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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex new file mode 100644 index 0000000..9a1a945 --- /dev/null +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -0,0 +1,103 @@ +\section{Symmetrie} +Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem +ursprünglichen griechischen Wort +\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) +\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, +verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein +locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr +präzise Bedeutung. +\begin{definition}[Symmetrie] + Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer + bestimmten Operation invariant ist. +\end{definition} + +Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist +vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte +trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber +zunächst wollen wir etwas Intuition aufbauen. + +\begin{figure}[h] + \centering + \begin{tikzpicture}[ + node distance = 2cm, + shapetheme/.style = { + very thick, draw = black, fill = magenta!20!white, + minimum size = 2cm, + }, + line/.style = {thick, draw = darkgray}, + axis/.style = {line, dashed}, + dot/.style = { + circle, draw = darkgray, fill = darkgray, + minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0, + }, + ] + + \node[ + shapetheme, + rectangle + ] (R) {}; + \node[dot] at (R) {}; + \draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)}; + + \node[ + shapetheme, + regular polygon, + regular polygon sides = 5, + right = of R, + ] (Ps) {}; + \node[dot] (P) at (Ps) {}; + \draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5); + \draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5); + \draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) + arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)}; + + \node[ + shapetheme, + circle, right = of P + ] (Cs) {}; + \node[dot] (C) at (Cs) {}; + \draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0); + \draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5); + \draw[line, ->] (C) ++(1.2,0) + arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)}; + + \end{tikzpicture} + \caption{ + Beispiele für geometrisch symmetrische Formen. + \label{fig:punktgruppen:geometry-example} + } +\end{figure} + +Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit +einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden, +ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner. In Abbildung +\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die +offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um +die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. Regelmässige +Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete +Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um +einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt. +Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche +Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für +\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Dies ist +hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die +nun eingeführt wird. + +\begin{definition}[Symmetriegruppe] + Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt. + Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\) + als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\) + bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird. +\end{definition} + +Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir +\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe +\[ + C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\} +\] +die Zyklische Gruppe heisst. + +\begin{definition}[Gruppenwirkung] +\end{definition} + +% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de: |