1 files changed, 24 insertions, 9 deletions
diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
index 80fb49f..436659f 100644
--- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -3,27 +3,42 @@ Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme
 \begin{equation}
     \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
 \end{equation}
-beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
-\newline
-Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.
+
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term
 \begin{equation}
     \textbf{u} \wedge \textbf{v}
     = 
+    \sum_{i<j}
     \begin{vmatrix} 
         u_i & v_i \\
         u_j & v_j
     \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
     = 
-    \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{b}_1\textbf{b}_2
 \end{equation}
-Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
-Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+beschreiben.
+Die Fläche des Parallelogramms liegt dabei auf der von $\textbf{b}_1$ und $\textbf{b}_2$ aufgespannten Ebene.
+
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
 \begin{equation}
     \textbf{u}\textbf{v}
     = 
     |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)} 
     + 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{b}_1\textbf{b}_2
     = 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
-\end{equation}
-\ No newline at end of file
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{b}_1\textbf{b}_2)
+\end{equation}
+vereinen.
+Daraus kann geschlussfolgert werden, dass
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=-\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u}\perp \textbf{v} 
+	\label{uperpv}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u} \parallel \textbf{v} 
+	\label{uparallelv}
+\end{equation}
+gilt.
+\ No newline at end of file