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diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex index 7c69b13..4d6c18d 100644 --- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex +++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex @@ -8,14 +8,17 @@ \rhead{Funktionsweise} Um den Ablauf des Datenaustausches mittels McEliece-Verschlüsselung zu erläutern, wird ein Szenario verwendet, -bei dem Bob an Alice eine verschlüsselte Nachticht über ein öffentliches Netzwerk zukommen lässt. +bei dem Bob an Alice eine verschlüsselte Nachricht über ein öffentliches Netzwerk zukommen lässt. \subsection{Vorbereitung \label{mceliece:section:vorbereitung}} -Damit der Nachrichtenaustausch stattfinden kann, muss Alice (Empfängerin) -zuerst ein Schlüsselpaar definieren. +Bevor einen Datenaustausch zwischen Sender und Empfänger stattfinden kann, +muss abgemacht werden, welche Länge $n$ das Code-Wort und welche Länge $k$ das Datenwort hat +und wie viele Bitfehler $t$ (angewendet mit Fehlervektor $e_n$) +für das Rauschen des Code-Wortes $c_n$ verwendet werden. +Danach generiert Alice (Empfängerin) ein Schlüsselpaar. Dazu erstellt sie die einzelnen Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$. -Diese drei einzelnen Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice +Diese drei Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice und sollen geheim bleiben. Der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ hingegen berechnet sich aus der Multiplikation der privaten Matrizen (Abschnitt \ref{mceliece:subsection:k_nk}) @@ -25,36 +28,36 @@ und wird anschliessend Bob zugestellt. \label{mceliece:section:verschl}} Bob berechnet nun die verschlüsselte Nachricht $c_n$, indem er seine Daten $d_k$ mit dem öffentlichen Schlüssel $K_{n,k}$ von Alice multipliziert -und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt. +und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt: \[ - c_n\,=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n\,. + c_n=K_{n,k}\cdot d_k + e_n. \] -Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) -einen neuen, zufälligen Fehlervektor generiert. +Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) $d_k$ +ein neuer, zufälliger Fehlervektor generiert. Die verschlüsselte Nachricht $c_n$ wird anschliessend Alice zugestellt. \subsection{Entschlüsselung \label{mceliece:section:entschl}} Alice entschlüsselt die erhaltene Nachricht in mehreren einzelnen Schritten. -Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt. +Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt: \begin{align*} - c_n\,&=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ - &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n + c_n&=K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ + &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n. \end{align*} Zuerst wird der Effekt der Permutationsmatrix rückgängig gemacht, -indem das Codewort mit dessen Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird. +indem das Codewort mit der Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird: \begin{align*} - c_{n}''\,=\,P_n^{-1}\cdot c_n\,&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + c_{n}''=P_n^{-1}\cdot c_n&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Eine weitere Vereinfachung ist nun möglich, weil $P_n^{-1}$ einerseits auch eine gewöhnliche Permutationsmatrix ist und andererseits ein zufälliger Fehlervektor $e_n$ multipliziert mit einer Permutationsmatrix -wiederum einen gleichwertigen, zufälligen Fehlervektor $e_n'$ ergibt. +wiederum einen zufälligen Fehlervektor gleicher Länge und mit der gleichen Anzahl Fehlern $e_n'$ ergibt: \begin{align*} - c_{n}''\,&=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n\quad \quad \quad | \, - e'_n\,=\,P_n^{-1}\cdot e_n + c_{n}''&=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad + e'_n=P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Dank des fehlerkorrigierenden Codes, der durch die implizite Multiplikation mittels $G_{n,k}$ auf die Daten angewendet wurde, können nun die Bitfehler, verursacht durch den Fehlervektor $e'_n$, @@ -62,22 +65,366 @@ entfernt werden. Da es sich bei diesem Schritt nicht um eine einfache Matrixmultiplikation handelt, wird die Operation durch eine Funktion dargestellt. Wie dieser Decoder genau aufgebaut ist, -hängt vom verwendeten Linearcode ab. +hängt vom verwendeten Linearcode ab: \begin{align*} - c_{k}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_n$)}\\ - &=\text{Linear-Code-Decoder($G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n$)}\\ - &=S_{k}\cdot d_k -\end{align*} -Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert, -womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde. -\begin{align*} - c_{k}'\,&=S_{k}\cdot d_k \quad | \cdot S_k^{-1}\\ - d'_{k}\,=\,S_{k}^{-1} \cdot c'_k&=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k\\ - &=d_k + c_{k}'&=\text{Linear-Code-Decoder}(c''_n)\\ + &=\text{Linear-Code-Decoder}(G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n)\\ + &=S_{k}\cdot d_k. \end{align*} +Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der Inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert, +womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde: +\begin{equation*} + d'_{k}=S_{k}^{-1} \cdot c'_k=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k + =d_k. +\end{equation*} +Möchte ein Angreifer die verschlüsselte Nachricht knacken, muss er die drei privaten Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$ kennen. +Aus dem öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren +und eine systematische Analyse der Codeworte wird durch das Hinzufügen von zufälligen Bitfehlern zusätzlich erschwert. \subsection{Beispiel} +Die Verschlüsselung soll mittels eines numerischen Beispiels demonstriert werden. +Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four} beschrieben. +\begin{itemize} + \item Daten- und Fehlervektor + \begin{itemize} + \item[] + \[d_4= + \begin{pmatrix} + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 0 + \end{pmatrix} + ,\quad + e_7= + \begin{pmatrix} + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 + \end{pmatrix}. + \] + \end{itemize} + \item Private Matrizen: + \begin{itemize} + \item[] + \[S_4= + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix},\quad + S_4^{-1}= + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + \end{pmatrix}, + \] + \item[] + \[ + G_{7,4}= + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix}, + \] + \item[] + \[ + P_7= + \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 + \end{pmatrix}, + \quad + P_7^{-1}=P_7^t= + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}. + \] + \end{itemize} + \item Öffentlicher Schlüssel: +\index{Schlüssel, öffentlicher}% +\index{öffentlicher Schlüssel}% + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + K_{7,4}&=P_{7}\cdot G_{7,4}\cdot S_{4}=\\ + \begin{pmatrix} %k + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 1 & 1 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %p + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %g + 1 & 0 & 0 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %s + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 1 & 0 & 0 & 1 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Verschlüsselung: + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + c_7&=K_{7,4}\cdot d_4 + e_7=\\ + \begin{pmatrix} %c + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %k + 0 & 0 & 1 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 1 & 1\\ + 1 & 1 & 1 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %d + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 0 + \end{pmatrix} + + + \begin{pmatrix} %e + 0\\ + 0\\ + 1\\ + 0\\ + 0\\ + 0\\ + 0 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Entschlüsselung (Permutation rückgängig machen): + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + c_{7}''&=P_7^{-1}\cdot c_7=\\ + \begin{pmatrix} %c'' + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %p^-1 + 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %c + 1\\ + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Entschlüsselung (Bitfehlerkorrektur mit Linearcode): + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + c_{7}'&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\ + \begin{pmatrix} %c' + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + &=\text{Linear-Code-Decoder(} + \begin{pmatrix} + 0\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + \text{)} + . + \end{align*} + \end{itemize} + \item Entschlüsselung (Umkehrung des $S_4$-Matrix-Effekts): + \begin{itemize} + \item[] + \begin{align*} + d'_{4}&=S_{4}^{-1} \cdot c'_4 \,(= d_4)\\ + \begin{pmatrix} + 1\\ + 1\\ + 1\\ + 0 + \end{pmatrix} + &= + \begin{pmatrix} %s^-1 + 0 & 1 & 0 & 1\\ + 0 & 1 & 1 & 0\\ + 1 & 1 & 0 & 0\\ + 0 & 1 & 0 & 0\\ + \end{pmatrix} + \cdot + \begin{pmatrix} %c' + 1\\ + 0\\ + 1\\ + 1 + \end{pmatrix} + . + \end{align*} + \end{itemize} +\end{itemize} + +\subsection{7/4-Code +\label{mceliece:subsection:seven_four}} +Beim 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code, +der einen Bitfehler korrigieren kann. +\index{7/4-Code}% +\index{linearer Code}% +\index{Code, linear}% +Es gibt unterschiedliche Varianten zum Erzeugen eines 7/4-Codes, +wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generatorpolynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. +\index{Generatorpolynom}% +Somit lässt sich das Codepolynom $P_c$ berechnen, indem das Datenpolynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): +\[ + P_c=P_g \cdot P_d. +\] +Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome als Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}): +\[ + P_g = \textcolor{red}{1}\cdot x^0 + \textcolor{blue}{1}\cdot x^1 + \textcolor{darkgreen}{0}\cdot x^2 + \textcolor{orange}{1}\cdot x^3 \implies + [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4. +\] +Auch das Datenpolynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$. +Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepackt, +sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisiert werden kann: + +\[ + c_7=G_{7,4} \cdot d_4= + \begin{pmatrix} + \textcolor{red}{1} & 0 & 0 & 0 \\ + \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} & 0 & 0 \\ + \textcolor{darkgreen}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} & 0 \\ + \textcolor{orange}{1} & \textcolor{darkgreen}{0} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{1} \\ + 0 & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{darkgreen}{0} & \textcolor{blue}{1} \\ + 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{darkgreen}{0} \\ + 0 & 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + d_0\\ + d_1\\ + d_2\\ + d_3 + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + c_0\\ + c_1\\ + c_2\\ + c_3\\ + c_4\\ + c_5\\ + c_6\\ + \end{pmatrix}. +\] +Beim nun entstandenen Codevektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Codepolynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. +Aufgrund der Multiplikation mit dem Generatorpolynom $P_g$ lässt sich das Codewort auch wieder restlos durch $P_g$ dividieren. +Wird dem Codewort nun einen Bitfehler hinzugefügt, entsteht bei der Division durch $P_g$ einen Rest. +Beim gewählten Polynom beträgt die sogenannte Hamming-Distanz drei, das bedeutet, +\index{Hamming-Distanz}% +dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler auftreten müssen. +Somit ist es möglich, auf das ursprüngliche Bitmuster zu schliessen, solange maximal ein Bitfehler vorhanden ist. +Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Division zu einem anderen Rest, +womit das dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann, +indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndromtabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +\index{Syndromtabelle}% +\begin{table} + \begin{center} + \begin{tabular}{|l|l|} + \hline + Syndrom (Divisionsrest) &korrespondierender Bitfehler\\ + \hline + 1 ($[1,0,0]$) &$[1,0,0,0,0,0,0]$\\ + 2 ($[0,1,0]$) &$[0,1,0,0,0,0,0]$\\ + 3 ($[1,1,0]$) &$[0,0,0,1,0,0,0]$\\ + 4 ($[0,0,1]$) &$[0,0,1,0,0,0,0]$\\ + 5 ($[1,0,1]$) &$[0,0,0,0,0,0,1]$\\ + 6 ($[0,1,1]$) &$[0,0,0,0,1,0,0]$\\ + 7 ($[1,1,1]$) &$[0,0,0,0,0,1,0]$\\ + \hline -TODO: --alle Beispielmatrizen- und Vektoren hierhin zügeln, numerisches Beispiel kreieren\\ --erläutern des 7/4-codes (ja/nein)?
\ No newline at end of file + \end{tabular} + \end{center} + \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndromtabelle 7/4-Code} +\end{table} +\index{Syndrom}% |