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diff --git a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex index 76b4b70..4d6c18d 100644 --- a/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex +++ b/buch/papers/mceliece/funktionsweise.tex @@ -18,7 +18,7 @@ und wie viele Bitfehler $t$ (angewendet mit Fehlervektor $e_n$) für das Rauschen des Code-Wortes $c_n$ verwendet werden. Danach generiert Alice (Empfängerin) ein Schlüsselpaar. Dazu erstellt sie die einzelnen Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$. -Diese drei einzelnen Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice +Diese drei Matrizen bilden den privaten Schlüssel von Alice und sollen geheim bleiben. Der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ hingegen berechnet sich aus der Multiplikation der privaten Matrizen (Abschnitt \ref{mceliece:subsection:k_nk}) @@ -30,7 +30,7 @@ Bob berechnet nun die verschlüsselte Nachricht $c_n$, indem er seine Daten $d_k mit dem öffentlichen Schlüssel $K_{n,k}$ von Alice multipliziert und anschliessend durch eine Addition mit einem Fehlervektor $e_n$ einige Bitfehler hinzufügt: \[ - c_n\,=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n\,. + c_n=K_{n,k}\cdot d_k + e_n. \] Dabei wird für jede Nachricht (oder für jedes Nachrichtenfragment) $d_k$ ein neuer, zufälliger Fehlervektor generiert. @@ -41,23 +41,23 @@ Die verschlüsselte Nachricht $c_n$ wird anschliessend Alice zugestellt. Alice entschlüsselt die erhaltene Nachricht in mehreren einzelnen Schritten. Um etwas Transparenz in diese Prozedur zu bringen, wird der öffentliche Schlüssel $K_{n,k}$ mit seinen Ursprungsmatrizen dargestellt: \begin{align*} - c_n\,&=\,K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ - &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n\,. + c_n&=K_{n,k}\cdot d_k + e_n \\ + &= P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e_n. \end{align*} Zuerst wird der Effekt der Permutationsmatrix rückgängig gemacht, indem das Codewort mit der Inversen $P_n^{-1}$ multipliziert wird: \begin{align*} - c_{n}''\,=\,P_n^{-1}\cdot c_n\,&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n\,. \\ + c_{n}''=P_n^{-1}\cdot c_n&= P_n^{-1}\cdot P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &= G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Eine weitere Vereinfachung ist nun möglich, weil $P_n^{-1}$ einerseits auch eine gewöhnliche Permutationsmatrix ist und andererseits ein zufälliger Fehlervektor $e_n$ multipliziert mit einer Permutationsmatrix wiederum einen zufälligen Fehlervektor gleicher Länge und mit der gleichen Anzahl Fehlern $e_n'$ ergibt: \begin{align*} - c_{n}''\,&=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ - &=\,G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad - e'_n\,=\,P_n^{-1}\cdot e_n\,. + c_{n}''&=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + P_n^{-1}\cdot e_n \\ + &=G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n \quad \text{mit} \quad + e'_n=P_n^{-1}\cdot e_n. \end{align*} Dank des fehlerkorrigierenden Codes, der durch die implizite Multiplikation mittels $G_{n,k}$ auf die Daten angewendet wurde, können nun die Bitfehler, verursacht durch den Fehlervektor $e'_n$, @@ -67,16 +67,16 @@ wird die Operation durch eine Funktion dargestellt. Wie dieser Decoder genau aufgebaut ist, hängt vom verwendeten Linearcode ab: \begin{align*} - c_{k}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_n$)}\\ - &=\text{Linear-Code-Decoder($G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n$)}\\ - &=S_{k}\cdot d_k\,. + c_{k}'&=\text{Linear-Code-Decoder}(c''_n)\\ + &=\text{Linear-Code-Decoder}(G_{n,k}\cdot S_{k}\cdot d_k + e'_n)\\ + &=S_{k}\cdot d_k. \end{align*} Zum Schluss wird das inzwischen fast entschlüsselte Codewort $c'_k$ mit der Inversen der zufälligen Binärmatrix $S^{-1}$ multipliziert, womit der Inhalt der ursprünglichen Nachricht nun wiederhergestellt wurde: -\begin{align*} - d'_{k}\,=\,S_{k}^{-1} \cdot c'_k&=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k\\ - &=d_k\,. -\end{align*} +\begin{equation*} + d'_{k}=S_{k}^{-1} \cdot c'_k=S_{k}^{-1} \cdot S_{k}\cdot d_k + =d_k. +\end{equation*} Möchte ein Angreifer die verschlüsselte Nachricht knacken, muss er die drei privaten Matrizen $S_k$, $G_{n,k}$ und $P_n$ kennen. Aus dem öffentlichen Schlüssel lassen sich diese nicht rekonstruieren und eine systematische Analyse der Codeworte wird durch das Hinzufügen von zufälligen Bitfehlern zusätzlich erschwert. @@ -95,7 +95,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1\\ 0 \end{pmatrix} - ,\, + ,\quad e_7= \begin{pmatrix} 0\\ @@ -105,7 +105,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0\\ 0\\ 0 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \] \end{itemize} \item Private Matrizen: @@ -117,7 +117,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 - \end{pmatrix},\, + \end{pmatrix},\quad S_4^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ @@ -137,7 +137,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 - \end{pmatrix},\, + \end{pmatrix}, \] \item[] \[ @@ -150,8 +150,8 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 - \end{pmatrix} - ,\, + \end{pmatrix}, + \quad P_7^{-1}=P_7^t= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ @@ -161,11 +161,12 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 - \end{pmatrix} - \,. + \end{pmatrix}. \] \end{itemize} \item Öffentlicher Schlüssel: +\index{Schlüssel, öffentlicher}% +\index{öffentlicher Schlüssel}% \begin{itemize} \item[] \begin{align*} @@ -206,7 +207,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Verschlüsselung: @@ -250,7 +251,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 0\\ 0 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Entschlüsselung (Permutation rückgängig machen): @@ -287,14 +288,14 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1\\ 1 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Entschlüsselung (Bitfehlerkorrektur mit Linearcode): \begin{itemize} \item[] \begin{align*} - c_{7}'\,&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\ + c_{7}'&=\text{Linear-Code-Decoder($c''_7$)}=\\ \begin{pmatrix} %c' 1\\ 0\\ @@ -312,7 +313,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1 \end{pmatrix} \text{)} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \item Entschlüsselung (Umkehrung des $S_4$-Matrix-Effekts): @@ -340,7 +341,7 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four 1\\ 1 \end{pmatrix} - \,. + . \end{align*} \end{itemize} \end{itemize} @@ -349,18 +350,22 @@ Der verwendete Linear-Code wird im Abschnitt \ref{mceliece:subsection:seven_four \label{mceliece:subsection:seven_four}} Beim 7/4-Code handelt es sich um einen linearen Code, der einen Bitfehler korrigieren kann. +\index{7/4-Code}% +\index{linearer Code}% +\index{Code, linear}% Es gibt unterschiedliche Varianten zum Erzeugen eines 7/4-Codes, -wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generator-Polynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. -Somit lässt sich das Code-Polynom $P_c$ berechnen, indem das Daten-Polynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): +wobei der hier verwendete Code mithilfe des irreduziblen Generatorpolynoms $P_g = x^3 +x + 1$ generiert wird. +\index{Generatorpolynom}% +Somit lässt sich das Codepolynom $P_c$ berechnen, indem das Datenpolynom $P_d$ mit dem Generatorpolynom $P_g$ multipliziert wird (Codiervorgang): \[ - P_c=P_g \cdot P_d\,. + P_c=P_g \cdot P_d. \] -Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome in mit Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}): +Damit diese Multiplikation mit Matrizen ausgeführt werden kann, werden die Polynome als Vektoren dargestellt (Kapitel \ref{buch:section:polynome:vektoren}): \[ P_g = \textcolor{red}{1}\cdot x^0 + \textcolor{blue}{1}\cdot x^1 + \textcolor{darkgreen}{0}\cdot x^2 + \textcolor{orange}{1}\cdot x^3 \implies - [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4\,. + [\textcolor{red}{1}, \textcolor{blue}{1} ,\textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{orange}{1}] = g_4. \] -Auch das Daten-Polynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$\,. +Auch das Datenpolynom wird mit einem Vektor dargestellt: $P_d = d_0 \cdot x^0 + d_1 \cdot x^1 + d_2 \cdot x^2 + d_3 \cdot x^3 \implies [d_0, d_1, d_2, d_3] = d_4$. Der Vektor $g_4$ wird nun in die sogenannte Generatormatrix $G_{7,4}$ gepackt, sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisiert werden kann: @@ -390,17 +395,19 @@ sodass die Polynommultiplikation mit $d_4$ mittels Matrixmultiplikation realisie c_4\\ c_5\\ c_6\\ - \end{pmatrix}\,. + \end{pmatrix}. \] -Beim nun entstandenen Code-Vektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Code-Polynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. +Beim nun entstandenen Codevektor $c_7=[c_0, ..., c_6]$ entsprechen die Koeffizienten dem dazugehörigen Codepolynom $P_c=c_0\cdot x^0+...+c_6\cdot x^6$. Aufgrund der Multiplikation mit dem Generatorpolynom $P_g$ lässt sich das Codewort auch wieder restlos durch $P_g$ dividieren. Wird dem Codewort nun einen Bitfehler hinzugefügt, entsteht bei der Division durch $P_g$ einen Rest. Beim gewählten Polynom beträgt die sogenannte Hamming-Distanz drei, das bedeutet, +\index{Hamming-Distanz}% dass vom einen gültigen Codewort zu einem anderen gültigen Codewort drei Bitfehler auftreten müssen. Somit ist es möglich, auf das ursprüngliche Bitmuster zu schliessen, solange maximal ein Bitfehler vorhanden ist. Jeder der möglichen acht Bitfehler führt bei der Division zu einem anderen Rest, womit das dazugehörige Bit identifiziert und korrigiert werden kann, -indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndrom-Tabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannten Syndromtabelle (Tabelle \ref{mceliece:tab:syndrome}) hinterlegt werden. +\index{Syndromtabelle}% \begin{table} \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} @@ -418,5 +425,6 @@ indem beispielsweise die Bitfehler mit dem dazugehörigen Rest in der sogenannte \end{tabular} \end{center} - \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndrom-Tabelle 7/4-Code} + \caption{\label{mceliece:tab:syndrome}Syndromtabelle 7/4-Code} \end{table} +\index{Syndrom}% |