1 files changed, 18 insertions, 15 deletions
diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index fd10634..49c1cf3 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -6,8 +6,9 @@
 \section{Fraktale mit IFS 
 \label{ifs:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
-Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
-Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
+Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale erzeugen kann.
+Im Beispiel auf Seite \pageref{ifs:trinagle} haben wir ein Dreieck aus 4 skalierten Kopien zusammengefügt.
+Lässt man die Kopie im Zentrum des Dreiecks weg, entsteht die Grundlage des sogenannten Sierpinski-Dreieck, Abbildung \ref{ifs:sierpinski10}.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski}
@@ -92,20 +93,21 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion
 	\label{ifs:sierpconst}
 \end{figure}
 Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
-Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null.
+Der `Abstand´ zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null.
 
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme}}
 In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 
 
-$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf der Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
 	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
 \end{align}
 für jedes i mit einem $c_i < 1$.
-Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für solche Kontraktionen ein Eindeutiges $A$ existiert, für das $S(A) = A$ gilt.
+Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für solche Kontraktionen ein Eindeutiges $A$ existiert, für das $S_i(A) = A$ gilt.
 Den Beweis kann man in \cite{ifs:Rousseau2012} nachlesen.
+
 Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
 \begin{equation}
 	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F).
@@ -125,7 +127,7 @@ Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt.
 Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. 
 
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
-Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
+Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktals, welches mit einem IFS generiert werden kann.
 Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
 Die vier affinen Transformationen
 \begin{align}
@@ -183,22 +185,22 @@ Die vier affinen Transformationen
 	\begin{pmatrix}
 		0 \\
 		0.44
-	\end{pmatrix}\\
+	\end{pmatrix},\\
 	\label{ifs:farnFormel}
 \end{align}
-, welche für die konstruktion des Farns benötigt werden sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt.
+, welche für die Konstruktion des Farns benötigt werden sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt.
 Das gesamte Farnblatt ist in der schwarzen Box.
-Auf diese werden die Transformationen angewendet
+Auf diese werden die Transformationen angewendet.
 $S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot).
-Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab.
+Die Transformation bildet das gesamte Blatt auf die $y$-Achse ab.
 $S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. 
 Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
-$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
+$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten links ab.
 $S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
 \subsection{Erzeugung eines Bildes zu einem IFS}
 Es gibt zwei verschiedene Methoden um das Bild zu einem IFS zu erzeugen.
 Die erste Methode ist wahrscheinlich die intuitivste. 
-Wir beginnen mit einm Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab.
+Wir beginnen mit einem Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab.
 Das neue Bild, dass entsteht, ist die nächste Iterierte.
 Dieses wird wieder mit den Transformationen abgebildet.
 Wir wiederholen den letzten schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind.
@@ -213,10 +215,11 @@ Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Men
 Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv.
 Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
 Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
-Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
+Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation $S_i$, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
+
 Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
-Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es um die resultierende Teilabbildung darzustellen.
-Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt.
+Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es, um die resultierende Teilabbildung darzustellen.
+Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3$ und $S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt.
 Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, einiges weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$.
 
 In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet.