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diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc index 5f30ab5..9ca0a97 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/Makefile.inc @@ -8,6 +8,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/40-eigenwerte/numerisch.tex \ chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex \ chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex \ + chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex \ chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex \ chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex \ chapters/40-eigenwerte/uebungsaufgaben/4001.tex \ diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex index 24ea57d..65cf608 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/chapter.tex @@ -8,30 +8,56 @@ \lhead{Eigenwerte und Eigenvektoren} \rhead{} Die algebraischen Eigenschaften einer Matrix $A$ sind eng mit der -Frage nach linearen Beziehungen unter den Potenzen von $A^k$ verbunden. +Frage nach linearen Beziehungen zwischen den Potenzen $A^k$ von $A$ verbunden. Im Allgemeinen ist die Berechnung dieser Potenzen eher unübersichtlich, es sei denn, die Matrix hat eine spezielle Form. Die Potenzen einer Diagonalmatrix erhält man, indem man die Diagonalelemente potenziert. +\index{Diagonalmatrix}% Auch für Dreiecksmatrizen ist mindestens die Berechnung der Diagonalelemente von $A^k$ einfach. +\index{Dreiecksmatrix}% Die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglicht, Matrizen in -eine solche besonders einfache Form zu bringen. +\index{Eigenwert}% +\index{Eigenvektor} +eine solche besonders einfache sogenannte Normalform zu bringen. +\index{Normalform}% +Ziel ist, einen Algorithmus zu finden, mit dem sich für jede lineare +Abbildung eine Basis finden lässt, in der ihre Matrix eine besonders +einfach Form hat, in der auch die Berechnung von Potenzen leicht +möglich ist. -In Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} werden die grundlegenden -Definitionen der Eigenwerttheorie in Erinnerung gerufen. +Die Untersuchungen beginnen in +Abschnitt~\ref{buch:section:grundlagen} mit Betrachtungen über +Potenzen von Matrizen und ihren invarianten Unterräumen. +\index{Matrixpotenz}% +\index{invarianter Unterraum}% +\index{Unterraum, invarianter}% +Es ergibt sich bereits eine Normalform für nilpotente Matrizen. +\index{nilpotent}% +In Abschnitt~\ref{buch:section:eigenwerte-eigenvektoren} wird daraus die +allgemeine Eigenwerttheorie entwickelt. Damit kann dann in Abschnitt~\ref{buch:section:normalformen} -gezeigt werden, wie Matrizen in besonders einfache Form gebracht -werden können. -Die Eigenwerte bestimmen auch die Eigenschaften von numerischen -Algorithmen, wie in den Abschnitten~\ref{buch:section:spektralradius} -und \ref{buch:section:numerisch} dargestellt wird. -Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen, unter -geeigneten Voraussetzungen an den Spektralradius. -Dies wird in Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} beschrieben. +gezeigt werden, wie Matrizen in Normalform gebracht werden können. +Für viele Funktionen kann man auch den Wert $f(A)$ berechnen. +In Abschnitt~\ref{buch:section:analytische-funktionen-einer-matrix} wird +gezeigt, wie dies für analytische Funktionen und für Funktionen möglich +\index{analytische Funktion}% +ist, die durch Polynome approximiert werden. +Es zeigt sich, dass dazu geeigneten Voraussetzungen an den sogenannten +Spektralradius gestelltw erden müssen. +\index{Spektralradius}% +Es stellt sich heraus, dass man nicht für alle Matrizen $A$ eine +sinnvolle Definition von $f(A)$ für beliebige stetige Funktionen $f$ +erwarten kann. +Möglich ist dies nur für sogenannte normale Matrizen, wie in +der Spektraltheorie in +Abschnitt~\ref{buch:section:spektraltheorie} dargestellt wird. +\index{Spektraltheorie} \input{chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex} +\input{chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex} \input{chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex} diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex new file mode 100644 index 0000000..745f320 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/eigenwerte.tex @@ -0,0 +1,546 @@ +% +% eigenwerte.tex +% +% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors +% +\section{Eigenwerte und Eigenvektoren +\label{buch:section:eigenwerte-und-eigenvektoren}} +In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem +beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen +$A\in M_n(\Bbbk)$. +In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. +Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, +ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel +Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. + +\begin{definition} +Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert +$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. +\end{definition} + +Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. +Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von +$\lambda\in\Bbbk$. +Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, +ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. +Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. + +Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene +Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. +Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit +geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ +Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. +Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren +einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. + +Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann +man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis +$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ +von $V$ ergänzen. +Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch +in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen +\[ +Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n +\] +dargestellt werden. +In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form +\[ +A' += +\begin{pmatrix} +\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ + 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ + 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ +\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ + 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} +\end{pmatrix}. +\] +Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor +ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form +zu bringen. + +\begin{definition} +Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst +\[ +E_\lambda += +\{ v\;|\; Av=\lambda v\} +\] +der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. +\index{Eigenraum}% +\end{definition} + +Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn +$u,v\in E_\lambda$, dann ist +\[ +A(su+tv) += +sAu+tAv += +s\lambda u + t\lambda v += +\lambda(su+tv), +\] +also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. +Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein +Eigenwert ist. + +\begin{satz} +Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. +Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, +oder $A=\lambda E$. +\end{proof} + +Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume +von $A+\mu E$ berechnen. +Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt +\[ +Av=\lambda v +\qquad\Rightarrow\qquad +(A+\mu)v = \lambda v + \mu v += +(\lambda+\mu)v, +\] +somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. +Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ +zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ +untersuchen. + +% +% Invariante Räume +% +\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume +\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} +Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist +ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$. +Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$ +und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$. + +\begin{beispiel} +Wir untersuchen die Matrix +\[ +A += +\begin{pmatrix} +1&1&-1&0\\ +0&3&-1&1\\ +0&2& 0&1\\ +0&0& 0&2 +\end{pmatrix} +\] +Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. +Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante +Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$. +Die Matrix $B=A-E$ ist +\[ +B += +\begin{pmatrix} +0&1&-1&0\\ +0&2&-1&1\\ +0&2&-1&1\\ +0&0& 0&2 +\end{pmatrix} +\] +und wir berechnen davon die Potenz +\[ +D=B^4=(A-E)^4 += +\begin{pmatrix} +0&0& 0&0\\ +0&2&-1&4\\ +0&2&-1&4\\ +0&0& 0&1 +\end{pmatrix}. +\] +Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$ +von $D$ die Basis +\[ +b_1 += +\begin{pmatrix} +0\\0\\0\\1 +\end{pmatrix} +, \qquad +b_2 += +\begin{pmatrix} +0\\1\\1\\0 +\end{pmatrix} +\] +hat. +Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren +\[ +b_3 += +\begin{pmatrix} +0\\1\\2\\0 +\end{pmatrix} +,\qquad +b_4 += +\begin{pmatrix} +1\\0\\0\\0 +\end{pmatrix} +\] +verwenden. + +Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante +Unterräume sind. +Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$ +berechnen wir +\begin{align*} +(A-E)b_1 +&= +\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} += +4b_2+b_1, +\\ +(A-E)b_2 +&= +\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} += +b_2. +\end{align*} +Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. +In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung +auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix +\[ +A_{\mathcal{J}(A-E)} += +\begin{pmatrix} +1&4\\ +0&1 +\end{pmatrix}. +\] + +Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog +\[ +\left. +\begin{aligned} +Ab_3 +&= +-b_4 +\\ +Ab_4 +&=0 +\end{aligned} +\quad\right\} +\qquad\Rightarrow\qquad +A_{\mathcal{K}(A-E)} += +\begin{pmatrix} +0&-1\\ +0& 0 +\end{pmatrix}. +\] +In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix +in Blockform +\[ +A' += +\left( +\begin{array}{cc|cr} +2&4& & \\ +0&2& & \\ +\hline + & &1&-1\\ + & &0& 1 +\end{array}\right), +\] +die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$ +und $\mathcal{K}(A-E)$. +Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante +Unterräume für $A$. +\end{beispiel} + +\begin{definition} +Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante +Unterraum +\[ +\mathcal{E}_{\lambda}(A) += +\mathcal{K}(A-\lambda E) +\] +der verallgemeinerte Eigenraum von $A$. +\end{definition} + +Es ist klar, dass +$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. + +\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume +\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} +Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$ +injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$. +Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch +$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$. +Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und +$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. + +Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung +\[ +V += +\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) +\oplus +\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2}, +\] +wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. +Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ +nilpotent. +Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$ +gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante +Unterräume für $A$. +Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren +Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung +in invariante Unterräume liefert. +Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, +können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf +jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat: + +\begin{satz} +\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} +Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix +$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$ +in $\Bbbk$ sind. +Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume +\[ +V += +\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) +\oplus +\mathcal{E}_{\lambda_2}(A) +\oplus +\dots +\oplus +\mathcal{E}_{\lambda_l}(A). +\] +Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum +$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. +\end{satz} + +\subsection{Das charakteristische Polynom +\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} +Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend +$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen +Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. +Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ +singulär ist. +Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt +werden. +Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen +von $\det(A-\lambda E)$. + +\begin{definition} +Das {\em charakteristische Polynom} +\[ +\chi_A(x) += +\det (A-x E) += +\left| +\begin{matrix} +a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ +a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ +\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ +a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x +\end{matrix} +\right|. +\] +der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. +\end{definition} + +Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, +dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus +kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, +der $Av=\lambda v$ erfüllt. +Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} +hat +\[ +\chi_A(x) += +\left| +\begin{matrix} +\lambda-x & 1 & & & & \\ + & \lambda-x & 1 & & & \\ + & & \lambda-x & & & \\ + & & &\ddots& & \\ + & & & &\lambda-x& 1 \\ + & & & & &\lambda-x +\end{matrix} +\right| += +(\lambda-x)^n += +(-1)^n (x-\lambda)^n +\] +als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige +Nullstelle hat. +Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also +im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms +nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) +erwarten. + +Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, +dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. +Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten +des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente +in Zeile $k$ ist. +Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als +die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: +\[ +a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. +\] +Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält +\[ +\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. +\] +Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit +Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ +sein, im Widerspruch zur Annahme. + +Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem +Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom +in Linearfaktoren zerfällt. +In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem +mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens +einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. +Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann +nicht in $\Bbbk$ liegen. +Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische +Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. +Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. + +\begin{beispiel} +Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. +Die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +-4&7\\ +-2&4 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{Q}) +\] +hat das charakteristische Polynom +\[ +\chi_A(x) += +\left| +\begin{matrix} +-4-x&7\\-2&4-x +\end{matrix} +\right| += +(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) += +-16+x^2+14 += +x^2-2. +\] +Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. +Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem +sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. +Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor +$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser +Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. +Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus +$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. +Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ +diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. + +Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt +$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung +\begin{equation} +A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. +\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +\end{equation} +Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton +(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) +welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres +charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. +Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen +keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch +in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. +Sie gilt daher ganz allgemein. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} +Die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +32&-41\\ +24&-32 +\end{pmatrix} +\in +M_2(\mathbb{R}) +\] +über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ +hat das charakteristische Polynom +\[ +\det(A-xE) += +\left| +\begin{matrix} +32-x&-41 \\ +25 &-32-x +\end{matrix} +\right| += +(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) += +x^2-32^2 + 1025 += +x^2+1. +\] +Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ +keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, +in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden +sind, sie sind $\pm i$. +In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die +folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: +\begin{align*} +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +32-i&-41\\ +25 &-32-i +\end{tabular} +& +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +1 & t\\ +0 & 0 +\end{tabular} +& +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +32+i&-41\\ +25 &-32+i +\end{tabular} +& +\rightarrow +\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +1 & \overline{t}\\ +0 & 0 +\end{tabular}, +\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ +abgekürzt haben. +Die zugehörigen Eigenvektoren sind} +v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} +& +v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} +\end{align*} +Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als +komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix +$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. +Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann +man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ +gelten muss. +\end{beispiel} + + + + diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex index d681424..41e78ab 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/grundlagen.tex @@ -3,18 +3,23 @@ % % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Grundlagen +\section{Matrixpotenzen \label{buch:section:grundlagen}} -\rhead{Grundlagen} -Die Potenzen $A^k$ sind besonders einfach zu berechnen, wenn die Matrix -Diagonalform hat, wenn also $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ -ist. -In diesem Fall ist $Ae_k=\lambda_k e_k$ für jeden Standardbasisvektor $e_k$. -Statt sich auf Diagonalmatrizen zu beschränken könnten man also auch -Vektoren $v$ suchen, für die gilt $Av=\lambda v$, die also von $A$ nur -gestreckt werden. -Gelingt es, eine Basis aus solchen sogenanten {\em Eigenvektoren} zu finden, -dann kann man die Matrix $A$ durch Basiswechsel in diese Form bringen. +\rhead{Matrixpotenzen} +Die Zerlegung einer Matrix in einfachere Blöcke ist gleichbedeutend +damit, Basen für Unterräume zu finden, die sich unter der Abbildung +nicht ändern. +Im Allgemeinen wird der ganze Raum $\Bbbk^n$ kein solcher invarianter +Unterraum sein. +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man durch Iteration +der Abbildung, also durch Betrachtung von Matrixpotenzen, immer zu +\index{Matrixpotenz}% +einer Zerlegung in invariante Unterräume kommen kann. +\index{invarianter Unterraum}% +\index{Unterraum, invarianter}% +Daraus ergibt sich dann in Abschnitt~\ref{buch:subsection:nilpotente-matrizen} +bereits eine Normalform für nilpotente Matrizen. +\index{nilpotent}% \begin{figure} \centering @@ -53,8 +58,7 @@ ist. \label{buch:subsection:kern-und-bild}} In diesem Abschnitt ist $A\in M_n(\Bbbk)$, $A$ beschreibt eine lineare Abbildung $f\colon\Bbbk^n\to \Bbbk^n$. -In diesem Abschnitt sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht -werden. +Im Folgenden sollen Kern und Bild der Potenzen $A^k$ untersucht werden. \begin{definition} Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit \[ @@ -66,6 +70,8 @@ Wir bezeichnen Kern und Bild der iterierten Abbildung $A^k$ mit = \operatorname{im} A^k. \] +\index{KkA@$\mathcal{K}^k(A)$}% +\index{JkA@$\mathcal{J}^k(A)$}% \end{definition} Durch Iteration wird das Bild immer kleiner. @@ -106,7 +112,7 @@ folgt \{0\}. \label{buch:eigenwerte:eqn:Jkchain} \end{equation} -Für die Kerne gilt etwas Ähnliches. +Für die Kerne gilt etwas Ähnliches, sie werden immer grösser. Ein Vektor $x\in \mathcal{K}^k(A)$ erfüllt $A^kx=0$. Dann erfüllt er aber erst recht auch \[ @@ -181,7 +187,7 @@ bestimmten $\mathcal{J}^{i+2}(A)$. $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ besteht aus all jenen Vektoren, die als $Ax$ mit $x\in\mathcal{J}^{i+1}(A)=\mathcal{J}^i(A)$ erhalten werden können. -Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^i$ mit $x=A^iy$. +Es gibt also insbesondere ein $y\in\Bbbk^n$ mit $x=A^iy$. Dann ist $Ax=A^{i+1}y\in\mathcal{J}^{i+1}(A)$. Insbesondere besteht $\mathcal{J}^{i+2}(A)$ genau aus den Vektoren von $\mathcal{J}^{i+1}(A)$. @@ -238,11 +244,13 @@ $\mathcal{K}^i(A)$ für $i\ge k$ und die identischen Unterräume $\mathcal{J}^i(A)$ für $i\ge k$ werden mit \[ \begin{aligned} -\mathcal{K} &= \mathcal{K}^i(A)&&\forall i\ge k \qquad\text{und} +\mathcal{K}(A) &= \mathcal{K}^i(A)&&\forall i\ge k \qquad\text{und} \\ -\mathcal{J} &= \mathcal{J}^i(A)&&\forall i\ge k +\mathcal{J}(A) &= \mathcal{J}^i(A)&&\forall i\ge k \end{aligned} \] +\index{KA@$\mathcal{K}(A)$} +\index{JA@$\mathcal{J}(A)$} bezeichnet. \end{definition} @@ -259,6 +267,7 @@ Abbildungen zwischen ``kleineren'' Räumen zu zerlegen, wo sie leichter analysiert werden können. \begin{definition} +\label{buch:eigenwerte:def:invarianter-unterraum} Sei $f\colon V\to V$ eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich selbst. Ein Unterraum $U\subset V$ heisst {\em invarianter Unterraum}, @@ -267,6 +276,8 @@ wenn f(U) = \{ f(x)\;|\; x\in U\} \subset U \] gilt. +\index{invarianter Unterraum}% +\index{Unterraum, invarianter}% \end{definition} Der Kern $\ker A$ einer linearen Abbildung ist trivialerweise ein @@ -337,11 +348,11 @@ A' \left( \begin{array}{ccc|ccc} &&&&&\\ -&A_{\mathcal{K}'}&&&&\\ +&A'_{\mathcal{K}}&&&&\\ &&&&&\\ \hline &&&&&\\ -&&&&A_{\mathcal{J}'}&\\ +&&&&A'_{\mathcal{J}}&\\ &&&&&\\ \end{array} \right) @@ -361,21 +372,24 @@ und $\mathcal{K}(A)$ reduziert die lineare Abbildung auf zwei Abbildungen mit speziellen Eigenschaften. Es wurde bereits in Satz~\label{buch:eigenwerte:satz:fJinj} gezeigt, dass die Einschränkung auf $\mathcal{J}(A)$ injektiv ist. -Die Einschränkung auf $\mathcal{K}(A)$ bildet nach Definition alle +Die Einschränkung auf $\mathcal{K}(A)$ bildet nach +Definition~\ref{buch:eigenwerte:def:KundJ} alle Vektoren nach $k$-facher Iteration auf $0$ ab, $A^k\mathcal{K}(A)=0$. Solche Abbildungen haben eine speziellen Namen. \begin{definition} \label{buch:eigenwerte:def:nilpotent} -Eine Matrix $A$ heisst nilpotent, wenn es eine Zahl $k$ gibt, so dass +Eine Matrix $A$ heisst {\em nilpotent}, wenn es eine Zahl $k$ gibt, so dass $A^k=0$. +\index{nilpotent}% \end{definition} \begin{beispiel} Obere (oder untere) Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen sind nilpotent. +\index{Dreicksmatrix}% Wir rechnen dies wie folgt nach. -Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{ij}$ +Die Matrix $A$ mit Einträgen $a_{i\!j}$ \[ A=\begin{pmatrix} 0 &a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1,n-1}&a_{1n} \\ @@ -386,35 +400,35 @@ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0 \end{pmatrix} \] -erfüllt $a_{ij}=0$ für $i\ge j$. +erfüllt $a_{i\!j}=0$ für $i\ge j$. Wir zeigen jetzt, dass sich bei der Multiplikation die nicht verschwinden Elemente bei der Multiplikation noch rechts oben verschieben. Dazu multiplizieren wir zwei Matrizen $B$ und $C$ mit -$b_{ij}=0$ für $i+k>j$ und $c_{ij}=0$ für $i+l>j$. +$b_{i\!j}=0$ für $i+k>j$ und $c_{i\!j}=0$ für $i+l>j$. In der folgenden graphischen Darstellung der Matrizen sind die Bereiche, wo die Matrixelemente verschwinden, weiss. \begin{center} \includegraphics{chapters/40-eigenwerte/images/nilpotent.pdf} \end{center} -Bei der Berechnung des Elementes $d_{ij}$ wird die Zeile $i$ von $B$ +Bei der Berechnung des Elementes $d_{i\!j}$ wird die Zeile $i$ von $B$ mit der Spalte $j$ von $C$ multipliziert. Die blau eingefärbten Elemente in dieser Zeile und Spalte sind $0$. Aus der Darstellung ist abzulesen, dass das Produkt verschwindet, -die roten, von $0$ verschiedenen Elemente von den blauen Elementen -annihiliert werden. +wenn die roten, von $0$ verschiedenen Elemente von den blauen +Elementen annihiliert werden. Dies passiert immer, wenn $i+k>j-l$ ist, oder $i+(k+l)> j$. Wir wenden diese Beobachtung jetzt auf die Potenzen $A^s$ an. -Für die Matrixelemente von $A^s$ schreiben wir $a^s_{ij}$. -Wir behaupten, dass die Matrixelemente $A^s$ die Bedingung -$a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$ erfüllen. +Für die Matrixelemente von $A^s$ schreiben wir $a^s_{i\!j}$. +Wir behaupten, dass die Matrixelemente von $A^s$ die Bedingung +$a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$ erfüllen. Dies ist für $s=1$ nach Voraussetzung richtig, dies ist die -Induktionsvoraussetzung. -Nehmen wir jetzt an, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$, dann folgt -aus obiger Rechnung, dass $a_{ij}^{s+1}=0$ für $i+s+1>j$, so +Induktionsverankerung. +Nehmen wir jetzt an, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$, dann folgt +aus obiger Rechnung, dass $a_{i\!j}^{s+1}=0$ für $i+s+1>j$, so dass die Bedingung auch für $A^s$ gilt (Induktionsschritt). -Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{ij}^s=0$ für $i+s>j$. +Mit vollständiger Induktion folgt, dass $a_{i\!j}^s=0$ für $i+s>j$. Insbesondere ist $A^n=0$, die Matrix $A$ ist nilpotent. \end{beispiel} @@ -468,6 +482,9 @@ Wir bezeichnen mit $N_n$ eine Matrix der Form Mit etwas mehr Sorgfalt kann man auch die Bedingung, dass $A^{n-1}\ne 0$ sein muss, im Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:nnilpotent} loswerden. +Sie bedeutet nämlich dass sich die Matrix in mehrere kleinere Blöcke +der Form~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent} zerlegen lässt, wie +der folgende Satz zeigt. \begin{satz} \label{buch:eigenwerte:satz:allgnilpotent} @@ -492,11 +509,18 @@ A' & & &\multicolumn{1}{|c|}{\raisebox{0pt}[17pt][12pt]{\phantom{x}$N_{k_l}$}\phantom{x}}\\ \cline{4-4} \end{array} -\right) +\right). \label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} \end{equation} \end{satz} +Im Abschnitt~\ref{buch:subsection:normalform-einer-nilpotenten-matrix} +wird ein Algorithmus zur Bestimmung einer geeigneten Basis für die +Normalform~\eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} in etwas mehr +Detail dargestellt. + +Aus Satz lässt sich für eine beliebige lineare Abbildung auch bereits eine +partielle Normalform finden. Die Einschränkung von $f$ auf den invarianten Unterraum $\mathcal{K}(A)$ ist nilpotent. Die Zerlegung $V=\mathcal{J}(A)\oplus \mathcal{K}(A)$ führt also zu einer @@ -508,7 +532,6 @@ $\mathcal{K}(A)$ eine Basis so wählen, dass die Matrix die Blockform \eqref{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} erhält. - \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/40-eigenwerte/images/jknilp.pdf} @@ -602,7 +625,7 @@ ist ein Block der Form $N_k$. Für $0\le k\le l-1$ sind die Vektoren $A^kb_i$, solange sie von $0$ verschieden sind, alle nach Konstruktion linear unabhängig, sie bilden eine Basis -von $\mathcal{K}^l(A)=\mathbb{R}^n$. +von $\mathcal{K}^l(A)=\Bbbk^n$. \begin{beispiel} Die Basis für die Zerlegung der Matrix @@ -618,7 +641,7 @@ A in Blockform soll nach der oben beschriebenen Methode ermittelt werden. Zunächst kann man nachrechnen, dass $A^2=0$ ist. Der Kern von $A$ ist der Lösungsraum der Gleichung $Ax=0$, da alle Zeilen -Vielfache der ersten Zeile sind, recht es zu verlangen, dass die +Vielfache der ersten Zeile sind, reicht es zu verlangen, dass die Komponenten $x_i$ der Lösung die Gleichung \[ 3x_1+x_2-2x_3=0 @@ -631,9 +654,10 @@ Wir verwenden daher die beiden Vektoren \[ b_3=e_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} ,\qquad -b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*}, +b_2=Ab_3=\begin{pmatrix*}[r] 3\\-21\\-6 \end{pmatrix*}. \] -in dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$. +In einem Unterraum mit +dieser Basis hat $A$ die Matrix $N_2$. Jetzt muss noch ein Basisvektor $b_1$ gefunden werden, der in $\ker A=\mathbb{L}$ liegt und so, dass $b_1$ und $b_2$ linear unabhängig sind. @@ -641,7 +665,7 @@ Die zweite Bedingung kann leicht dadurch sichergestellt werden, dass man die erste Komponente von $b_1$ als $0$ wählt. Eine mögliche Lösung ist dann \[ -b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} +b_1=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}. \] Die Matrix \[ @@ -668,558 +692,561 @@ B^{-1}\begin{pmatrix*}[r] 0&0& -6 \end{pmatrix*} = -\begin{pmatrix} -0&0&0\\ -0&0&1\\ -0&0&0 -\end{pmatrix} +\left( +\begin{array}{c|cc} +0& & \\ +\hline + &0&1\\ + &0&0 +\end{array} +\right) = N_3. \qedhere \] \end{beispiel} +%% +%% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors +%% +%\section{Eigenwerte und Eigenvektoren +%\label{buch:section:eigenwerte-und-eigenvektoren}} +%In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem +%beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen +%$A\in M_n(\Bbbk)$. +%In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. +%Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, +%ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel +%Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. +% +%\begin{definition} +%Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert +%$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. +%\end{definition} +% +%Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. +%Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von +%$\lambda\in\Bbbk$. +%Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, +%ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. +%Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. +% +%Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene +%Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. +%Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit +%geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ +%Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. +%Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren +%einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. +% +%Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann +%man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis +%$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ +%von $V$ ergänzen. +%Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch +%in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen +%\[ +%Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n +%\] +%dargestellt werden. +%In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form +%\[ +%A' +%= +%\begin{pmatrix} +%\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ +% 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ +% 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ +%\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +% 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} +%\end{pmatrix}. +%\] +%Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor +%ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form +%zu bringen. +% +%\begin{definition} +%Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst +%\[ +%E_\lambda +%= +%\{ v\;|\; Av=\lambda v\} +%\] +%der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. +%\index{Eigenraum}% +%\end{definition} +% +%Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn +%$u,v\in E_\lambda$, dann ist +%\[ +%A(su+tv) +%= +%sAu+tAv +%= +%s\lambda u + t\lambda v +%= +%\lambda(su+tv), +%\] +%also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. +%Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein +%Eigenwert ist. +% +%\begin{satz} +%Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. +%\end{satz} +% +%\begin{proof}[Beweis] +%Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. +%Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, +%oder $A=\lambda E$. +%\end{proof} +% +%Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume +%von $A+\mu E$ berechnen. +%Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt +%\[ +%Av=\lambda v +%\qquad\Rightarrow\qquad +%(A+\mu)v = \lambda v + \mu v +%= +%(\lambda+\mu)v, +%\] +%somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. +%Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ +%zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ +%untersuchen. +% +%% +%% Invariante Räume +%% +%\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume +%\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} +%Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist +%ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$. +%Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$ +%und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$. +% +%\begin{beispiel} +%Wir untersuchen die Matrix +%\[ +%A +%= +%\begin{pmatrix} +%1&1&-1&0\\ +%0&3&-1&1\\ +%0&2& 0&1\\ +%0&0& 0&2 +%\end{pmatrix} +%\] +%Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. +%Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante +%Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$. +%Die Matrix $B=A-E$ ist +%\[ +%B +%= +%\begin{pmatrix} +%0&1&-1&0\\ +%0&2&-1&1\\ +%0&2&-1&1\\ +%0&0& 0&2 +%\end{pmatrix} +%\] +%und wir berechnen davon die Potenz +%\[ +%D=B^4=(A-E)^4 +%= +%\begin{pmatrix} +%0&0& 0&0\\ +%0&2&-1&4\\ +%0&2&-1&4\\ +%0&0& 0&1 +%\end{pmatrix}. +%\] +%Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$ +%von $D$ die Basis +%\[ +%b_1 +%= +%\begin{pmatrix} +%0\\0\\0\\1 +%\end{pmatrix} +%, \qquad +%b_2 +%= +%\begin{pmatrix} +%0\\1\\1\\0 +%\end{pmatrix} +%\] +%hat. +%Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren +%\[ +%b_3 +%= +%\begin{pmatrix} +%0\\1\\2\\0 +%\end{pmatrix} +%,\qquad +%b_4 +%= +%\begin{pmatrix} +%1\\0\\0\\0 +%\end{pmatrix} +%\] +%verwenden. +% +%Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante +%Unterräume sind. +%Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$ +%berechnen wir +%\begin{align*} +%(A-E)b_1 +%&= +%\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} +%= +%4b_2+b_1, +%\\ +%(A-E)b_2 +%&= +%\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} +%= +%b_2. +%\end{align*} +%Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. +%In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung +%auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix +%\[ +%A_{\mathcal{J}(A-E)} +%= +%\begin{pmatrix} +%1&4\\ +%0&1 +%\end{pmatrix}. +%\] +% +%Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog +%\[ +%\left. +%\begin{aligned} +%Ab_3 +%&= +%-b_4 +%\\ +%Ab_4 +%&=0 +%\end{aligned} +%\quad\right\} +%\qquad\Rightarrow\qquad +%A_{\mathcal{K}(A-E)} +%= +%\begin{pmatrix} +%0&-1\\ +%0& 0 +%\end{pmatrix}. +%\] +%In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix +%in Blockform +%\[ +%A' +%= +%\left( +%\begin{array}{cc|cr} +%2&4& & \\ +%0&2& & \\ +%\hline +% & &1&-1\\ +% & &0& 1 +%\end{array}\right), +%\] +%die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$ +%und $\mathcal{K}(A-E)$. +%Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante +%Unterräume für $A$. +%\end{beispiel} +% +%\begin{definition} +%Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante +%Unterraum +%\[ +%\mathcal{E}_{\lambda}(A) +%= +%\mathcal{K}(A-\lambda E) +%\] +%der verallgemeinerte Eigenraum von $A$. +%\end{definition} +% +%Es ist klar, dass +%$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. +% +%\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume +%\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} +%Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$ +%injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$. +%Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch +%$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$. +%Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und +%$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. +% +%Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung +%\[ +%V +%= +%\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) +%\oplus +%\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2}, +%\] +%wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. +%Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ +%nilpotent. +%Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$ +%gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante +%Unterräume für $A$. +%Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren +%Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung +%in invariante Unterräume liefert. +%Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, +%können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf +%jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat: +% +%\begin{satz} +%\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} +%Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix +%$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$ +%in $\Bbbk$ sind. +%Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume +%\[ +%V +%= +%\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) +%\oplus +%\mathcal{E}_{\lambda_2}(A) +%\oplus +%\dots +%\oplus +%\mathcal{E}_{\lambda_l}(A). +%\] +%Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum +%$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. +%\end{satz} +% +%\subsection{Das charakteristische Polynom +%\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} +%Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend +%$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen +%Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. +%Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ +%singulär ist. +%Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt +%werden. +%Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen +%von $\det(A-\lambda E)$. +% +%\begin{definition} +%Das {\em charakteristische Polynom} +%\[ +%\chi_A(x) +%= +%\det (A-x E) +%= +%\left| +%\begin{matrix} +%a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ +%a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ +%\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ +%a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x +%\end{matrix} +%\right|. +%\] +%der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. +%\end{definition} +% +%Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, +%dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus +%kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, +%der $Av=\lambda v$ erfüllt. +%Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} +%hat +%\[ +%\chi_A(x) +%= +%\left| +%\begin{matrix} +%\lambda-x & 1 & & & & \\ +% & \lambda-x & 1 & & & \\ +% & & \lambda-x & & & \\ +% & & &\ddots& & \\ +% & & & &\lambda-x& 1 \\ +% & & & & &\lambda-x +%\end{matrix} +%\right| +%= +%(\lambda-x)^n +%= +%(-1)^n (x-\lambda)^n +%\] +%als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige +%Nullstelle hat. +%Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also +%im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms +%nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) +%erwarten. +% +%Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, +%dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. +%Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten +%des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente +%in Zeile $k$ ist. +%Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als +%die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: +%\[ +%a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. +%\] +%Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält +%\[ +%\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. +%\] +%Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit +%Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ +%sein, im Widerspruch zur Annahme. +% +%Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem +%Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom +%in Linearfaktoren zerfällt. +%In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem +%mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens +%einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. +%Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann +%nicht in $\Bbbk$ liegen. +%Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische +%Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. +%Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. +% +%\begin{beispiel} +%Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. +%Die Matrix +%\[ +%A=\begin{pmatrix} +%-4&7\\ +%-2&4 +%\end{pmatrix} +%\in +%M_2(\mathbb{Q}) +%\] +%hat das charakteristische Polynom +%\[ +%\chi_A(x) +%= +%\left| +%\begin{matrix} +%-4-x&7\\-2&4-x +%\end{matrix} +%\right| +%= +%(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) +%= +%-16+x^2+14 +%= +%x^2-2. +%\] +%Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. +%Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem +%sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. +%Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor +%$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser +%Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. +%Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus +%$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. +%Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ +%diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. +% +%Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt +%$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung +%\begin{equation} +%A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. +%\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +%\end{equation} +%Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton +%(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) +%welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres +%charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. +%Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} +%wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen +%keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch +%in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. +%Sie gilt daher ganz allgemein. +%\end{beispiel} +% +%\begin{beispiel} +%Die Matrix +%\[ +%A=\begin{pmatrix} +%32&-41\\ +%24&-32 +%\end{pmatrix} +%\in +%M_2(\mathbb{R}) +%\] +%über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ +%hat das charakteristische Polynom +%\[ +%\det(A-xE) +%= +%\left| +%\begin{matrix} +%32-x&-41 \\ +%25 &-32-x +%\end{matrix} +%\right| +%= +%(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) +%= +%x^2-32^2 + 1025 +%= +%x^2+1. +%\] +%Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ +%keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, +%in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden +%sind, sie sind $\pm i$. +%In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die +%folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: +%\begin{align*} +%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +%32-i&-41\\ +%25 &-32-i +%\end{tabular} +%& +%\rightarrow +%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +%1 & t\\ +%0 & 0 +%\end{tabular} +%& +%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +%32+i&-41\\ +%25 &-32+i +%\end{tabular} +%& +%\rightarrow +%\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} +%1 & \overline{t}\\ +%0 & 0 +%\end{tabular}, +%\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ +%abgekürzt haben. +%Die zugehörigen Eigenvektoren sind} +%v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} +%& +%v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} +%\end{align*} +%Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als +%komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix +%$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. +%Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann +%man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ +%gelten muss. +%\end{beispiel} % -% Begriff des Eigenwertes und Eigenvektors % -\subsection{Eigenwerte und Eigenvektoren -\label{buch:subsection:eigenwerte-und-eigenvektoren}} -In diesem Abschnitt betrachten wir Vektorräume $V=\Bbbk^n$ über einem -beliebigen Körper $\Bbbk$ und quadratische Matrizen -$A\in M_n(\Bbbk)$. -In den meisten Anwendungen wird $\Bbbk=\mathbb{R}$ sein. -Da aber in $\mathbb{R}$ nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar sind, -ist es manchmal notwendig, den Vektorraum zu erweitern um zum Beispiel -Eigenschaften der Matrix $A$ abzuleiten. - -\begin{definition} -Ein Vektor $v\in V$ heisst {\em Eigenvektor} von $A$ zum Eigenwert -$\lambda\in\Bbbk$, wenn $v\ne 0$ und $Av=\lambda v$ gilt. -\end{definition} - -Die Bedingung $v\ne 0$ dient dazu, pathologische Situationen auszuschliessen. -Für den Nullvektor gilt $A0=\lambda 0$ für jeden beliebigen Wert von -$\lambda\in\Bbbk$. -Würde man $v=0$ zulassen, wäre jede Zahl in $\Bbbk$ ein Eigenwert, -ein Eigenwert von $A$ wäre nichts besonderes. -Ausserdem wäre $0$ ein Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert. - -Eigenvektoren sind nicht eindeutig bestimmt, jedes von $0$ verschiedene -Vielfache von $v$ ist ebenfalls ein Eigenvektor. -Zu einem Eigenwert kann man also einen Eigenvektor jeweils mit -geeigneten Eigenschaften finden, zum Beispiel kann man für $\Bbbk = \mathbb{R}$ -Eigenvektoren auf Länge $1$ normieren. -Im Folgenden werden wir oft die abkürzend linear unabhängige Eigenvektoren -einfach als ``verschiedene'' Eigenvektoren bezeichnen. - -Wenn $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann kann -man ihn mit zusätzlichen Vektoren $v_2,\dots,v_n$ zu einer Basis -$\mathcal{B}=\{v,v_2,\dots,v_n\}$ -von $V$ ergänzen. -Die Vektoren $v_k$ mit $k=2,\dots,n$ werden von $A$ natürlich auch -in den Vektorraum $V$ abgebildet, können also als Linearkombinationen -\[ -Av = a_{1k}v + a_{2k}v_2 + a_{3k}v_3 + \dots a_{nk}v_n -\] -dargestellt werden. -In der Basis $\mathcal{B}$ bekommt die Matrix $A$ daher die Form -\[ -A' -= -\begin{pmatrix} -\lambda&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\ - 0 &a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\ - 0 &a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\ -\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ - 0 &a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn} -\end{pmatrix}. -\] -Bereits ein einzelner Eigenwert und ein zugehöriger Eigenvektor -ermöglichen uns also, die Matrix in eine etwas einfachere Form -zu bringen. - -\begin{definition} -Für $\lambda\in\Bbbk$ heisst -\[ -E_\lambda -= -\{ v\;|\; Av=\lambda v\} -\] -der {\em Eigenraum} zum Eigenwert $\lambda$. -\index{Eigenraum}% -\end{definition} - -Der Eigenraum $E_\lambda$ ist ein Unterraum von $V$, denn wenn -$u,v\in E_\lambda$, dann ist -\[ -A(su+tv) -= -sAu+tAv -= -s\lambda u + t\lambda v -= -\lambda(su+tv), -\] -also ist auch $su+tv\in E_\lambda$. -Der Fall $E_\lambda = \{0\}=0$ bedeutet natürlich, dass $\lambda$ gar kein -Eigenwert ist. - -\begin{satz} -Wenn $\dim E_\lambda=n$, dann ist $A=\lambda E$. -\end{satz} - -\begin{proof}[Beweis] -Da $V$ ein $n$-dimensionaler Vektoraum ist, ist $E_\lambda=V$. -Jeder Vektor $v\in V$ erfüllt also die Bedingung $Av=\lambda v$, -oder $A=\lambda E$. -\end{proof} - -Wenn man die Eigenräume von $A$ kennt, dann kann man auch die Eigenräume -von $A+\mu E$ berechnen. -Ein Vektor $v\in E_\lambda$ erfüllt -\[ -Av=\lambda v -\qquad\Rightarrow\qquad -(A+\mu)v = \lambda v + \mu v -= -(\lambda+\mu)v, -\] -somit ist $v$ ein Eigenvektor von $A+\mu E$ zum Eigenwert $\lambda+\mu$. -Insbesondere können wir statt die Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ -zu studieren, auch die Eigenvektoren zum Eigenwert $0$ von $A-\lambda E$ -untersuchen. - % -% Invariante Räume % -\subsection{Verallgemeinerte Eigenräume -\label{buch:subsection:verallgemeinerte-eigenraeume}} -Wenn $\lambda$ ein Eigenwert der Matrix $A$ ist, dann ist -ist $A-\lambda E$ injektiv und $\ker(A-\lambda E)\ne 0$. -Man kann daher die invarianten Unterräume $\mathcal{K}(A-\lambda E)$ -und $\mathcal{J}(A-\lambda E)$. - -\begin{beispiel} -Wir untersuchen die Matrix -\[ -A -= -\begin{pmatrix} -1&1&-1&0\\ -0&3&-1&1\\ -0&2& 0&1\\ -0&0& 0&2 -\end{pmatrix} -\] -Man kann zeigen, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert ist. -Wir suchen die Zerlegung des Vektorraums $\mathbb{R}^4$ in invariante -Unterräume $\mathcal{K}(A-E)$ und $\mathcal{J}(A-E)$. -Die Matrix $B=A-E$ ist -\[ -B -= -\begin{pmatrix} -0&1&-1&0\\ -0&2&-1&1\\ -0&2&-1&1\\ -0&0& 0&2 -\end{pmatrix} -\] -und wir berechnen davon die Potenz -\[ -D=B^4=(A-E)^4 -= -\begin{pmatrix} -0&0& 0&0\\ -0&2&-1&4\\ -0&2&-1&4\\ -0&0& 0&1 -\end{pmatrix}. -\] -Daraus kann man ablesen, dass das Bild $\operatorname{im}D$ -von $D$ die Basis -\[ -b_1 -= -\begin{pmatrix} -0\\0\\0\\1 -\end{pmatrix} -, \qquad -b_2 -= -\begin{pmatrix} -0\\1\\1\\0 -\end{pmatrix} -\] -hat. -Für den Kern von $D$ können wir zum Beispiel die Basisvektoren -\[ -b_3 -= -\begin{pmatrix} -0\\1\\2\\0 -\end{pmatrix} -,\qquad -b_4 -= -\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\0 -\end{pmatrix} -\] -verwenden. - -Als erstes überprüfen wir, ob diese Basisvektoren tatsächlich invariante -Unterräume sind. -Für $\mathcal{J}(A-E) = \langle b_1,b_2\rangle$ -berechnen wir -\begin{align*} -(A-E)b_1 -&= -\begin{pmatrix} 0\\4\\4\\1 \end{pmatrix} -= -4b_2+b_1, -\\ -(A-E)b_2 -&= -\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\0 \end{pmatrix} -= -b_2. -\end{align*} -Dies beweist, dass $\mathcal{J}(A-E)$ invariant ist. -In dieser Basis hat die von $A-E$ beschriebene lineare Abbildung -auf $\mathcal{J}(A-E)$ die Matrix -\[ -A_{\mathcal{J}(A-E)} -= -\begin{pmatrix} -1&4\\ -0&1 -\end{pmatrix}. -\] - -Für den Kern $\mathcal{K}(A-E)$ findet man analog -\[ -\left. -\begin{aligned} -Ab_3 -&= --b_4 -\\ -Ab_4 -&=0 -\end{aligned} -\quad\right\} -\qquad\Rightarrow\qquad -A_{\mathcal{K}(A-E)} -= -\begin{pmatrix} -0&-1\\ -0& 0 -\end{pmatrix}. -\] -In der Basis $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ hat $A$ die Matrix -in Blockform -\[ -A' -= -\left( -\begin{array}{cc|cr} -2&4& & \\ -0&2& & \\ -\hline - & &1&-1\\ - & &0& 1 -\end{array}\right), -\] -die Blöcke gehören zu den invarianten Unterräumen $\mathcal{K}(A-E)$ -und $\mathcal{K}(A-E)$. -Die aus $A-E$ gewonnen invarianten Unterräume sind offenbar auch invariante -Unterräume für $A$. -\end{beispiel} - -\begin{definition} -Ist $A$ eine Matrix mit Eigenwert $\lambda$, dann heisst der invariante -Unterraum -\[ -\mathcal{E}_{\lambda}(A) -= -\mathcal{K}(A-\lambda E) -\] -der verallgemeinerte Eigenraum von $A$. -\end{definition} - -Es ist klar, dass -$E_\lambda(A)=\ker (A-\lambda E)\subset\mathcal{E}_{\lambda}(A)$. - -\subsection{Zerlegung in invariante Unterräume -\label{buch:subsection:zerlegung-in-invariante-unterraeume}} -Wenn $\lambda$ kein Eigenwert von $A$ ist, dann ist $A-\lambda E$ -injektiv und damit $\ker(A-\lambda E)=0$. -Es folgt, dass $\mathcal{K}^i(A-\lambda E)=0$ und daher auch -$\mathcal{J}^i(A-\lambda E)=V$. -Die Zerlegung in invariante Unterräume $\mathcal{J}(A-\lambda E)$ und -$\mathcal{K}(A-\lambda E)$ liefert in diesem Falle also nichts Neues. - -Für einen Eigenwert $\lambda_1$ von $A$ dagegen, erhalten wir die Zerlegung -\[ -V -= -\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) -\oplus -\underbrace{\mathcal{J}(A-\lambda_1 E)}_{\displaystyle =V_2}, -\] -wobei $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)\ne 0$ ist. -Die Matrix $A-\lambda_1 E$ ist eingeschränkt auf $\mathcal{E}_{\lambda_1}(A)$ -nilpotent. -Die Zerlegung in invariante Unterräume ist zwar mit Hilfe von $A-\lambda_1E$ -gewonnen worden, ist aber natürlich auch eine Zerlegung in invariante -Unterräume für $A$. -Wir können daher das Problem auf $V_2$ einschränken und nach einem weiteren -Eigenwert $\lambda_2$ von $A$ in $V_2$ suchen, was wieder eine Zerlegung -in invariante Unterräume liefert. -Indem wir so weiterarbeiten, bis wir den ganzen Raum ausgeschöpft haben, -können wir eine Zerlegung des ganzen Raumes $V$ finden, so dass $A$ auf -jedem einzelnen Summanden eine sehr einfach Form hat: - -\begin{satz} -\label{buch:eigenwerte:satz:zerlegung-in-eigenraeume} -Sei $V$ ein $\Bbbk$-Vektorraum und $f$ eine lineare Abbildung mit Matrix -$A$ derart, dass alle Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ von $A$ -in $\Bbbk$ sind. -Dann gibt es eine Zerlegung von $V$ in verallgemeinerte Eigenräume -\[ -V -= -\mathcal{E}_{\lambda_1}(A) -\oplus -\mathcal{E}_{\lambda_2}(A) -\oplus -\dots -\oplus -\mathcal{E}_{\lambda_l}(A). -\] -Die Einschränkung von $A-\lambda_{i}E$ auf den Eigenraum -$\mathcal{E}_{\lambda_i}(A)$ ist nilpotent. -\end{satz} - -\subsection{Das charakteristische Polynom -\label{buch:subsection:das-charakteristische-polynom}} -Ein Eigenvektor von $A$ erfüllt $Av=\lambda v$ oder gleichbedeutend -$(A-\lambda E)v=0$, er ist also eine nichttriviale Lösung des homogenen -Gleichungssystems mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$. -Ein Eigenwert ist also ein Skalar derart, dass $A-\lambda E$ -singulär ist. -Ob eine Matrix singulär ist, kann mit der Determinante festgestellt -werden. -Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind daher die Nullstellen -von $\det(A-\lambda E)$. - -\begin{definition} -Das {\em charakteristische Polynom} -\[ -\chi_A(x) -= -\det (A-x E) -= -\left| -\begin{matrix} -a_{11}-x & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{21} & a_{22}-x & \dots & a_{2n} \\ -\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\ -a_{n1} & a_{n2} &\dots & a_{nn}-x -\end{matrix} -\right|. -\] -der Matrix $A$ ist ein Polynom vom Grad $n$ mit Koeffizienten in $\Bbbk$. -\end{definition} - -Findet man eine Nullstelle $\lambda\in\Bbbk$ von $\chi_A(x)$, -dann ist die Matrix $A-\lambda E\in M_n(\Bbbk)$ und mit dem Gauss-Algorithmus -kann man auch mindestens einen Vektor $v\in \Bbbk^n$ finden, -der $Av=\lambda v$ erfüllt. -Eine Matrix der Form wie in Satz~\ref{buch:eigenwerte:satz:jordanblock} -hat -\[ -\chi_A(x) -= -\left| -\begin{matrix} -\lambda-x & 1 & & & & \\ - & \lambda-x & 1 & & & \\ - & & \lambda-x & & & \\ - & & &\ddots& & \\ - & & & &\lambda-x& 1 \\ - & & & & &\lambda-x -\end{matrix} -\right| -= -(\lambda-x)^n -= -(-1)^n (x-\lambda)^n -\] -als charakteristisches Polynom, welches $\lambda$ als einzige -Nullstelle hat. -Der Eigenraum der Matrix ist aber nur eindimensional, man kann also -im Allgemeinen für jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms -nicht mehr als einen Eigenvektor (d.~h.~einen eindimensionalen Eigenraum) -erwarten. - -Wenn das charakteristische Polynom von $A$ keine Nullstellen in $\Bbbk$ hat, -dann kann es auch keine Eigenvektoren in $\Bbbk^n$ geben. -Gäbe es nämlich einen solchen Vektor, dann müsste eine der Komponenten -des Vektors von $0$ verschieden sein, wir nehmen an, dass es die Komponente -in Zeile $k$ ist. -Die Komponente $v_k$ kann man auf zwei Arten berechnen, einmal als -die $k$-Komponenten von $Av$ und einmal als $k$-Komponente von $\lambda v$: -\[ -a_{k1}v_1+\dots+a_{kn}v_n = \lambda v_k. -\] -Da $v_k\ne 0$ kann man nach $\lambda$ auflösen und erhält -\[ -\lambda = \frac{a_{k1}v_1+\dots + a_{kn}v_n}{v_k}. -\] -Alle Terme auf der rechten Seite sind in $\Bbbk$ und werden nur mit -Körperoperationen in $\Bbbk$ verknüpft, also muss auch $\lambda\in\Bbbk$ -sein, im Widerspruch zur Annahme. - -Durch Hinzufügen von geeigneten Elementen können wir immer zu einem -Körper $\Bbbk'$ übergehen, in dem das charakteristische Polynom -in Linearfaktoren zerfällt. -In diesem Körper kann man jetzt das homogene lineare Gleichungssystem -mit Koeffizientenmatrix $A-\lambda E$ lösen und damit mindestens -einen Eigenvektor $v$ für jeden Eigenwert finden. -Die Komponenten von $v$ liegen in $\Bbbk'$, und mindestens eine davon kann -nicht in $\Bbbk$ liegen. -Das bedeutet aber nicht, dass man diese Vektoren nicht für theoretische -Überlegungen über von $\Bbbk'$ unabhängige Eigenschaften der Matrix $A$ machen. -Das folgende Beispiel soll diese Idee illustrieren. - -\begin{beispiel} -Wir arbeiten in diesem Beispiel über dem Körper $\Bbbk=\mathbb{Q}$. -Die Matrix -\[ -A=\begin{pmatrix} --4&7\\ --2&4 -\end{pmatrix} -\in -M_2(\mathbb{Q}) -\] -hat das charakteristische Polynom -\[ -\chi_A(x) -= -\left| -\begin{matrix} --4-x&7\\-2&4-x -\end{matrix} -\right| -= -(-4-x)(4-x)-7\cdot(-2) -= --16+x^2+14 -= -x^2-2. -\] -Die Nullstellen sind $\pm\sqrt{2}$ und damit nicht in $\mathbb{Q}$. -Wir gehen daher über zum Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, in dem -sich zwei Nullstellen $\lambda=\pm\sqrt{2}$ finden lassen. -Zu jedem Eigenwert lässt sich auch ein Eigenvektor -$v_{\pm\sqrt{2}}\in \mathbb{Q}(\!\sqrt{2})^2$, und unter Verwendung dieser -Basis bekommt die Matrix $A'=TAT^{-1}$ Diagonalform. -Die Transformationsmatrix $T$ enthält Matrixelemente aus -$\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$, die nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. -Die Matrix $A$ lässt sich also über dem Körper $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ -diagonalisieren, nicht aber über dem Körper $\mathbb{Q}$. - -Da $A'$ Diagonalform hat mit $\pm\sqrt{2}$ auf der Diagonalen, folgt -$A^{\prime 2} = 2E$, die Matrix $A'$ erfüllt also die Gleichung -\begin{equation} -A^{\prime 2}-E= \chi_{A}(A) = 0. -\label{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -\end{equation} -Dies is ein Spezialfall des Satzes von Cayley-Hamilton -(Satz~\ref{buch:normalformen:satz:cayley-hamilton}) -welcher besagt, dass jede Matrix $A$ eine Nullstelle ihres -charakteristischen Polynoms ist: $\chi_A(A)=0$. -Die Gleichung~\ref{buch:grundlagen:eqn:cayley-hamilton-beispiel} -wurde zwar in $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ hergeleitet, aber in ihr kommen -keine Koeffizienten aus $\mathbb{Q}(\!\sqrt{2})$ vor, die man nicht auch -in $\mathbb{Q}$ berechnen könnte. -Sie gilt daher ganz allgemein. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Die Matrix -\[ -A=\begin{pmatrix} -32&-41\\ -24&-32 -\end{pmatrix} -\in -M_2(\mathbb{R}) -\] -über dem Körper $\Bbbk = \mathbb{R}$ -hat das charakteristische Polynom -\[ -\det(A-xE) -= -\left| -\begin{matrix} -32-x&-41 \\ -25 &-32-x -\end{matrix} -\right| -= -(32-x)(-32-x)-25\cdot(-41) -= -x^2-32^2 + 1025 -= -x^2+1. -\] -Die charakteristische Gleichung $\chi_A(x)=0$ hat in $\mathbb{R}$ -keine Lösungen, daher gehen wir zum Körper $\Bbbk'=\mathbb{C}$ über, -in dem dank dem Fundamentalsatz der Algebra alle Nullstellen zu finden -sind, sie sind $\pm i$. -In $\mathbb C$ lassen sich dann auch Eigenvektoren finden, man muss dazu die -folgenden linearen Gleichungssyteme lösen: -\begin{align*} -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -32-i&-41\\ -25 &-32-i -\end{tabular} -& -\rightarrow -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -1 & t\\ -0 & 0 -\end{tabular} -& -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -32+i&-41\\ -25 &-32+i -\end{tabular} -& -\rightarrow -\begin{tabular}{|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|} -1 & \overline{t}\\ -0 & 0 -\end{tabular}, -\intertext{wobei wir $t=-41/(32-i) =-41(32+i)/1025= -1.28 -0.04i = (64-1)/50$ -abgekürzt haben. -Die zugehörigen Eigenvektoren sind} -v_i&=\begin{pmatrix}t\\i\end{pmatrix} -& -v_{-i}&=\begin{pmatrix}\overline{t}\\i\end{pmatrix} -\end{align*} -Mit den Vektoren $v_i$ und $v_{-i}$ als Basis kann die Matrix $A$ als -komplexe Matrix, also mit komplexem $T$ in die komplexe Diagonalmatrix -$A'=\operatorname{diag}(i,-i)$ transformiert werden. -Wieder kann man sofort ablesen, dass $A^{\prime2}+E=0$, und wieder kann -man schliessen, dass für die relle Matrix $A$ ebenfalls $\chi_A(A)=0$ -gelten muss. -\end{beispiel} - - - - diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex index a9f8c9b..2607856 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/normalformen.tex @@ -122,7 +122,7 @@ A' \cline{4-4} \end{array} \right) -\label{buch:eigenwerte:eqn:allgnilpotent} +\label{buch:eigenwerte:eqn:allgjordan} \end{equation} wobei, $A_i$ Matrizen mit dem einzigen Eigenwert $\lambda_i$ sind. diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex index 1d20404..91f17a7 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektralradius.tex @@ -78,7 +78,7 @@ J_n(\lambda)^k \end{equation} mit den Matrixelementen \[ -(J_n(\lambda)^k)_{ij} +(J_n(\lambda)^k)_{i\!j} = \binom{k}{j-i}\lambda^{k-j+i}. \] @@ -93,7 +93,7 @@ J_n(\lambda) = \lambda E + N_n schreibt, wobei $N_n$ die Matrix \eqref{buch:eigenwerte:eqn:nnilpotent} ist. Die Potenzen von $N_n$ haben die Matrix-Elemente \[ -(N_n^k)_{ij} +(N_n^k)_{i\!j} = \delta_{i,j-k} = diff --git a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex index 466b99e..20efede 100644 --- a/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex +++ b/buch/chapters/40-eigenwerte/spektraltheorie.tex @@ -115,7 +115,7 @@ k_i(z) \frac{(z-z_0)\dots \widehat{(z-z_i)}\dots (z-z_n)}{(z_i-z_0)\dots \widehat{(z_i-z_i)}\dots (z_i-z_n)} \] haben die Eigenschaft -$k_i(z_j)=\delta_{ij}$. +$k_i(z_j)=\delta_{i\!j}$. Damit lässt sich jetzt ein Polynom \[ p(z) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z)}{l_j(z_j)} @@ -126,7 +126,7 @@ p(z_i) = \sum_{j=0}^n f(z_j) \frac{l_j(z_i)}{l_j(z_j)} = -\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{ij} +\sum_{j=0}^n f(z_j) \delta_{i\!j} = f_(z_i) \] @@ -699,15 +699,15 @@ Sei $A$ eine obere Dreiecksmatrix, das Argument für eine untere Dreiecksmatrix funktioniert gleich. Wir berechnen ein Diagonalelement für beide Produkte $AA^*$ und $A^*A$. Dazu brauchen wir die Matrixelemente von $A$ und $A^*$. -Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{ij}$, dann hat $A^*$ -die Matrixelemente $(A^*)_{ij}=\overline{a}_{ji}$. +Bezeichnen wir die Matrixelemente von $A$ mit $a_{i\!j}$, dann hat $A^*$ +die Matrixelemente $(A^*)_{i\!j}=\overline{a}_{ji}$. Damit kann man die Diagonalelemente der Produkte als \begin{align*} (AA^*)_{ii} &= -\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a}_{ij} +\sum_{j=1}^n a_{i\!j}\overline{a}_{i\!j} = -\sum_{j=i}^n |a_{ij}|^2 +\sum_{j=i}^n |a_{i\!j}|^2 \\ (A^*A)_{ii} &= |