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Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. +Das Kalman-Filter schätzt den wahrscheinlichsten Wert zwischen zwei Normalverteilungen oder auch Gauss-Verteilung. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normalverteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normalverteilung. Wie man am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand verteilt und haben unterschiedliche Standardabweichungen $\sigma$ und Erwartungswerte $\mu$. @@ -43,10 +46,10 @@ und für die Messung: Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: \begin{equation} -{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,} +{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2} dx\,} \end{equation} -Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also Gewichtet und die best mögliche Schätzung. +Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. Sie ist also gewichtet und die best mögliche Schätzung. \begin{figure} @@ -59,14 +62,13 @@ Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. -\subsection{Anwendungsgrenzen} -Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig + \section{Aufbau} -Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. -Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse in der regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. -Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. +Um ein Erdbeben kenntlich zu machen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. +Ein Seismograph besteht im Grunde aus einer federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerät ein, bleibt die gekoppelte Masse stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman-Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein lineares Kalman-Filter implementiert werden. Da das Kalman-Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Für ein nicht-lineares System werden Extended Kalman-Filter benötigt, bei denen die System-Matrix (A) durch die Jacobi-Matrix des System ersetzt wird. Einfachheitshalber beschränken wir uns aber auf den linearen Fall, da dadurch die wesentlichen punkte bereits aufgezeigt werden. \begin{figure} \begin{center} @@ -76,36 +78,20 @@ Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein m \end{figure} -\subsection{Optionen} -Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! \section{Systemgleichung} -Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, wird eine Gleichung, welche das System beschreibt. Das Kalman-Filter benötigt eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: +Da das Kalman-Filter zum Schätzen des nächsten Zustand verwendet wird, benötigt das Kalman-Filter eine Beschreibung der Systemdynamik. Im Fall unseres Seismographen, kann die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer gedämpften Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: \begin{equation} m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f \end{equation} mit den Konstanten $m$ = Masse, $k$ = Dämpfungskonstante und $D$ = Federkonstante. -Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: - -\begin{equation} -{x_1}=x, \qquad +Um diese nun in die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch die Substitution
\[ {x_1}=x, \qquad {x_2}=\dot x, \qquad -{x_3}=\ddot x\qquad \mid \quad \text {Substitution} -\end{equation} +{x_3}=\ddot x\qquad\]
erhalten wir die Differentialgleichung
\[ m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f.\]
Diese können wir nun in der Form
\[ {x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \]
auch als Matrix-Vektor-Gleichung darstellen.
-\begin{equation} -m{x_3}+ 2k{x_2} + D{x_1} = f\qquad \mid \quad \text {DGL 1. Ordnung} -\end{equation} - -\begin{equation} -{x_3}=-\frac{D}{m} {x_1} -\frac{2k}{m} {x_2} + \frac{f} {m} \qquad \mid \quad \text {nach} \quad{x_3} -\end{equation} -auch als Matrix-Vektor-Gleichung schreiben. -Hierbei beschreibt die Matrix $A$ die gesamte Systemdynamik in der Form, wie sie ein Kalman-Filter benötigt. - -Um die lineare Differentialgleichung in das Kalman-Filter zu implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. +Dafür wird die Gleichung in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und die äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden, um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äussere Beschleunigung). In unserem Fall wird die äusseren Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. \begin{equation} @@ -134,7 +120,7 @@ Um den Kalman Filter zu starten, müssen gewisse Bedingungen definiert werden. I \subsection{Anfangsbedingungen} \subsubsection*{Anfangszustand $x$} -Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erföhrt die Apparatur keine äussere Kraft. +Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. \begin{equation} {x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) @@ -142,6 +128,8 @@ Das Filter benötigt eine Anfangsbedingung. In unserem Fall ist es die Ruhelage, \subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix $P$} Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter einen Anfangsfehler eingeführt. Auf der Diagonalen werden die Varianzen eingesetzt, in den restlichen Felder stehen die Kovarianzen. +Zur Erinnerung: Die Varianz ist ein Mass für die Streuung eines Wertes, die Kovarianz hingegen beschreibt die Abhängigkeit der Streuungen zweier Werte.
Kovarianz: Cov(x, y) undVarianz: Var(x) = Cov(x, x) + In unserem Fall ist der Anfangszustand gut bekannt. Wir gehen davon aus, dass das System in Ruhe und in Abwesenheit eines Erdbeben startet, somit kann die Matrix mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix \begin{equation} @@ -183,16 +171,16 @@ Q = \left( \end{array}\right) \end{equation} -Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die Messung. +Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. Das Bedeutet wiederum dass $Q$ die Unsicherheit des Prozesses beschreibt, und die der Messung. \subsubsection*{Messmatrix $H$} -Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. In unserem Fall ist es nur die Position der Massen. +Die Messmatrix gibt an, welche Parameter gemessen werden soll. In unserem Falle ist es nur die Position der Massen. \[ H = (1, 0, 0) \] \subsubsection*{Messrauschkovarianz $R$} -Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist dies lediglich: +Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Positionssensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben ist $R$ lediglich: \begin{equation} R= ({\sigma_x}^2). \end{equation} @@ -203,17 +191,14 @@ Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und wird \subsubsection*{Vorhersage} -Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt: +Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert mit dem Rechenschritt: \begin{equation} {x_{t+1}}=A\cdot{x_t}. \end{equation} -Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im Vorhersage grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung - -\begin{equation} -{P_{pred}}=APA^T+Q. -\end{equation} +Die Kovarianz $P_{pred}$ wird ebenfalls neu berechnet. Da wir ein mehrdimensionales System haben, kommt noch die Prozessunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ laufend verändert. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Prozessunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung +\[ P_\mathrm{pred} = A P A^T + Q . \] wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner, ist der Unterschied gross, wird auch die Kovarianz grösser. Das Filter passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. @@ -223,41 +208,164 @@ Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix \begin{equation} w=Z-(H\cdot x) \end{equation} -Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. -Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist Intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. +Die Innovation ist der Teil der Messung, die nicht durch die Systemdynamik erklärt werden kann. Die Hilfsgröße Innovation beschreibt, wie genau der vorhergesagte Mittelwert den aktuellen Messwert mittels der Beobachtungsgleichung beschreiben kann. Für eine schlechte Vorhersage wird die dazugehörige Innovation gross, für eine genaue Vorhersage dagegen klein sein. Entsprechende Korrekturen müssen dann gross bzw. nur gering ausfallen. Innovation = Messung - Vorhersage. Dies ist intuitiv logisch, eine Innovation von 0 bedeutet, dass die Messung nichts Neues hervorbrachte. Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. +Hierbei wird die Unsicherheit $P$, die Messmatrix $H$ und die Messunsicherheit $R$ miteinander verrechnet. +\begin{equation} +S=Z-(H\cdot P\cdot H`+R) +\end{equation} + -\subsubsection*{Korrigieren} -Udpdate -\section{Anfügen der Schwingung} +\subsubsection*{Aktualisieren} +Im nächsten Schritt kommt nun die Wahrscheinlichkeit nach Gauss dazu. + +\begin{equation} +K= \frac{P \cdot H`}S +\end{equation} +Dieser Vorgang wird Kalman-Gain genannt. Er sagt aus, welcher Kurve mehr Vertraut werden soll, dem Messwert oder der Systemdynamik. +Das Kalman-Gain wird geringer wen der Messwert dem vorhergesagten Systemzustand entspricht. Sind die Messwerte komplett anders als die Vorhersage, wo werden die Elemente in der Matrix $K$ grösser. -Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung. -Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort. -Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist. -Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen. +Anhand der Informationen aus dem Kalman-Gain $K$ wird das System geupdated. \begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{erdbeben:equation1} +x=x+(K \cdot w) \end{equation} -\section{Erreger-Schwingung} -Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird. -Die Gleichung lautet +Dazu kommt eine neue Kovarianz für den nächste Vorhersageschritt: \begin{equation} -x(t)=Ae^{t/2}sin(t). +P=(I-(K \cdot H)) \cdot P \end{equation} -Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt. -Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert. +Der ganze Ablauf wird nun zum Algorithmus und beginnt wieder mit der Vorhersage + +\begin{equation} +{x_{t+1}}=e^{A\Delta t}{ x_t}. +\end{equation} + + +\subsection{Zusammenfassung } +Zusammenfassend kann das Kalman-Filter in offizieller Typus dargestellt werden. Dabei beginnt das Filter mit dem Anfangszustand für $k=0$ + +1. Nächster Zustand vorhersagen +\begin{equation} +{x_{k|k-1}}={A_{k-1}}{x_{k-1}}+{B_{k-1}}{u_{k-1}} +\end{equation} + +2. Nächste Fehlerkovarianz vorhersagen +\begin{equation} +{P_{k|k-1}}={A_{k-1}}{P_{k-1}}{A_{k-1}^T}+{Q_{k-1}} +\end{equation} + + +3. Das Kalman Filter anwenden +\begin{equation} +{K_k}={P_{k-1}}{H_{k}^T({H_k}{P_{k|k-1}}{H_k}^T}+{R_k})^{-1} +\end{equation} + +4. Schätzung aktualisieren +\begin{equation} +{x_k}={x_{k|k-1}}+{K_k}({z_k}-{H_k}{x_{k|k-1}}) +\end{equation} + +5. Fehlerkovarianz aktualisieren +\begin{equation} +{P_k}=(I-{K_k}{H_k}){P_{k|k-1}} +\end{equation} + +6. Die Outputs von $k$ werden die Inputs für ${k-1}$ und werden wieder im Schritt 1 verwendet + + +\section{Matlab-Code} +Um das simulierte Erdbeben auf die theoretische Apparatur zu bringen und mit dem Kalman-Filter Resultate zu generieren, wurde in Matlab der Algorithmus programmiert. +\begin{lstlisting} +%% Initialisierte Werte +t0 = 0.00; % Anfangszeit +deltat = 0.01; % Zeitschritt +tend = 50.00; % Endzeit + +% Standard-Abweichungen Prozess +sigmax = 0.05e-3; % Position +sigmav = 0.01e-3; % Geschwindigkeit +sigmaf = 1; % (Äussere) Kraft + +% Standard-Abweichung Messung +sigmam = 0.01e-3; + +% Systemparameter +m = 1.00; % Masse +D = 0.30; % Federkonstante +k = 0.10; % Dämpfung + + +%% Kalmanfilter +% Initialisierung + + +% Anfangszustand (Position, Geschwindigkeit, Kraft) +x0 = [0; 0; 0]; + +% Unsicherheit des Anfangszustand +P0 = [0, 0, 0; ... + 0, 0, 0; ... + 0, 0, 0]; + +% Systemmatrizen +A = [0, 1, 0;... % Dynamikmatrix + -D/m, -2*k/m, 1;... + 0, 0, 0]; % Ableitungen von f(t) unbekant. Annahme: 0 +A = expm(A * deltat); + +Q = [sigmax^2, 0, 0;... + 0, sigmav^2, 0;... + 0, 0, sigmaf^2]; % Prozessrauschen (Covarianz) + +% Messprozess +H = [1, 0, 0]; % Messmatrix +R = sigmam^2; % Messrauschen (Könnte durch Versuche bestimmt werden) + +I = eye(3); % Identity matrix (Einheitsmatrix) + +% Filterprozess + +% Initialisieren der Variablen +N = length(t); % Anzahl Punkte im Einheitsvektor (= Anzahl Messwerte) +xhat = zeros(3, N); % Matrix mit geschätzten Zuständen + +% Index ':' bedeutet: 'alles' +% Index '(1, :)' bedeutet: 'alles aus der 1. Zeile' + +% Anfangszustand setzen +xhat(:, 1) = x0; +P = P0; + +% Kalman-Matrizen konvergiert. Vorab-Berechnung in 'genügenden' Iterationen +for idx = 1:100 + Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz + S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz + K = Ppred * H' / S; % Filter-Matrix (Kalman-Gain) + P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz +end + +% Anfangszustand gegeben +% Erster zu berechnender Wert ist der zweite +for idx = 2:N + % Vorhersage + xpred = A * xhat(:, idx-1); % Prädizierter Zustand aus Bisherigem und System + % Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz + + % Korrektur + y = xt(idx) - H * xpred; % Messungen/ Kraft aus System - Vohersage + % S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz + % K = Ppred * H' / S; + + xhat(:, idx) = xpred + K * y; % Aktualisieren des Systemzustands + % P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz +end +\end{lstlisting} + -Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten. |