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@@ -24,26 +24,28 @@ Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem
 \[
     \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}
 \]
-erreicht werden sofern \(\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}\) sind.
-Sind die Vektoren  \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
+erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
+Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
+ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
-Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind.
-Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter \( G \) ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
+da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
+Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    \vec{Q}(G) = G + \vec{a},
-\]
-wobei der Vektor \(\vec{a}\) ein Grundvektor sein muss.
-Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) erlaubt sind oder kurz, um \(\vec{r}\).
-Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
+    Q_i(G) = G + \vec{a}_i
+\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
+Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
+können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
+der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
+solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
-
- % Suggestion from Muller:
- % dass nur ganz bestimmt Drehwinkel \"uberhaupt m\"oglich sind.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
+ sind nur rotationssymmetrische Kristalle ganz bestimmter Rotationswinkel möglich.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -54,8 +56,8 @@ Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie \(\vec{Q}\) in Kombination mit Rotationssymmetrie \(C_\alpha\)}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
- In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
+ \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
      \item  \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. 
@@ -107,12 +109,21 @@ ein.
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
-Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind\footnote{Alle 17 möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt}.
-Mit weiteren ähnlichen \"Uberlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese 32 möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich mit der Klassifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
+Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
+nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
+\footnote{Werden translationssymmetrien auch mit gezählt beschreibt man die 230 Raumgruppen} 
+Symmetriegruppen bilden können.
+Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelte Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+
+
+\subsubsection{Schönflies Notation}
+TODO 
+
 
 
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