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diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf Binary files differindex bee3bc0..5e4afdf 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex index 44319c3..2441766 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.tex @@ -1,13 +1,12 @@ \documentclass{standalone} \usepackage{pgfplots} - +\usepackage{txfonts} \pgfplotsset{compat = newest} \begin{document} - -\begin{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \begin{axis}[ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf Binary files differindex e86a403..b86023f 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex index 85455ef..032d6de 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.tex @@ -1,13 +1,12 @@ \documentclass{standalone} \usepackage{pgfplots} - +\usepackage{txfonts} \pgfplotsset{compat = newest} \begin{document} - -\begin{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] \begin{axis}[ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex new file mode 100644 index 0000000..9f5d092 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -0,0 +1,202 @@ +\section{Kalman-Filter} +\subsection{Was ist ein Erdbeben?} +Für das Verständnis möchten wir zuerst erklären, was ein Erdbeben genau ist. +Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Problemstellung herzustellen. + + +Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers. +Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren. +Aufgrund dieser Haftreibung entstehen Spannungen, die sich immer mehr bis zum Tipping Point aufbauen. +Irgendwann ist der Punkt erreicht, in dem die Scherfestigkeit der Gesteine überwunden wird. +Wenn dies passiert, entlädt sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen. + +Ein Erdbeben breitet sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus. +Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten. + +Wir möchten nun mittels Kalman-Filter die Erdbebenbeschleunigung herausfinden. +Die Erdbebenbeschleunigung ist in der Praxis zur Entwicklung von Erdbebengefährdungskarten, sowie der Ausarbeitung von Baunormen für erdbebengerechte Bauweise von Bedeutung. + + +\subsection{Künstliche Erdbebendaten} +Nun möchten wir anhand eines eigenen Beispiels das Kalman-Filter anwenden. +Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben, müssen wir künstliche Daten erzeugen, um sie in das Filter einzugeben und somit den Prozess starten. +Dafür nehmen wir die Formel für harmonisch gedämpfte Schwingungen, die + +\begin{equation} + y = A \sin(\omega t e^{-lambda t}) +\end{equation} + +lautet. + +A ist die Amplitude der Schwingung und beschreibt die Heftigkeit eines Erdbebens, die Magnitude. +Omega repräsentiert die Erdbebenfrequenz, die in der Realität zwischen 1 Hz und 30 Hz beträgt. +Wir wählen als Erwartungswert 15 Herz und für die Standardabweichung 1 Hz. +Lambda ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen. +Wir haben diese Zahl aus der Literatur entnommen, denn sie ist für das Bauwesen bedeutend. +Lambda ist ein Materialparameter von Böden. + +Je grösser Lambda gewählt wird, desto stärker wirkt die Dämpfung der Massenschwingung. +Die Funktion ist zeitabhängig und wir lassen pro Sekunde zehn Messwerte generieren. + +Die Frequenz basiert auf einer random-Funktion, da wir das Erdbeben unberechenbar gestalten möchten. +Mit dem Golay-Filter können wir hohe Frequenz-Anteile in die Berechnung mit einfliessen lassen, anstatt sie abzuschneiden. +Die Bildung eines üblichen Mittelwerts wäre hier weniger geeignet. + +\begin{lstlisting} +freq = sgolayfilt(randn(size(Time)),0,11)*freqstd... ++freqmean; +\end{lstlisting} + +Mit der Frequenz erhalten wir die Winkelbeschleunigung und damit können wir die Amplitude berechnen. + + +\begin{lstlisting} +w = 2 * pi * freq; +a = Amplitude*sin(cumsum(w.