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index 1dc6f98..6655864 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
\section{Symmetrie}
Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
@@ -33,9 +33,7 @@ Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
lässt. Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
-\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. Dies ist
-hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
-nun eingeführt wird.
+\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird
\subsubsection{Symetriegruppe}
@@ -46,39 +44,40 @@ nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$
Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
\begin{definition}[Symmetriegruppe]
- Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
- Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
- als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
- Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+ Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
+ unverändert lässt. Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die
+ Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle
+ Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt
+ wird.
\end{definition} % ich lese diese Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann
\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
- Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
- Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
- bezeichnet.
+ Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\)
+ erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
+ \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
\end{definition}
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
+Damit können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
um einen Punkt. Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
\[
C_n = \langle r \rangle
= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
\]
-der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
-dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
-die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
-wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
-r\circ r\). Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
-Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
+der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die
+mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
+Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+komplexere Strukturen aufbauen.
\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
% please fix this unreadable mess
- Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
- Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
+ Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert
+ werden. Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
Symmetriegruppe sein. Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls