $B$} +Natürlich spielt man das Spiel nicht nur einmal, sondern man wiederholt es. +Es ist verlockend anzunehmen, dass die Dreierreste $0$, $1$ und $2$ des +Kapitals immer noch gleich wahrscheinlich sind. +Dies braucht jedoch nicht so zu sein. +Wir prüfen die Hypothese daher, indem wir die Wahrscheinlichkeit +für die verschiedenen Dreierreste des Kapitals in einem interierten +Spiels ausrechnen. + +Das Spiel kennt die Dreierreste als die drei für das Spiel ausschlaggebenden +Zuständen. +Das Zustandsdiagramm~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB} zeigt +die möglichen Übergänge und ihre Wahrscheinlichkeiten, die zugehörige +Matrix ist +\[ +B += +\begin{pmatrix} +0 &\frac14 &\frac34\\ +\frac1{10} &0 &\frac14\\ +\frac9{10} &\frac34 &0 +\end{pmatrix} +\] +Die Matrix $B$ ist nicht negativ und man kann nachrechnen, dass $B^2>0$ ist. +Damit ist die Perron-Frobenius-Theorie von +Abschnitt~\ref{buch:section:positive-vektoren-und-matrizen} +anwendbar. + +Ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$ kann mit Hilfe des Gauss-Algorithmus +gefunden werden: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +-1 &\frac14 &\frac34 \\ +\frac1{10} &-1 &\frac14 \\ +\frac9{10} &\frac34 &-1 \\ +\hline +\end{tabular} +&\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 &-\frac14 &-\frac34 \\ +0 &-\frac{39}{40} & \frac{13}{40} \\ +0 & \frac{39}{40} &-\frac{13}{40} \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 &-\frac14 &-\frac34 \\ +0 & 1 &-\frac13 \\ +0 & 0 & 0 \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1 & 0 &-\frac56 \\ +0 & 1 &-\frac13 \\ +0 & 0 & 0 \\ +\hline +\end{tabular} +\end{align*} +Daraus liest man einen möglichen Lösungsvektor mit den Komponenten +$5$, $2$ und $6$ ab. +Wir suchen aber einen Eigenvektor, der als Wahrscheinlichkeitsverteilung +dienen kann. +Dazu müssen sich die Komponente zu $1$ summieren, was man durch normieren +in der $l^1$-Norm erreichen kann: +\begin{equation} +p += +\begin{pmatrix} +P(K\equiv 0)\\ +P(K\equiv 1)\\ +P(K\equiv 2) +\end{pmatrix} += +\frac{1}{5+2+6} +\begin{pmatrix} +5\\2\\6 +\end{pmatrix} += +\frac{1}{13} +\begin{pmatrix} +5\\2\\6 +\end{pmatrix} +\approx +\begin{pmatrix} + 0.3846 \\ + 0.1538 \\ + 0.4615 +\end{pmatrix}. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:spielBP} +\end{equation} +Die Hypothese, dass die drei Reste gleich wahrscheinlich sind, ist +also nicht zutreffend. + +Die Perron-Frobenius-Theorie sagt, dass sich die +Verteilung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:spielBP} nach einiger Zeit +einstellt. +Wir können jetzt auch die Gewinnerwartung in einer einzelnen +Runde des Spiels ausgehend von dieser Verteilung der Reste des Kapitals +berechnen. +Dazu brauchen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten für Gewinn oder +Verlust, die wir mit dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit +nach +\begin{align*} +P(Y=+1) +&= +P(Y=+1|K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) ++ +P(Y=+1|K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) ++ +P(Y=+1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) +\\ +&= +\frac{1}{10}\cdot\frac{5}{13} ++ +\frac{3}{4} \cdot\frac{2}{13} ++ +\frac{3}{4} \cdot\frac{6}{13} +\\ +&= +\frac1{13}\biggl( +\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{9}{2} +\biggr) += +\frac{13}{26} += +\frac12 +\\ +P(Y=-1) +&= +P(Y=-1|K\equiv 0) \cdot P(K\equiv 0) ++ +P(Y=-1|K\equiv 1) \cdot P(K\equiv 1) ++ +P(Y=-1|K\equiv 2) \cdot P(K\equiv 2) +\\ +&= +\frac{9}{10}\cdot\frac{5}{13} ++ +\frac{1}{4} \cdot\frac{2}{13} ++ +\frac{1}{4} \cdot\frac{6}{13} +\\ +&= +\frac{1}{13}\biggl( +\frac{9}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} +\biggr) += +\frac{1}{2} +\end{align*} +berechnen können. +Gewinn und Verlust sind also gleich wahrscheinlich, das Spiel $B$ ist also +ebenfalls fair. + +\subsubsection{Das modifizierte Spiel $B$} +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\def\R{2.5} +\def\r{0.5} +\coordinate (A) at (0,\R); +\coordinate (B) at ({\R*sqrt(3)/2},{-0.5*\R}); +\coordinate (C) at ({-\R*sqrt(3)/2},{-0.5*\R}); + +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (A) -- (B); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (A) -- (C); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (C) -- (B); + +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (B) to[out=90,in=-30] (A); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (C) to[out=90,in=-150] (A); +\draw[->,shorten >= 0.5cm,shorten <= 0.5cm] (B) to[out=-150,in=-30] (C); + +\pgfmathparse{0.93*\R} +\xdef\Rgross{\pgfmathresult} + +\node at (30:\Rgross) {$\frac34-\varepsilon$}; +\node at (150:\Rgross) {$\frac14+\varepsilon$}; +\node at (-90:\Rgross) {$\frac14+\varepsilon$}; + +\pgfmathparse{0.32*\R} +\xdef\Rklein{\pgfmathresult} + +\node at (-90:\Rklein) {$\frac34-\varepsilon$}; +\node at (30:\Rklein) {$\frac9{10}+\varepsilon$}; +\node at (150:\Rklein) {$\frac1{10}-\varepsilon$}; + +\fill[color=white] (A) circle[radius=\r]; +\draw (A) circle[radius=\r]; +\node at (A) {$0$}; + +\fill[color=white] (B) circle[radius=\r]; +\draw (B) circle[radius=\r]; +\node at (B) {$2$}; + +\fill[color=white] (C) circle[radius=\r]; +\draw (C) circle[radius=\r]; +\node at (C) {$1$}; + +\end{tikzpicture} +\caption{Zustandsdiagramm für das modifizerte Spiel $\tilde{B}$, +Zustände sind die Dreierreste des Kapitals. +Gegenüber dem Spiel $B$ +(Abbildung~\ref{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielB}) +sind die Wahrscheinlichkeiten für Verlust +um $\varepsilon$ vergrössert und die Wahrscheinlichkeiten für Gewinn um +$\varepsilon$ verkleinert worden. +\label{buch:wahrscheinlichkeit:fig:spielBtile}} +\end{figure} +% +Wir modifizieren jetzt das Spiel $B$ derart, dass die Wahrscheinlichkeiten +für Gewinn um $\varepsilon$ verringert werden und die Wahrscheinlichkeiten +für Verlust um $\varepsilon$ vergrössert werden. +Die Übergangsmatrix des modifzierten Spiels $\tilde{B}$ ist +\[ +\tilde{B} += +\begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{4}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon \\ +\frac{1}{10}-\varepsilon & 0 & \frac{1}{4}+\varepsilon \\ +\frac{9}{10}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon & 0 +\end{pmatrix} += +B ++ +\varepsilon +\underbrace{ +\begin{pmatrix} + 0& 1&-1\\ +-1& 0& 1\\ + 1&-1& 0 +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle F} +\] +Wir wissen bereits, dass der Vektor $p$ +von \eqref{buch:wahrscheinlichkeit:spielBP} +als stationäre Verteilung +Eigenvektor zum Eigenwert +$B$ ist, wir versuchen jetzt in erster Näherung die modifizierte +stationäre Verteilung $p_{\varepsilon}=p+\varepsilon p_1$ des modifizierten +Spiels zu bestimmen. + +\subsubsection{Gewinnerwartung im modifizierten Einzelspiel} +Die Gewinnerwartung aus den verschiedenen Ausgangszuständen kann mit Hilfe +des Hadamard-Produktes berechnet werden. +Wir berechnen dazu zunächst +\[ +G\odot \tilde{B} += +G\odot (B+\varepsilon F) += +G\odot B + \varepsilon G\odot F +\quad\text{mit}\quad +G\odot F = \begin{pmatrix} +0&1&1\\ +1&0&1\\ +1&1&0 +\end{pmatrix}. +\] +Nach der früher dafür gefundenen Formel ist +\begin{align*} +\begin{pmatrix} +E(Y|K\equiv 0)& +E(Y|K\equiv 1)& +E(Y|K\equiv 2) +\end{pmatrix} +&= +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot \tilde{B} +\\ +&= +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B ++ +\varepsilon +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot F +\\ +&= +\begin{pmatrix} -\frac{8}{10}&\frac12&\frac12 \end{pmatrix} ++ +\varepsilon\begin{pmatrix}2&2&2\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} -\frac{8}{10}+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon&\frac12+2\varepsilon \end{pmatrix}. +\end{align*} +Unter der Annahme gleicher Wahrscheinlichkeiten für die Ausgangszustände, +erhält man die Gewinnerwartung +\begin{align*} +E(Y) +&= +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot \tilde{B} +\begin{pmatrix} +\frac13& +\frac13& +\frac13 +\end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot B +\begin{pmatrix} \frac13& \frac13& \frac13 \end{pmatrix} ++ +\varepsilon +\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix} G\odot F +\begin{pmatrix} \frac13& \frac13& \frac13 \end{pmatrix} +\\ +&= +\frac1{15} ++ +2\varepsilon +\end{align*} +unter Verwendung der in +\eqref{buch:wahrscheinlichkeit:eqn:BodotEinzelerwartung} +berechneten Gewinnerwartung für das Spiel $B$. + +\subsubsection{Iteration des modifizierten Spiels} +Der Gaussalgorithmus liefert nach einiger Rechnung, die man am besten +mit einem Computeralgebrasystem durchführt, +\[ +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +-1 & \frac{1}{4}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon \\ +\frac{1}{10}-\varepsilon & -1 & \frac{1}{4}+\varepsilon \\ +\frac{9}{10}+\varepsilon & \frac{3}{4}-\varepsilon & -1 \\ +\hline +\end{tabular} +\rightarrow +% [ 2 ] +% [ 80 epsilon + 12 epsilon + 78 ] +%(%o15) Col 1 = [ ] +% [ 0 ] +% [ ] +% [ 0 ] +% [ 0 ] +% [ ] +% Col 2 = [ 2 ] +% [ 80 epsilon + 12 epsilon + 78 ] +% [ ] +% [ 0 ] +% [ 2 ] +% [ (- 80 epsilon ) + 40 epsilon - 65 ] +% [ ] +% Col 3 = [ 2 ] +% [ (- 80 epsilon ) - 12 epsilon - 26 ] +% [ ] +% [ 0 ] +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +\hline +1&0&-\frac{65-40\varepsilon+80\varepsilon^2}{78+12\varepsilon+80\varepsilon^2}\\ +0&0&-\frac{26+12\varepsilon+80\varepsilon^2}{78+12\varepsilon+80\varepsilon^2}\\ +0&0&0\\ +\hline +\end{tabular}, +\] +woraus man die Lösung +\[ +p += +\begin{pmatrix} +65-40\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +26+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +78+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +\end{pmatrix} +\] +ablesen kann. +Allerdings