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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex index dd8883e..07f2bc5 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex @@ -4,7 +4,7 @@ ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\) \footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig, verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein -locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr +locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr präzise Bedeutung. \begin{definition}[Symmetrie] Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer @@ -27,43 +27,42 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner. In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind. Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, -an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern. +an deren es gespiegelt(Operation) werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern(invariant). %What do you think about the () Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine -Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur +Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt. Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele -Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Ein -Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. Als Beispiel, kann das +Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. +Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen. Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden. Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe. \begin{definition}[Symmetriegruppe] - Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt - unverändert lässt. Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die - Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle - Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt - wird. -\end{definition} % ich lese diese Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen + \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt + unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung + der Operationen nacheinander. Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, + die Symmetriegruppe genannt wird. +\end{definition} % rewritten, make shore it works for you -Ausserdem benötigen wir zur Bildung einer Gruppe ein neutrales Element, das wir +Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Umkehrung anzuwenden). Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass -manchmal die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet +in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger] - Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen + \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische - Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\) + Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet. \end{definition} @@ -74,8 +73,8 @@ r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält. \end{beispiel} \begin{beispiel} - Nun zu einem sinnvolleren Beispiel, wir können das \(n\)-Gon Beispiel - formalisieren. Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn + Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon + formalisieren. Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe \[ @@ -84,8 +83,8 @@ r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. \] der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die - Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant die - Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) enthält nur + Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant + enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\). \end{beispiel} @@ -110,7 +109,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen. Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das - Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man das + Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man dies zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt. Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe \begin{align*} @@ -126,21 +125,21 @@ mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können. -Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man +Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man Punktsymmetrie. \begin{definition}[Punktgruppe] Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen - wird, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine Punktgruppe ist. + wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe. \end{definition} \subsection{Algebraische Symmetrien} Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich -möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die folgende Frage ist dann, ob wir +möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja. Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen. \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus] - Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\) + \(G\) und \(H\) seien Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw. \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt |