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Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. +Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt. +Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$. +Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt. +In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. +Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt. +Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{ifs:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{ifs:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics{papers/ifs/images/koch8} + \caption{Koch Kurve} + \label{ifs:kochkurve8} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \subfigure[]{ + \label{ifs:kochconsta} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch0}} + \subfigure[]{ + \label{ifs:kochconstb} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch1}} + \subfigure[]{ + \label{kochconstc} + \includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}} + \caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration} + \label{ifs:kochconst} +\end{figure} + +Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften. +Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen. +\begin{align*} + l_0 = a ,\quad l_1 = a \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad + l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad + \Rightarrow \quad + \lim_{n\to\infty} a \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty +\end{align*} +In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. +Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen +\begin{align*} + A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\ + A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ + A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1 +\end{align*} +Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist. +Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe. +\begin{align*} + A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\ + \lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 +\end{align*} +Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang. +Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. +Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern. +Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten. +In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}. +\begin{align*} + D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} +\end{align*} +Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen. +Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge. +Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$. +Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$. +\begin{align*} + D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619 +\end{align*} +Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. +Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten. |