ist dies keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, +wir müssen dazu wieder normieren. +Die Summe der Komponenten ist +\[ +\|p\|_1 += +169 - 16 \varepsilon + 240 \varepsilon^2. +\] +Damit bekommen wir für die Lösung bis zur ersten Ordnung +\[ +p_\varepsilon += +\frac{1}{ 169 - 16 \varepsilon + 240 \varepsilon^2} +\begin{pmatrix} +65-40\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +26+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +78+12\varepsilon+80\varepsilon^2\\ +\end{pmatrix} += +% [ 2 3 ] +% [ 5 440 epsilon 34080 epsilon 17301120 epsilon ] +% [ -- - ----------- - -------------- + ----------------- + . . . ] +% [ 13 2197 371293 62748517 ] +% [ ] +% [ 2 3 ] +%(%o19)/T/ [ 2 188 epsilon 97648 epsilon 6062912 epsilon ] +% [ -- + ----------- + -------------- - ---------------- + . . . ] +% [ 13 2197 371293 62748517 ] +% [ ] +% [ 2 3 ] +% [ 6 252 epsilon 63568 epsilon 11238208 epsilon ] +% [ -- + ----------- - -------------- - ----------------- + . . . ] +% [ 13 2197 371293 62748517 ] +\frac{1}{13} +\begin{pmatrix} 5\\2\\6 \end{pmatrix} ++ +\frac{\varepsilon}{2197} +\begin{pmatrix} +-440\\188\\252 +\end{pmatrix} ++ +O(\varepsilon^2). +\] +Man beachte, dass der konstante Vektor der ursprüngliche Vektor $p$ +für das Spiel $B$ ist. +Der lineare Term ist ein Vektor, dessen Komponenten sich zu $1$ summieren, +in erster Ordnung ist also die $l^1$-Norm des Vektors wieder +$\|p_\varepsilon\|_1=0+O(\varepsilon^2)$. + +Mit den bekannten Wahrscheinlichkeiten kann man jetzt die +Gewinnerwartung in einem einzeln Spiel ausgehend von der Verteilung +$p_{\varepsilon}$ berechnen. +Dazu braucht man das Hadamard-Produkt +\[ +G\odot \tilde{B} += +\] +Wie früher ist +\begin{align*} +E(Y) +&= +e^t (G\odot \tilde{B}) p +\\ +&= +\begin{pmatrix} +\end{pmatrix} +p += +\end{align*} + +% +% Die Kombination +% +\subsection{Kombination der Spiele +\label{buch:subsection:kombination}} + +% +% Gewinn-Erwartung +% +\subsection{Gewinnerwartung +\label{buch:subsection:gewinnerwartung}} + +% +% Gleichgewichtszustand +% +\subsection{Gleichgewichtszustand +\label{buch:subsection:gleichgewichtszustand}} + + + + diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima new file mode 100644 index 0000000..16be152 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/rechnungen/btilde.maxima @@ -0,0 +1,46 @@ +Btilde: matrix( + [ -1 , 1/4 + epsilon, 3/4 - epsilon ], + [ 1/10 - epsilon, -1 , 1/4 + epsilon ], + [ 9/10 + epsilon, 3/4 - epsilon, -1 ] +); + +r: expand(Btilde[1] / Btilde[1,1]); +Btilde[1]: r; +Btilde[2]: Btilde[2] - Btilde[2,1] * r; +Btilde[3]: Btilde[3] - Btilde[3,1] * r; + +Btilde: expand(Btilde); + +r: Btilde[2] / Btilde[2,2]; +Btilde[2]: r; +Btilde[3]: Btilde[3] - Btilde[3,2] * r; + +Btilde: ratsimp(expand(Btilde)); + +Btilde[1]: Btilde[1] - Btilde[1,2] * Btilde[2]; + +Btilde: ratsimp(expand(Btilde)); + +l: 78 + 12 * epsilon + 80 * epsilon^2; + +D: ratsimp(expand(l*Btilde)); +n: ratsimp(expand(l -D[1,3] -D[2,3])); + +p: (1/n) * matrix( +[ -Btilde[1,3]*l ], +[ -Btilde[2,3]*l ], +[ l ] +); +p: ratsimp(expand(p)); + +taylor(p, epsilon, 0, 3); + +G: matrix( + [ 0, 1, -1 ], + [ -1, 0, 1 ], + [ 1, -1, 0 ] +); + +e: matrix([1,1,1]); + +ratsimp(expand(e. (G*Btilde) . p)); |