diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex')
| -rwxr-xr-x | buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex | 36 |
1 files changed, 21 insertions, 15 deletions
diff --git a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex index b20a791..cd5aaaa 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex @@ -6,24 +6,24 @@ \section{Problemstellung} \rhead{Problemstellung} Dank der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung. -Das Ziel dieses Papers ist verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. -Wobei gezielt auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen wird. +Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen. +Gezielt werden auf Algorithmen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus L\"osen eingegangen. \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation} Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus \cite{multiplikation:bigo}. -$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt das die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. +$f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$. Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet: \begin{itemize} \item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt \item $f \in \mathcal{O}(n) \rightarrow f$ w\"achst linear - \item $f \in \mathcal{O}(n^2) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch + \item $f \in \mathcal{O}\left (n^2 \right ) \rightarrow f$ w\"achst quadratisch \item $f \in \mathcal{O}(\log n) \rightarrow f$ w\"achst logarithmisch \item $f \in \mathcal{O}(n \log n) \rightarrow f$ hat super-lineares Wachstum - \item $f \in \mathcal{O}(e^n) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell + \item $f \in \mathcal{O}\left (e^n \right ) \rightarrow f$ w\"achst exponentiell \item usw. \end{itemize} -In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. +In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden. \begin{figure} \center @@ -33,11 +33,13 @@ In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die Verschiedenen Laufze \end{figure} \subsubsection{Beispiel Algorithmen} + +Folgend einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomplexit\"atsklasse zugeteilt werden k\"onnen. \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus} -Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. +Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit. -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:b1} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -47,9 +49,10 @@ Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmu \end{algorithmic} \end{algorithm} -Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. +Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$. + -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:b2} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} @@ -63,13 +66,14 @@ Wobei Konstanten nicht beachtet werden, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg: \paragraph{Linearer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}(n)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares Verhalten. +Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$. -\begin{algorithm}\caption{} +\begin{algorithm}\footnotesize\caption{} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} \label{multiplikation:alg:l1} - \Function{L}{$\mathbf{A}, \mathbf{B}$,n} + \Function{L}{$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,n} \State $ sum \gets 0$ \For{$i = 0,1,2 \dots,n$} \State $ sum \gets sum + A[i] \cdot B[i] $ @@ -83,9 +87,11 @@ Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:l1} hat ein lineares $\mathcal{O}( \paragraph{Quadratischer Algorithmus} -Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches $\mathcal{O}(n^2)$ Verhalten. +Folgender Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten. +Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$. + -\begin{algorithm}[H]\caption{} +\begin{algorithm}[H]\footnotesize\caption{} \label{multiplikation:alg:q1} \setlength{\lineskip}{7pt} \begin{algorithmic} |