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index 0cea6ef..465c862 100644
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@@ -149,12 +149,13 @@ Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies,
 welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
 Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
 Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
-Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\) Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
 Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
 Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
-Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
-Da das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
-Inzwischen wissen wir auch, dass \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen,
+Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt 
+\ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
 Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
 Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum
 \footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.}
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index d2e4644..b6a72b5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/intro.tex
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@@ -9,16 +9,16 @@ Die vorgestellten Symmetrien sind äusserst gut geeignet,
 um die Grundeigenschaften eines Kristalles zu beschreiben.
 Mit etwas kniffligen geometrischen Überlegungen kann man zeigen, 
 was in der Welt der Kristallographie alles möglich ist oder nicht.
-Die Einschränkungen sind durchaus willkommen, 
-dank ihnen halten sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen 
-und lassen sich kategorisieren.%umformulieren 
+Einschränkungen in Kristallsymmetrien sind durchaus willkommen, 
+da dank ihnen sich die möglichen Kristallgitter in Grenzen halten
+und sich kategorisieren lassen. 
 Kategorien sind nicht nur für einen besseren Überblick nützlich, 
 sondern kann man aus ihnen auch auf Physikalische Eigenschaften schliessen. 
 Als spannendes Beispiel: Die Piezoelektrizität.
 Die Piezoelektrizität ist vielleicht noch nicht jedem bekannt, 
 sie versteckt sich aber in diversen Altagsgegenständen 
 zum Beispiel sorgen sie in den meisten Feuerzeugen für die Zündung.
-Ein Funken Interesse ist hoffentlich geweckt 
+Hiermit ist hoffentlich ein Funken Interesse geweckt 
 um sich mit dem scheinbar trivialen Thema der Symmetrie auseinander zu setzten.
 
 
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index dd8883e..07f2bc5 100644
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@@ -4,7 +4,7 @@ ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
 \footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
-locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
+locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr
 präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
 	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
@@ -27,43 +27,42 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
 die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade,
-an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+an deren es gespiegelt(Operation) werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern(invariant). %What do you think about the ()
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine
 diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine
-Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur
+Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur 
 unverändert lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine
 unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele
-Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Ein
-Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
+Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. 
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
 Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um
 \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht
 werden.  Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine
 Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
-	unverändert lässt.  Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die
-	Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle
-	Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt
-	wird.
-\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
+	\(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt
+	unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung 
+	der Operationen nacheinander. Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, 
+	die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition} % rewritten, make shore it works for you
 
-Ausserdem benötigen wir zur Bildung einer Gruppe ein neutrales Element, das wir
+Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir
 mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist
 gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch
 äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen
 (ihre Umkehrung anzuwenden).
 Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben,
 es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass
-manchmal die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
+in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
 wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige
 Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n =
 r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. 
 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
+	\(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
 	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\)
+	Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\)
 	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
 	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
@@ -74,8 +73,8 @@ r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 	Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-	Nun zu einem sinnvolleren Beispiel, wir können das \(n\)-Gon Beispiel
-	formalisieren.  Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
+	Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon 
+	formalisieren. Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
 	von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die
 	gesamte Symmetriegruppe
 	\[
@@ -84,8 +83,8 @@ r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 	\]
 	der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch
 	die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
-	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant die
-	Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) enthält nur
+	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  
+	enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur
 	\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
@@ -110,7 +109,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 	Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als
 	Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie
 	das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das
-	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man das
+	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man dies
 	zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
 	Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
 	\begin{align*}
@@ -126,21 +125,21 @@ mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
 Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
 Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
 Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
 Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
 	Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen
-	wird, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine Punktgruppe ist.
+	wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die folgende Frage ist dann, ob wir
+möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die anschliesende Frage ist dann, ob wir
 bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die
 sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja.  Um es
 formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+	\(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
 	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
 	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt