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diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex new file mode 100644 index 0000000..88a5789 --- /dev/null +++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex @@ -0,0 +1,71 @@ +\section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}} +\rhead{Vektoroperationen} +\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}} +Vektoren können neben der üblichen Darstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren dargestellt werden +\begin{equation} + \begin{split} + \textbf{a} + &= + \begin{pmatrix} + a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n + \end{pmatrix} + = + a_1 \begin{pmatrix} + 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 + \end{pmatrix} + + + a_2\begin{pmatrix} + 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 + \end{pmatrix} + \dots + + + a_n\begin{pmatrix} + 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 + \end{pmatrix} \\\ + &= + a_1\textbf{e}_1 + + + a_2\textbf{e}_2 + + + \dots + a_n\textbf{e}_n + = + \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i + \qquad + a_i \in \mathbb{R} + , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n. + \end{split} +\end{equation} +Diese Basisvektoren sollen orthonormal sein und um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, ...$ ersetzt. +\begin{beispiel} +Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ + \begin{equation} + \begin{pmatrix} + 42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4 + \end{pmatrix} + = + 42 \begin{pmatrix} + 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 + \end{pmatrix} + + + 2 \begin{pmatrix} + 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 + \end{pmatrix} + + + 1291 + \begin{pmatrix} + 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 + \end{pmatrix} + + + 4 \begin{pmatrix} + 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 + \end{pmatrix} + = + 42\textbf{e}_1 + + + 2\textbf{e}_2 + + + 1291\textbf{e}_3 + + + 4\textbf{e}_4 + \end{equation} +\end{beispiel} +Wobei Beispiel für einen vier dimensionalen Vektor ist, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden.
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