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diff --git a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex index ac00a33..0bec4b6 100644 --- a/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex +++ b/buch/papers/clifford/1_Vektordarstellung.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Vektoroperationen\label{clifford:section:Vektoroperationen}} \rhead{Vektoroperationen} -\subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}} +Das grundsätzliche Ziel der geometrischen Algebra ist, die lineare Algebra zu einer Algebra mit Multiplikation zu erweitern und dieses Produkt dann geometrisch interpretieren, um geometrische Probleme lösen zu können. + \subsection{Vektordarstellung\label{clifford:section:Vektordarstellung}} Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombination aus Basisvektoren -\begin{equation} - \begin{split} +\begin{align*} \textbf{a} &= \begin{pmatrix} @@ -20,7 +20,8 @@ Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombinat + a_n\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 - \end{pmatrix} \\\ + \end{pmatrix},\\ +\intertext{oder auch als} &= a_1\textbf{e}_1 + @@ -29,17 +30,15 @@ Vektoren können neben der üblichen Spaltendarstellung, auch als Linearkombinat \dots + a_n\textbf{e}_n = \sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i - \qquad + \quad a_i \in \mathbb{R} , \textbf{e}_i \in \mathbb{R}^n - \end{split} -\end{equation} +\end{align*} dargestellt werden. -Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormal sind. -Um die Darstellung zu vereinfachen werden sie durch $\textbf{e}_1 , \textbf{e}_2, \dots$ ersetzt. +Diese Basisvektoren werden so gewählt, dass sie orthonormiert sind. \begin{beispiel} Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aussehen - \begin{equation} + \begin{equation*} \begin{pmatrix} 42 \\ 2 \\ 1291 \\ 4 \end{pmatrix} @@ -68,6 +67,6 @@ Eine Linearkombination von Basisvektoren in $\mathbb{R}^4$ könnte wie folgt aus 1291\textbf{e}_3 + 4\textbf{e}_4. - \end{equation} -Dieses Beispiel ist für einen vier dimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. + \end{equation*} +Dieses Beispiel ist für einen vierdimensionalen Vektor, dies kann selbstverständlich für beliebig viele Dimensionen nach demselben Schema erweitert werden. \end{beispiel} |