*[0;diff(Time)])).*exp(-lambda*Time); +\end{lstlisting} + +Mit der Matlab-Funktion ode45 haben wir eine Funktion gefunden, um die Differentialgleichung aufzulösen. ode45 basiert auf dem Runge-Kutta-Verfahren, einem Einschrittverfahren, bei dem die Lösung ausgehend von einem gegebenen Anfangswert, in einer Näherung gesucht wird. + +\begin{lstlisting} +[T,Y] = ode45(@(t,x)ErzeugteSchwingung(t,x,m,k,d,a,Time),[0 tend], IC, SolverOptions); +\end{lstlisting} + +Grafik einfügen + +In der Grafik erkennen wir in den Sekunden 0 bis 10, dass die Sinuskurve gezackt ist. +Das deutet darauf hin, dass die Frequenz des Erdbebens einen hohen Einfluss auf die Masse des Seismographen hat. +Ab der 10. Sekunde bis zu tend, pendelt sich die Masse in ihre Eigenfrequenz ein und verhält sich unabhängiger vom Erdbeben. + +\subsection{Versuch (bin noch dran)} + +Um den Kalman-Filter auszuprobieren, setzen wir nun Werte ein. +Für die Systemparameter wählen wir m=1.0, D = 0.3 und k = 0.1 und fügen es in die Differentialgleichung + +\begin{equation} + m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f +\end{equation} + +ein und erhalten + +\begin{equation} + 1\ddot x + 0.1 \dot x + 0.3x = f +\end{equation} + +\subsection{Matlab Code} + + +\begin{lstlisting} + %% Initialisierte Werte + t0 = 0.00; % Anfangszeit + deltat = 0.01; % Zeitschritt + tend = 50.00; % Endzeit +\end{lstlisting} +Ein natürliches Erdbeben dauert zwischen wenigen Sekunden bis etwa eine Minute an. +50 Sekunden genügen für unsere Daten. +Pro Sekunde erhalten wir 100 Messpunkte, die für den Prozess des Filters eine präzise Anwendung ermöglichen. + +\begin{lstlisting} + % Standard-Abweichungen Prozess + sigmax = 0.05e-3; % Position + sigmav = 0.01e-3; % Geschwindigkeit + sigmaf = 1; % (Äussere) Kraft + + % Standard-Abweichung Messung + sigmam = 0.01e-3; +\end{lstlisting} + +Wir vertrauen dem System und geben kleine Standardabweichungen für die Position, Geschwindigkeit und Kraft ein. +Bei der Messung erwarten wir auch, dass die Sensoren genau funktionieren. +Jedoch hängt das vom Hersteller ab oder muss statistisch ermittelt werden. + + +\begin{lstlisting} + % Systemparameter +m = 1.00; % Masse +D = 0.30; % Federkonstante +k = 0.10; % Dämpfung +\end{lstlisting} +Hier werden die Spezifikationen des Seismographen definiert. + +\begin{lstlisting} +%% Kalmanfilter +% Initialisierung + +% Anfangszustand (Position, Geschwindigkeit, Kraft) +x0 = [0; 0; 0]; + +% Unsicherheit des Anfangszustand +P0 = [0, 0, 0; ... +0, 0, 0; ... +0, 0, 0]; + +% Systemmatrizen +A = [0, 1, 0;... % Dynamikmatrix +-D/m, -2*k/m, 1;... +0, 0, 0]; % Ableitungen von f(t) unbekant. Annahme: 0 +A = expm(A * deltat); + +Q = [sigmax^2, 0, 0;... +0, sigmav^2, 0;... +0, 0, sigmaf^2]; % Prozessrauschen (Covarianz) + + +\begin{lstlisting} +% Messprozess +H = [1, 0, 0]; % Messmatrix +R = sigmam^2; % Messrauschen (Könnte durch Versuche bestimmt werden) +\end{lstlisting} +Tritt ein Erdbeben ein, wird die Position der Masse in die Messmatrix eingetragen. + + +I = eye(3); % Identity matrix (Einheitsmatrix) + +\begin{lstlisting} +% Filterprozess + +% Initialisieren der Variablen +N = length(t); % Anzahl Punkte im Einheitsvektor (= Anzahl Messwerte) +xhat = zeros(3, N); % Matrix mit geschätzten Zuständen + +% Index ':' bedeutet: 'alles' +% Index '(1, :)' bedeutet: 'alles aus der 1. Zeile' + +% Anfangszustand setzen +xhat(:, 1) = x0; +P = P0; +\end{lstlisting} + +\begin{lstlisting} + +% Kalman-Matrizen konvergiert. Vorab-Berechnung in 'genügenden' Iterationen +for idx = 1:100 +Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz +S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz +K = Ppred * H' / S; % Filter-Matrix (Kalman-Gain) +P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz +end +\end{lstlisting} + +In diesem Schritt wird die Kovarianz vorhergesagt, mit der Messung verglichen und nach jeder Berechnung aktualisiert. + +\begin{lstlisting} +% Anfangszustand gegeben +% Erster zu berechnender Wert ist der zweite +for idx = 2:N +% Vorhersage +xpred = A * xhat(:, idx-1); % Prädizierter Zustand aus Bisherigem und System +% Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz + +% Korrektur +y = xt(idx) - H * xpred; % Messungen/ Kraft aus System - Vohersage +% S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz +% K = Ppred * H' / S; + +xhat(:, idx) = xpred + K * y; % Aktualisieren des Systemzustands +% P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz +end +\end{lstlisting} + +\subsection{Resultate} +Grafik einfügen +Wir erkennen, dass wir mit dem Kalman-Filter eine gute Methode gefunden haben, die äussere Beschleunigung zu schätzen. Die Schätzung der nächsten Position der Federmasse liegt immer ziemlich nahe der tatsächlichen Messung. Man muss aber auch berücksichtigen, dass die Federschwingung ziemlich kontrolliert verläuft und das Kalman-Filter somit präzise Vorhersagen treffen kann. diff --git a/buch/papers/erdbeben/main.tex b/buch/papers/erdbeben/main.tex index 83ef295..4167475 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/main.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/main.tex @@ -3,34 +3,16 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:erdbeben}} -\lhead{Thema} +\chapter{Erdbebenmessung\label{chapter:erdbeben}} +\lhead{Erdbeben} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - +\chapterauthor{Lukas Zogg und +Fabio Veicelli} \input{papers/erdbeben/teil0.tex} \input{papers/erdbeben/teil1.tex} -\input{papers/erdbeben/teil2.tex} -\input{papers/erdbeben/teil3.tex} +%\input{papers/erdbeben/teil2.tex} +%\input{papers/erdbeben/teil3.tex} +\input{papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/erdbeben/references.bib b/buch/papers/erdbeben/references.bib index aef5de9..444c82d 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/references.bib +++ b/buch/papers/erdbeben/references.bib @@ -1,35 +1,57 @@ -% -% references.bib -- Bibliography file for the paper erdbeben -% -% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil -% +%% This BibTeX bibliography file was created using BibDesk. +%% https://bibdesk.sourceforge.io/ + +%% Created for lukas zogg at 2021-07-27 17:56:45 +0200 + + +%% Saved with string encoding Unicode (UTF-8) + + + +@article{erdbeben:aragher_understanding_2012, + author = {Faragher, Ramsey}, + date-added = {2021-07-17 16:44:00 +0200}, + date-modified = {2021-07-17 16:45:54 +0200}, + journal = {Signal Processing Magazine}, + month = {09}, + number = {5}, + pages = {128--132}, + title = {Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation}, + volume = {29}, + year = {2012}, + Bdsk-File-1 = {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}} + +@url{erdbeben:wikipedia, + author = {https://de.wikipedia.org/wiki/Kalman-Filter}, + date-added = {2021-07-17 16:42:22 +0200}, + date-modified = {2021-07-17 16:43:53 +0200}, + title = {Kalmanfilter}, + urldate = {2021-07-0}} @online{erdbeben:bibtex, + date = {2020-02-06}, + day = {6}, + month = {2}, title = {BibTeX}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} -} + Bdsk-Url-1 = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}} @book{erdbeben:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} -} + isbn = {978-8-8218-4788-6}, + publisher = {American Mathematical Society}, + title = {Numerical Analysis}, + volume = {2}, + year = {2002}} @article{erdbeben:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} -} - + author = {Tabea M{\'e}ndez and Andreas M{\"u}ller}, + journal = {Appl. Comput. Harmon. Anal.}, + pages = {607--627}, + title = {Noncommutative harmonic analysis and image registration}, + url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}, + volume = 47, + year = 2019, + Bdsk-Url-1 = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}} diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex index 6e89821..c985713 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil0.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil0.tex @@ -2,21 +2,100 @@ % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{erdbeben:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{erdbeben:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +%% +\section{Was ist ein Erdbeben? \label{erdbeben:section:teil0}} +\rhead{Erdbeben} +Für das Verständnis möchten wir zuerst erklären, was ein Erdbeben genau ist. +Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Problemstellung herzustellen. + +Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers. +Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren. +Diese Haftreibung durch die Steine wird so lange aufgebaut, bis sie nicht mehr gehalten werden kann. +Wenn dies passiert, entlädt sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen. +Ein Erdbeben breitet sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus. +Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten. + +\subsection{Funktion eines Seismograph} +Um ein Erdbeben kenntlich zu machen, werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. +Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, schwing das Gehäuse und dadurch auch die gekoppelte Masse. +Stoppt das Erdbeben, schwingt das Gehäuse nicht mehr. +Die Masse schwing jedoch in seiner Eigendynamik weiter. +Relativbewegung des Bodens kann damit als Auslenkung im Zeitverlauf gemessen werden. +In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen mit eine Gehäuse, an dem zwei Federn und eine Masse befestigt sind. +Der Seismograph ist in Abbildung ~\ref{erdbeben:Seismograph} ersichtlich. +Ein Sensor unter der Masse misst die Position, bzw. die Auslenkung der Feder und der Masse. +Dies bedeutet, unser Seismograph kann nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur} + \caption{Aufbau des Seismographen mit Gehäuse, Masse, Federn und Sensor} + \label{erdbeben:Seismograph} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Ziel} +Unser Seismograph misst nur die Position der Masse über die Zeit. +Wir wollen jedoch die Beschleunigung $a(t)$ des Boden, bzw. die Kraft $f(t)$, welche auf das Gehäuse wirkt, bestimmten. +Anhand dieser Beschleunigung, bzw. der Krafteinwirkung durch die Bodenbewegung, wird später das Bauwerk bemessen. +Dies bedeutet, die für uns interessante Grösse $f(t)$ wird nicht durch einen Sensor erfasst. +Jedoch können wir durch zweifaches ableiten der Positionsmessung $s(t)$ die Beschleunigung der Masse berechnen. +Das heisst: Die Messung ist zweifach Integriert die Kraft $f(t)$ inklusive der Eigendynamik der Masse. +Um die Krafteinwirkung der Masse zu berechnen, müssen wir Gleichungen für unser System finden. + +\subsection{Systemgleichung} +Im Paper~\cite{erdbeben:mendezmueller} wurde das System gleich definiert und vorgegangen. +Im Fall unseres Seismographen, handelt es sich um ein Feder-Masse-Pendel. +Dieser kann durch die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator beschrieben werden. +Die Gleichung lautet: +\begin{equation} +m\ddot s + 2k \dot s + Ds = f. +\end{equation} +wobei $m$ die Masse, $k$ die Dämpfungskonstante und $D$ die Federkonstante bezeichnet. +Da die Differentialgleichung linear ist, kann sie in die kompaktere und einfachere Matrix-Form umgewandelt werden. +Dazu verwenden wir die Subsitution: +\[
s_1 = s
\qquad \text{und} \qquad
s_2 = \dot s
.
\] +Somit entstehen die Gleichungen für die Position $ \dot s_1(t)$ der Masse : +\[ \dot {s_1} = {s_2}\] +und +\[ \dot s_2 = -\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] +für die Beschleunigung $\dot s_2(t)$ der Masse. +Diese können wir nun in der Form +\[ f =-\frac{D}{m} {s_1} -\frac{2k}{m} {s_2} + \frac{f} {m} \] +auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen. +Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. +Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen Systems. + +Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. +Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse (innere Beschleunigung) als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). +In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbebenanregung gleich kommt. +Dazu wird ein Zustandsvektor definiert: +\[ + \left(\begin{array}{c} {s_1} \\ {s_2} \\ {f} \end{array}\right). + \] +Durch Rücksubstituion ergibt sich uns folgende Systemgleichung in Matrix schreibweise, , wobei $\dot {s_1}= v$ ist: +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} s(t) \\ v(t) \\ f(t) \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ +0 & 0 & 0\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} s(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). +\end{equation} +Wir wissen nicht wie sich die Kraft verhält. +Deshalb treffen wir die Annahme, das sich die Kraft über die Beobachtungszeit nicht verändert. +Diese Annahme ist nicht zulässig, jedoch ist dies das beste, was wir Annehmen können. +Diese unzutreffende Annahme wird späteren Berechnungen berücksichtigen werden +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile mit Nullen gefüllt, denn genau diese Werte wollen wir. + + + + + + + + + diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex index 0d21f84..6c334bf 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex @@ -7,144 +7,111 @@ % teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% +%% -\section{Kalman Filter} -\subsection{Geschichte} -Das Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. +\rhead{Kalman-Filter} -\subsection{Wahrscheinlichkeit} -Das Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. +\section{Kalman-Filter} +Interessante Grösse ist also Integral von Überlagerung zweier Kräfte. +Wir brauchen also dir zweite Ableitung von der Messung , ohne deren Eigendynamik. +Da wir die äussere Kraft nicht direkt messen können, benötigen wir ein Werkzeug, welches aus der gemessenen Position, die Krafteinwirkung auf unsere System schätzt. +Dies ist eine typische Anwendung für das Kalman-Filter. +Unser Ziel ist es, anhand der Messung die eigentlich interessante Grösse $f$ zu bestimmen. +Dabei wird durch eine deterministische Vorhersage, in dem der Zustand * Eigendynamik des Systems gerechnet. +Die Idee dahinter ist, dass das Kalman-Filter die nicht-deterministische Grösse $f$ anhand der Messung und der Vorhersage zu bestimmen. +Für mehrere Dimensionen (x,y,z) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. +Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. +Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. +Einfachheitshalber beschränken wir uns auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen Punkte bereits aufgezeigt werden. +Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. +\subsection{Geschichte} +Das Kalman-Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. +Das Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. +Das Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand errechnen. Eine typische Anwendungen des Kalman-Filters ist Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern. Dies kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. +\subsection{Wahrscheinlichkeit} +Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen Normalverteilungen. +Dies bedeutet, das Filter schätzt nicht nur den Mittelwert, sondern auch die Standartabweichung. +Da Normalverteilungen dadurch vollständig definiert sind, schätzt ein Kalman-Filter die gesamte Verteilungsfunktion des Zustandes. +In der Abbildung~\ref{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} sind zwei Funktionen dargestellt. +Die eine Funktion zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normalverteilung. +Die andere Funktion zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normalverteilung. +Wie man am Beispiel der Gauss-Verteilungen in Abblidung~\ref{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand normalverteilt und haben dementsprechend unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$. Dies wird in~\cite{erdbeben:aragher_understanding_2012}beschrieben. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve2.pdf} - \caption{System} + \caption{Zwei Normalerteilungen; Die eine Funktion zeigt die Vorhersage, die andere die Messung} + \label{erdbeben: Zwei Normalverteilungen} \end{center} \end{figure} - - - -Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung. - +Wir haben eine Vorhersage aus der Systemdynamik und eine Messung des Zustandes. +Diese widersprechen sich im Allgemeinen. +Jedoch wissen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Aussagen. +Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen, wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen berechnet. +Nun wird eine Eigenschaft der Normalverteilung ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normalverteilungen entsteht eine neue Normalverteilung. Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: -\begin{equation} -{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} -\end{equation} -und für die Messung: - -\begin{equation} +\[ +{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} +\] +und der Messung: +\[ {y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. -\end{equation} - -Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: -\begin{equation} -{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,} -\end{equation} - -Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung. - - +\] +Diesen werden nun multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu normieren, $\odot$ beschreibt dabei die Multiplikation und die Normierung auf den Flächeninhalt eins : +\begin{align*}
{y_f}(x; {\mu_f}, {\sigma_f}) = {y_1}(x;{ \mu_1},{ \sigma_1}) \odot {y_2}(x; {\mu_2}, {\sigma_2}) + &= + \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \odot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\quad e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}} + \\ + &=
\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1} {y_2} dx}.
\end{align*} +Diese Kombination der beiden Verteilungen resultiert wiederum in einer Normalverteilung +mit Erwartungswert +\[ \mu_f = \frac{\mu_1\sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} \] +und Varianz +\[ +\sigma_f^2 = \frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}. +\] +Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. +Ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. +Somit ist $\mu_f$ ist das gewichtete Mittel der beiden $\mu_{1,2}$, und die Varianzen sind die Gewichte! +Die neue Funktion ist die best mögliche Schätzung für zwei Verteilungen, welche den selben Zustand beschreiben. +Dies ist in der Abbildung~\ref{erdbeben:Gauss3} anhand der rote Funktion ersichtlich. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Gausskurve3.pdf} - \caption{System} + \caption{Durch das Multiplizieren der blauen und der orangen Verteilung entsteht die die rote, optimale Funktion} + \label{erdbeben:Gauss3} \end{center} \end{figure} +Was in zwei Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. +Dieses Prinzip mach sich das Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. - -Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. - -\subsection{Anwendungsgrenzen} -Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig - - -\section{Aufbau} -Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. -Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse in der regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. -Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. - -\begin{figure} - \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{papers/erdbeben/Apperatur} - \caption{System} - \end{center} -\end{figure} - - -\subsection{Optionen} -Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! - -\section{Systemgleichung} -Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, wird eine Gleichung, welche das System beschreibt. Das Kalman-Filter benötigt eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: -\begin{equation} -m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f -\end{equation} -mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante. -Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: - - -\begin{equation} -{x_1}=x, \qquad -{x_2}=\dot x, \qquad -{x_3}=\ddot x\qquad \mid \quad \text {Substitution} -\end{equation} - - -\begin{equation} -m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung} -\end{equation} - -\begin{equation} -{x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \qquad \mid \quad \text {nach} \quad{x_3} -\end{equation} -auch als Matrix-Vektor-Gleichung schreiben. -Hierbei beschreibt die Matrix $A$ die gesamte Systemdynamik in der Form, wie sie ein Kalman-Filter benötigt. - -Um die lineare Differentialgleichung in das Kalman-Filter zu implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. - - -\begin{equation} -\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left( - \begin{array}{ccc} -0 & 1& 0 \\ -- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ -\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right). -\end{equation} - -Durch die Rücksubstituion ergibt sich: -\begin{equation} -\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( - \begin{array}{ccc} -0 & 1& 0 \\ -- \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ -\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). -\end{equation} - - -Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Zeile später mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. - -\section{Kalman Filter} -Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, wofür sie nützlich sind. - +\section{Filter-Matrizen} +Da wir nun ein Werkzeug besitzen, dass die Beschleunigung, welche auf das Gehäuse wirkt, ermitteln kann, wird dieses nun Schritt für Schritt erklärt. +Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. +In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter und Matrizen erklärt und erläutert, wofür sie nützlich sind. \subsection{Anfangsbedingungen} \subsubsection*{Anfangszustand $x$} -Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erföhrt die Apparatur keine äussere Kraft. - -\begin{equation} -{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) -\end{equation} +Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. +In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. +Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. +\[ {x_0 }= \left( \begin{array}{c} {s_0}\\ {v_0}\\{f_0}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) \] \subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$} -Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter einen Anfangsfehler eingeführt. Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen. -In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix +Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für das Filter ein Anfangsfehler verwendet. +Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen. +Zur Erinnerung: Die Varianz ist ein Mass für die Streuung eines Wertes, die Kovarianz hingegen beschreibt die Abhängigkeit der Streuungen zweier Werte. + +Kovarianz: Cov(x, y) und Varianz: Var(x) = Cov(x, x) -\begin{equation} +In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. +Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. +Als Initialwert für die Kovarianzmatrix ergibt sich +\[ {P_0 }= \left( \begin{array}{ccc} @@ -153,112 +120,174 @@ In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass da 0 & 0 &0 \\ \end{array} \right). -\end{equation} -Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt. Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert.. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln. - + \] +Diese Matrix beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Zustandes und wird sowohl für die Vorhersage als auch die Korrektur benötigt. +Sie wird nach jeder Schätzung aktualisiert. +Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte verwendet werden. +Grosse Werte ermöglichen dem Filter sich schnell einzupendeln. \subsubsection*{Dynamikmatrix $A$} -Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. -Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. -Die System Vektor-Gleichung lautet daher: - - -\begin{equation} +Das Kalman-Filter benötigt für die Vorhersage des nächsten Zustandes eine Beschreibung der Systemdynamik. +Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben bereits beschrieben. +Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. +Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, müssen wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. +Die System-Matrix lautet daher: +\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1& 0 \\ - \frac{D}{m} &-\frac{2k}{m} & \frac{1} {m}\\ 0 & 0& 0\\ \end{array}\right) -\end{equation} + \] +Dabei soll der Kalman-Filter in diskreten Zeitschritten $\Delta t$ arbeiten. +Die Übergangs-Matrix erhalten wir aus der Systemdynamikmatrix mittels Exponentialfunktion: +\[\Phi = \exp(A\Delta t). \] +Die Matrix $\Phi$ beschreibt die Übergänge zwischen zeitlich aufeinanderfolgenden Zuständen $x_{k-1}$ und $x_{k}$ \subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$} -Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Systemzustand verändert. Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. Für uns wäre dies: -\begin{equation} +Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie sich der Prozess verändert. +Kalman-Filter berücksichtigen Unsicherheiten wie Messfehler und -rauschen. +In der Matrix $Q$ geht es jedoch um die Unsicherheit, die der Prozess mit sich bringt. +Bei unserem Modell könnte das beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein oder auch die Ungenauigkeiten im Modell, wie die Annahme das dich die Kraft nicht ändert. +Für uns wäre dies: +\[ Q = \left( \begin{array}{ccc} -{\sigma_x }^2& 0& 0 \\ +{\sigma_s }^2& 0& 0 \\ 0 & {\sigma_v }^2& 0\\ 0 & 0& {\sigma_f }^2\\ \end{array}\right) -\end{equation} - -Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die Messung. + \] +Die Standabweichungen müssten statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. +Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt und nicht die der Messung. \subsubsection*{Messmatrix $H$} -Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. In unserem Fall ist es nur die Position der Massen. - -\[ H = (1, 0, 0) \] - +Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden. +$H$ ist die Gleichung die für die Vorhersage der Messung. +In unserem Falle ist es die Position der Massen. +\[ +H = (1, 0, 0) +\] \subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$} -Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist dies lediglich: -\begin{equation} -R= ({\sigma_x}^2). -\end{equation} -Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. - -\subsection{Fiter Algorithmus} -Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird den Zustand der Feder vorherzusagen, die Messung zu präzisieren und laufend zu aktualisieren. Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. - +Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name schon sagt, das Rauschen der Messung. +In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich: +\[ +R= ({\sigma_\mathrm{sensor}}^2). + \] +Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. +Für unsere theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt da heutige Sensoren sehr genau messen können. + +\subsection{Fiter-Agorithmus} +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird das Filter initialisiert. +Zuerst wird der nächste Zustand der Masse vorhergesagt, danach wird die Messung präzisiert und laufend aktualisiert. +Das Filter berechnet aufgrund der aktuellen Schätzung eine Vorhersage. +Diese wird, sobald verfügbar, mit der Messung verglichen. +Aus dieser Differenz und den Unsicherheiten des Prozesses ($Q$) und der Messung ($R$) wird der wahrscheinlichste, neue Zustand geschätzt. +Dabei muss genau auf den Index geachtet werden. Nach dem Artikel~\cite{erdbeben:wikipedia} ist die Indexierung so genormt: +Der Zeitschritt wird mit $k$ definiert, $k-1$ ist somit ein Zeitschritt vor $k$. +Auf der linken Seite von | wird der aktuelle Zustand verlangt, bzw. ausgegeben, auf der rechten Seiten den bisherigen Zustand. +Dies bedeutet, dass die Notation $x_{n|m}$ die Schätzung von $x$ zum Zeitpunkt $n$ bis und mit zur Zeitpunkt $m \leq \ n$ präsentiert. \subsubsection*{Vorhersage} -Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt: -\begin{equation} -{x_{t+1}}=A\cdot{x_t}. -\end{equation} - - -Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im Vorhersage grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung - -\begin{equation} -{P_{pred}}=APA^T+Q. -\end{equation} - -wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. +Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. +Dies funktioniert mit dem Rechenschritt: +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}. +\] +Die Kovarianz $P_{k|k-1}$ wird ebenfalls neu berechnet. Zudem kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. +Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. +Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung +\[ +{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}. +\] +Es vergeht genau $\Delta t$ Zeit, und dieser Vorgang wird wiederholt. +Das hochgestellte T bezeichnet die transponierte Matrix. +Dabei wird in den späteren Schritten überprüft, wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. +Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. +Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. \subsubsection*{Messen} -Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. -Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ -\begin{equation} -w=Z-(H\cdot x) -\end{equation} +Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für das Filter. +Die aktuellen Messwerte $z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. +Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ mit der Vorhersage multipliziert. +\[ +{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}. +\] Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. -Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. +Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau die Vorhersage den aktuellen Messwert mittels der Systemmatrix $\Phi$ beschreiben kann. +Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. +Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. +Innovation = Messung - Vorhersage. Dies leuchtet ein, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. - -\subsubsection*{Korrigieren} -Udpdate -\section{Anfügen der Schwingung} - -Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung. -Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort. -Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist. -Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen. - -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{erdbeben:equation1} -\end{equation} - -\section{Erreger-Schwingung} -Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird. -Die Gleichung lautet - -\begin{equation} -x(t)=Ae^{t/2}sin(t). -\end{equation} - -Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt. -Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert. - -Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten. - - - +Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. +\[ +{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}} +\] + +\subsubsection*{Aktualisieren} +Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit dazu. +\[{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}}\] +Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. +Das Kalman-Gain gibt dem Zustand die Gewichtung, bzw. wie die Vorhersage auf den Zustand passt. +Vereinfacht gesagt: Es wird das das Verhältnis zwischen der Unsicherheit der Vorhersage $P_k$ zu der zugehörigen Messunsicherheit $R_k$ gebildet. +In unserem Fall wird werden die Elemente der Kalman-Matrix vorweg berechnet, da das Kalman-Gain ohne Messungen auskommt. + +Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System aktualisiert. +\[ +{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}} +\] +Dabei wird der Unterschied zwischen dem erwarteten, errechneten, Zustand und dem gemessenen Zustand berechnet. + +Dazu kommt eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt: +\[ +{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} +\] +Der ganze Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k|k-1}}. +\] + +\subsection{Zusammenfassung } +Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. +Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$ + +1. Nächster Zustand vorhersagen +\[ +{x_{k|k-1}}=\Phi{x_{k-1|k-1}}= \exp(A\Delta t){x_{k-1|k-1}}. +\] + +2. Nächste Fehlerkovarianz vorhersagen +\[ +{P_{k|k-1}}=\Phi {P_{k-1|k-1}} {\Phi _{k}}^T + {Q_{k-1}}. +\] + +3. Zustand wird gemessen +\[ +{w_{k}}={z_{k}}-{H}{x_{k|k-1}}. +\] + +4. Innovation (= Messung - Vorhersage) +\[ +{S_{k}}={H}{P_{k|k-1}}{H}^T+{R_{k}} +\] + +5. Das Kalman Filter anwenden +\[ +{K_{k}}= {P_{k|k-1}} {H^T}{S_{k}^{-1}} +\] + +6. Schätzung aktualisieren +\[ +{x_{k|k}}={x_{k|k-1}}+{K_{k}}{w_{k}} +\] + +7. Fehlerkovarianz aktualisieren +\[ +{P_{k|k}}=(I-{K_{k}}{H}){P_{k|k-1}} +\] + +8. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet |