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diff --git a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex index a19e983..f18b90d 100644 --- a/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex +++ b/buch/papers/clifford/4_GeometrischesProdukt.tex @@ -12,9 +12,9 @@ Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektor M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right) \end{equation} \end{definition} -Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $\mathbb{G}^n$ beschrieben. +Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt. \begin{beispiel} -Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$ +Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$ \begin{equation} M = a + @@ -26,34 +26,30 @@ Allgemeiner Multivektor in $\mathbb{G}^3$ \end{equation} \end{beispiel} \begin{definition} -Um das Produkt von Basisvektoren in Zukunft darzustellen wird folgende Notation definiert +Für das Produkt von Basisvektoren wird folgende Notation definiert \begin{equation} - e_ie_j = e_{ij} + e_ie_j = e_{ij}. \end{equation} \end{definition} -Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $\mathbb{G}^n$ erstellt werden. In \ref{tab:multip} ist dies für $\mathbb{G}^3$ gemacht. +Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für $G_3(\mathbb{R})$ gemacht. \begin{table} - \caption{Multiplikationstabelle für $\mathbb{G^3}$} \label{tab:multip} \begin{center} - \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| } + \begin{tabular}{ |c|ccc|ccc|c| } \hline 1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\ \hline $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\ - \hline $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\ - \hline $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\ \hline $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$\\ - \hline $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{2}$\\ - \hline $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\ \hline $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\ \hline \end{tabular} \end{center} + \caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$} \end{table} |