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diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index 7ee0b6e..8e3369d 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -131,7 +131,7 @@ Die grundlegenden Terme \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right ) \end{split} \end{equation} -aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke +aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2} \begin{split} \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\ @@ -187,10 +187,10 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. \end{algorithmic} \end{algorithm} Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. -Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . +Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. -Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. +Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center \includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf} @@ -303,5 +303,23 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen \rhead{Implementation} \textcolor{red}{TODO: messresultate} +Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert. +\begin{itemize} + \item Standard Matrizenmultiplikation + \item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation + \item Strassen's Matrizenmultiplikation + \item Winograd's Matrizenmultiplikation + \item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C} + \item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python} +\end{itemize} + \section{Fazit} \rhead{Fazit} + +Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen. +Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus. + +Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung. +Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden. +Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}. +Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein. |