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diff --git a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex index 1245b84..f027932 100644 --- a/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex +++ b/buch/chapters/70-graphen/beschreibung.tex @@ -350,9 +350,9 @@ $A$ hat also die Matrixelemente a_{ik} = \begin{cases} --1&\qquad $i=a(k)\\ -+1&\qquad $i=e(k)\\ -0&\qquad\text{sonst} +-1&\qquad i=a(k)\\ ++1&\qquad i=e(k)\\ +\phantom{+}0&\qquad\text{sonst} \end{cases} \label{buch:eqn:ajazenz-matrix} \end{equation} @@ -364,5 +364,15 @@ Für $H$ drückt ein nicht verschwindendes Matrixelement das Vorhandensein einer Kante aus, in $A$ ist es die Tatsache, dass in diesem Knoten eine Kante endet. +Es ist natürlich möglich, aus der Adjazenz-Matrix auch die Link-Matrix +zu rekonstruieren. +Dazu muss für jedes Paar $(j,i)$ von Knoten festgestellt werden, +ob die Adjazenzmatrix eine entsprechende Verbindung enthält, also ob der +Vektor +\[ +k_{ji} = e_i - e_j +\] +als Spaltenvektor vorkommt, wobei die $e_i$ die $n$-dimensionalen +Standardbasisvektoren sind. diff --git a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex index 68c1954..34beae2 100644 --- a/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex +++ b/buch/chapters/80-wahrscheinlichkeit/google.tex @@ -7,3 +7,426 @@ \label{buch:section:google-matrix}} \rhead{Google-Matrix} +% +% Ein Modell für Webseitenbesucher +% +\subsection{Ein Modell für Webseitenbesucher +\label{buch:subsection:modell-fuer-webseitenbesucher}} +\begin{figure} +\centering +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\foreach \x in {0,3,6,9}{ + \foreach \y in {0,3}{ + \fill[color=white] ({\x},{\y}) circle[radius=0.3]; + \draw ({\x},{\y}) circle[radius=0.3]; + } +} +\node at (0,3) {$1$}; +\node at (0,0) {$2$}; +\node at (3,3) {$3$}; +\node at (3,0) {$4$}; +\node at (6,3) {$5$}; +\node at (6,0) {$6$}; +\node at (9,3) {$7$}; +\node at (9,0) {$8$}; +% 1 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (3,3); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,3) -- (0,0); +% 2 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (0,0) to[out=-20,in=-160] (3,0); +% 3 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (6,3); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,3) -- (0,0); +% 4 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,3); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) -- (6,0); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (3,0) to[out=160,in=20] (0,0); +% 5 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,3); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (9,0); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,3) -- (6,0); +% 6 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (6,0) to[out=20,in=160] (9,0); +% 7 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) .. controls (7.5,4) .. (6,4) -- (3,4) .. controls (1.5,4) .. (0,3); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,3) to[out=-110,in=110] (9,0); +% 8 +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=-160,in=-20] (6,0); +\draw[->,shorten >= 0.3cm, shorten <= 0.3cm] (9,0) to[out=70,in=-70] (9,3); +\end{tikzpicture} +\caption{Modell-Internet als Beispiel für die Link-Matrix und die Google-Matrix. +\label{buch:figure:modellinternet}} +\end{figure} +Das Internet besteht aus einer grossen Zahl von Websites, etwa 400~Millionen +aktiven Websites, jede besteht aus vielen einzelnen Seiten. +Es ist daher angemessen von $N\approx 10^9$ verschiedenen Seiten auszugehen. +Eine natürliche Sprache umfasst dagegen nur einige 100000 bis Millionen +von Wörtern. +Ein durchschnittlicher Sprecher englischer Muttersprache verwendet nur etwa +50000 Wörter. +Die Zahl der Wörter, die auf den $N$ Seiten vorkommen können, ist also +viel kleiner als die Zahl der zur Verfügung stehenden Wörter. +Ein einzelnes Wort wird daher notwendigerweise auf einer grossen Zahl +von Seiten vorkommen. +Eine Suche nach einem bestimmten Wort wird also in der überwiegenden Zahl +der Fälle derart viele Treffer zurückgeben, dass das Suchresultat +nur dann nützlich sein kann, wenn eine zusätzliche Informationsquelle +ermöglicht, die Treffer in eine sinnvolle Ordnung zu bringem. + +Genau dieses Problem stellte sich den vielen traditionellen Suchmaschienen +in der ersten grossen Boomphase des Internets. +Traditionelle Informatione-Retrieval-Systeme operieren auf einem relativ +kleinen Dokumentbestand und gehen davon aus, dass bereits wenige, spezifische +Wörter nur in einem kleinen Teil des Dokumentbestandes vorkommen und damit +eine übersichtliche Treffermenge ergeben. +Die Einengung der Treffermenge dank der Suche nach spezifischer Menge +bedeutet aber auch, dass nach Synonymen oder alternative Formen eines +Wortes separat gesucht werden muss, was die Übersichtlichkeit wieder +zerstört. + +Das kombinierte Vorkommen von Wörtern oder Begriffen alleine kann also +nicht ausreichen, um die Seiten zum Beispiel einem Fachgebiet zuzuordnen. +Dazu muss eine externe Informationsquelle angezapft werden. +Bei traditionellen Dokumenten liefert der Kontext, in dem ein +Dokument erfasst wurde, solche ergänzenden Informationen. +Eine Publikation in einem Fachjournal ordnet einen Text einem Fachgebiet zu. +Im World-Wide-Web liefert die Link-Struktur diesen Kontext. +Dokumente zu ähnlichen Themen werden bevorzugt untereinander verlinkt +sein. + +Gesucht ist jetzt also ein Modell, welches objektiv die Linkstruktur +bewertet und daraus eine Rangordnung der passenden Wörter ableitet. +Die Linkstruktur kann natürlich als gerichteter Graph betrachtet und +mit Hilfe der Matrix~\eqref{buch:graphen:eqn:linkmatrix} +beschrieben werden. +Dies trägt jedoch der Anzahl der Wahlmöglichkeiten nicht Rechnung. +Eine Website mit nur einem Link auf die Seite $j$ hat mehr Gewicht +als eine Seite mit vielen Links, unter denen der Link auf die Seite $j$ +einer von vielen ist. +Im Beispiel-Inter der Abbildung~\ref{buch:figure:modellinternet} +signalisiert die Seite $t$ mit nur einem Link auf die Seite $8$ +viel deutlicher, dass $8$ eine wichtige Seite ist, also die die +Seite $5$ tut, die auch noch zwei andere Links enthält. +Wir können diesen Unterschied berücksichtigen, indem wir zu einem +Wahrscheinlichkeitsmodell übergehen, was wir im folgenden Abschnitt +tun werden. + + +% +% Wahrscheinlichkeitsinterpretation +% +\subsection{Wahrscheinlichkeitsinterpretation +\label{buch:subsection:wahrscheinlichkeitsinterpretation}} +Ein