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-\section{Piezoelektrizit\"at}
+\section{Piezoelektrizität}
+Die Piezoelektrizität ist per Definition spannend.
+Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn machanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo} %das Efeld mit Naoki disskutieren, müssen sicher gehen, dass es mit jenen in Abbildung Piezo aufbau übereinstimmt
+    \caption{Piezoelektrisches Material in Ruhe und unter Druck}
+    \label{fig:punktgruppen:basicPiezo}
+\end{figure}
+
+\subsection{Polarisierung}
+Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
+Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
+weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen,
+wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
+Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
+Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
+    \caption{
+        Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
+        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
+    }
+    \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
+\end{figure}
+
+\subsection{Atomarer Aufbau}
+Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, entscheidend ist aber der atomare Aufbau.
+Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
+%liste oder anderes format?..
+Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
+Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
+so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
+während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+$(d)$ ist nicht piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
+Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
+und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
+Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
+Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
+im Gegensatz zu $(b)$.
+Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+
+\subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
+Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
+Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
+Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
+welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
+Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
+was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
+
+\subsection{Vom Kristall zum Feuer}
+Piezoelektrizität hat durchaus nutzen im Alltag.
+Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
+sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
+Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung.
+Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
+welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
+Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
+Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
+Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben
+und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
+wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
+versuche sie es mit dem anderen.
+Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
+ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.