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| -rw-r--r-- | buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 56 |
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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex index 9c8f6b9..f8bd9b3 100644 --- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex +++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex @@ -18,25 +18,65 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert. Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}. Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen. Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt. -Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. +Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt +und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort. Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also \[ - \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} + \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c} %maby Problem weil n bei $C_n$ auch verwendet wird \] erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind. -Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. +Sind die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , +ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind. \subsection{Translationssymmetrie} Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren. -Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. -Mit anderen worten: Das Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation +Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, +da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. +Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation \[ Q_i(G) = G + \vec{a_i} \] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss. -Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. -Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. +Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, +können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination +der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. +Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, +solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben. \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet. - Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden, können nur Rotationssymmetrische Kristalle erzeugt werden mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$. + Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, + können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries} + \caption{Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter} + \label{fig:punktgruppen:rot-geometry} +\end{figure} + + \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ und Rotationssymmetrie $C_\alpha$} % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen + In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge. + + \begin{itemize} + \item $A$ ist unser erster Gitterpunkt. + + \item $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ verschieben und wir wissen, + dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss. + \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden. + Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. + Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird. + An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein um die Rotationssymmetrie zu erfüllen. + \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. + Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden. + Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert + \footnote{Die Rotationssymmetrie muss auch iin die andere Richtung funktionieren. + Genauere Überlegungen werden dem Leser überlassen, da die Autoren sich nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} + auch auf $A'$ an. + Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt. + \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss. + Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet. + \end{itemize} + + + +%"beweis", das Rotationssymmetrien auch immer invers gehen?
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