Internetbesucher kann eine grosse Zahl von Seiten besuchen. +In diesem Abschnitt soll ein Modell entwickelt werden, welches die +Wahrscheinlichkeit zu ermitteln gestattet, dass der Besucher auf +einer bestimmten Seite landet. + +\subsubsection{Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten} +Wir bezeichnen mit $S_i$ das Ereignis, dass sich der Besucher auf +der Seite mit der Nummer $i$ befindet, wobei $i=1,\dots,N$. +Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(S_i)$. +Ohne weitere Information müssten wir davon ausgehen, dass jede Seite +etwa gleich wahrscheinlich ist, dass also $P(S_i) = 1/N$. + +Wir wissen jedoch mehr. +Wir wissen, dass der Besucher die verschiedenen Seiten zu einem guten +Teil dadurch findet, dass er Links folgt. +Die Wahrscheinlichkeit $P(S_i)$ verändert sich also, wenn die Zahl der +Links ansteigt, die auf die Seite $i$ verweisen. +Zur Beschreibung dieses Phänomens brauchen wir die zusätzliche Ereignisse +$S_i'$, die mit Wahrscheinlichkeit $P(S'_i)$ eintreten, wenn sich der +Besucher nach Navigation entlang eines Links auf der Seite $i$ befindet. + +Wir nehmen jetzt zusätzlich an, dass eine grosse Zahl von Besuchern über +lange Zeit ungefähr nach den gleichen Dingen suchen und sich daher +auf die gleiche Weise auf den verschiedenen Seiten verteilen und dass +insbesondere die Verteilung stationär ist, dass also $P(S_i) = P(S'_i)$ +gilt. +Suchmaschinen wie Google gehen davon aus, dass alle Besucher ungefähr +die gleichen Suchprioritäten haben, so dass es sich lohnt, die Suchresultate +nach der Wahrscheinlichkeit $P(S_i)$ zu ordnen und dem Suchenden die +wahrscheinlichsten Dokumente als erste zu zeigen. + +\subsubsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit} +Um einen Zusammenhang zwischen $P(S_i)$ und $P(S'_j)$ herzustellen, muss +die Navigation entlang der Links modelliert werden. +Die naheliegende Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist die bedingte +Wahrscheinlichkeit $P(S'_j|S_i)$ dass der Besucher auf der Seite $j$ +landet, nachdem er auf der Seite $i$ die Linknavigation verwendet hat. +Wenn es keinen Link zwischen den Seiten $i$ und $j$ gibt, dann ist diese +Navigation natürlich nicht möglich und es folgt $P(S'_j|S_i)=0$. +Falls es einen Link gibt, ist $P(S'_j|S_i)\ge 0$. + +A priori wissen wir nicht, wie wahrscheinlich es ist, dass der Besucher +dem Link auf die Seite $j$ folgt, normalerweise werden nicht alle +Links mit gleicher Wahrscheinlichkeit verwendet. +Wir nehmen daher zusätzlich an, dass alle Links gleich wahrscheinlich +sind. +Die Seite $i$ enthält $n_i$ Links, also ist die Wahrscheinlichkeit, +auf einer von $i$ aus verlinkten Seite $j$ zu landen $P(S'_j|S_i) = 1/n_i$. + +\subsubsection{Totale Wahrscheinlichkeit} +Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht, einen Zusammenhang +\index{totale Wahrscheinlichkeit}% +\index{Wahrscheinlichkeit!totale}% +zwischen $P(S'_j)$ und $P(S_i)$ herzustellen. +Es gilt +\begin{equation} +P(S'_j) += +P(S'j|S_1) P(S_1) ++ +P(S'j|S_2) P(S_2) ++ +\dots ++ +P(S'j|S_N) P(S_N). +\label{buch:google:eqn:totalewahrscheinlichkeit} +\end{equation} +Dies kann in Matrix- und Vektorform übersichtlicher geschrieben werden. +Dazu fassen wir die Wahrscheinlichkeiten $p'_j=P(S'_j)$ und $p_i=P(S_i)$ +also Vektoren +\[ +p += +\begin{pmatrix} +P(S_1)\\ +P(S_2)\\ +\vdots\\ +P(S_N) +\end{pmatrix} +\qquad +\text{und} +\qquad +p' += +\begin{pmatrix} +P(S'_1)\\ +P(S'_2)\\ +\vdots\\ +P(S'_N) +\end{pmatrix} +\] +zusammen. +Die bedingten Wahrscheinlichkeiten $h_{ji}=P(S'_j|S_i)$ sind mit zwei Indizes +beschrieben, sie bilden daher in natürlicher Weise eine Matrix +\[ +H += +\begin{pmatrix} +P(S'_1|S_1)&P(S'_1|S_2)&\dots &P(S'_1|S_N)\\ +P(S'_2|S_1)&P(S'_2|S_2)&\dots &P(S'_2|S_N)\\ +\vdots &\vdots &\ddots&\vdots \\ +P(S'_N|S_1)&P(S'_N|S_2)&\dots &P(S'_N|S_N) +\end{pmatrix}. +\] +Die Formel~\eqref{buch:google:eqn:totalewahrscheinlichkeit} wird dann zur +Formel für das Produkt Matrix mal Vektor: +\[ +(Hp)_j += +\sum_{i=1}^N h_{ji} p_i += +\sum_{i=1}^N P(S'_j|S_i) P(S_i) += +p'_j +\qquad\Rightarrow\qquad +Hp=p'. +\] +Die Matrix $H$ modelliert also die Wahrscheinlichkeit der Navigation +entlang eines Links. + +\begin{beispiel} +Für das Beispiel-Internet von Abbildung~\ref{buch:figure:modellinternet} +ist die zugehörige Matrix +\[ +H = +\begin{pmatrix} + 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0&\frac12& 0 \\ +\frac12& 0&\frac12&\frac13& 0 & 0& 0 & 0 \\ +\frac12& 0& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 \\ + 0 & 1& 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0 \\ + 0 & 0&\frac12&\frac13& 0 & 0& 0 & 0 \\ + 0 & 0& 0 &\frac13&\frac13& 0& 0 &\frac12\\ + 0 & 0& 0 & 0 &\frac13& 0& 0 &\frac12\\ + 0 & 0& 0 & 0 &\frac13& 1&\frac12& 0 +\end{pmatrix}. +\qedhere +\] +\end{beispiel} + +% +% Freier Wille +% +\subsection{``Freier Wille'' +\label{buch:subsection:freier-wille}} +Das Modell in +Abschnitt~\eqref{buch:subsection:wahrscheinlichkeitsinterpretation} +beschriebene Modell geht unter anderem davon aus, dass der Benutzer +ausschliesslich die Navigation entlang der Links verwendet. +Natürlich gibt es viele weitere Wege, auf denen ein Besucher auf einer +bestimmten Seite landen kann. +Er kann zum Beispiel einen Link auf eine Seite per Email zugesandt +erhalten haben. +Ein solcher Link ist nicht enthalten in einer öffentlich zugänglichen +Seite des Internets und wird daher auch von der Matrix $H$ nicht +erfasst. +Eine weitere wichtige Quelle von Links sind dynamisch erzeugte Links +wie zum Beispiel die Suchresultate einer Suchmaschine. +Hier entsteht die Möglichkeit, dass die erfolgreiche Suchmaschine, +die ihre Suchresultate unter Zuhilfenahme der Matrix $H$ sortiert, +ihr eigenes Modell, auf dem ihr Erfolg basiert, torpediert. + +\subsubsection{Erweiterung der Link-Matrix} +Wir bezeichnen das Ereignis, dass der Benutzer nicht die Link-Navigation +verwendet mit $F$ für ``freier Wille'', obwohl es so etwas natürlich nicht +gibt. +Die Wahrscheinlichkeit, auf der Seite $S'_j$ zu landen, setzt sich jetzt +aus den zwei Fällen $F$ und $\overline{F}$ zusammen, für die erneut der +Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit den Zusammenhang +\[ +P(S'_j) += +P(S'_j|\overline{F}) P(\overline{F}) ++ +P(S'_j|F) P(F) +\] +Die Wahrscheinlichkeit $\alpha = P(F)$, mit der der Benutzer den +``freiene Willen'' bemüht, kann experimentell durch Studien ermittelt +werden, die das Benutzerverhalten beobachten. + +Die Wahrscheinlichkeit $P(S'_j|\overline{F})$ entsteht dadurch, dass +der Benutzer der Linknavigation folgt, sie entspricht also der früher +berechnenten Wahrscheinlichkeit +\[ +P(S'_j|\overline{F}) = \sum_{i=1}^N P(S'_j|S_i) P(S_i). +\] +oder in Vektorform +\[ +(P(S'_j|\overline{F}))_j += +Hp. +\] + +Über die spontane Besuchswahrscheinlichkeit $P(S'_j|F)$ wissen wir +nichts. +Eine erste Annahme könnte sein, dass jede Seite gleich wahrscheinlich +ist, dass also $P(S'_j|F)=1/N$. +Alternativ könnte man auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung +$q_j = P(S'_j|F)$ experimentell zu ermitteln versuchen. +Unter der Annahme, dass alle Seitenbesuche im Falle $F$ auf Grund +eines Sucheresultats einer Suchmaschine erfolgen, könnte die +Suchmaschine den Vektor $q$ aus ihrer eigenen Suchstatistik ermitteln. + +Das erweiterte Modell kann also durch +\begin{equation} +P(S'_j) += +\sum_{i=1}^N +\alpha P(S'_j|S_i) P(S_i) ++ +(1-\alpha) q_j +\qquad\Rightarrow\qquad +p' += +\alpha Hp ++ +(1-\alpha)q +\label{buch:google:eqn:composed} +\end{equation} +beschrieben werden. + +\subsubsection{Die Google-Matrix} +Die Formel~\eqref{buch:google:eqn:composed} erlaubt, die Wahrscheinlichkeit +$p'$ aus $p$ und $q$ zu berechnen. +Für die Ermittlung der der stationären Verteilung war jedoch die Form +$p=Hp$ besonders nützlich, weil sie das Problem in ein Eigenwertproblem +mit einem bekanntem Eigenwert verwandelt. +Wir streben daher an, die Formel~\eqref{buch:google:eqn:composed} +ebenfalls in die Form $p=Gp$ mit einer neuen Matrix $G$ zu bringen. + +Die Matrixform von +\label{buch:google:eqn:composed} +zeigt, dass sich die gesuchte Matrix $G$ zusammensetzt aus dem Summanden +$\alpha H$ und einem weiteren Summanden $A$ mit der Eigenschaft, dass +$Ap = q$ für jeden beliebigen Wahrscheinlichkeitsvektor $p$. +Da sich die Wahrscheinlichkeiten im Vektor $p$ zu $1$ summieren, gilt +\[ +\underbrace{ +\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +}_{\displaystyle = u^t} +\begin{pmatrix} +P(S_1)\\ +P(S_2)\\ +\vdots\\ +P(S_N) +\end{pmatrix} += +P(S_1)+P(S_2)+\dots+P(S_N)=1. +\] +Man erhält also die Wirkung der gewünschte Matrix $A$, indem man $p$ +erst mit dem Zeilenvektor $u^t$ und das Resultat mit $q$ multipliziert. +Es gilt daher +\[ +Ap = qu^tp +\qquad\Rightarrow\qquad +A=qu^t. +\] +Ausmultipliziert ist dies die Matrix +\[ +A=\begin{pmatrix} +q_1&q_1&\dots&q_1\\ +q_2&q_2&\dots&q_2\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +q_N&q_N&\dots&q_N +\end{pmatrix}. +\] +Im Fall $q=\frac1Nu$ kann dies zu +\[ +A += +\frac1N uu^t += +\frac1N +\begin{pmatrix} +1&1&\dots&1\\ +1&1&\dots&1\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +1&1&\dots&1 +\end{pmatrix} +\] +vereinfacht werden. + +\begin{definition} +Die Matrix +\[ +G += +\alpha H ++ +\frac{1-\alpha}{N} +uu^t +\qquad\text{oder}\qquad +G += +\alpha H ++ +(1-\alpha)qu^t +\] +heisst die +{\em Google-Matrix}. +\index{Google-Matrix}% +\end{definition} + + +% +% Bestimmung der zu erwartenden stationären Verteilung +% +\subsection{Wahrscheinlichkeitsverteilung +\label{buch:subsection:wahrscheinlichkeitsverteilung}} +\subsubsection{Stationäre Verteilung} +\subsubsection{Potenzverfahren} + |